MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem5 22175
Description: Lemma 5 for mp2pm2mp 22176. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
mp2pm2mp.l 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
mp2pm2mp.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mp2pm2mp.e 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
mp2pm2mp.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
mp2pm2mp.i 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mp2pm2mplem5.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
mp2pm2mplem5.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
mp2pm2mplem5.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,π‘˜   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   π‘Œ,𝑝   Β· ,𝑝   π‘˜,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑅,π‘˜   Β· ,π‘˜   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   π‘˜,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,π‘Œ,𝑗   Β· ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐸   π‘˜,π‘Œ   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   βˆ— (𝑖,𝑗,𝑝)   𝑋(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)

Proof of Theorem mp2pm2mplem5
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12424 . . 3 β„•0 ∈ V
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ β„•0 ∈ V)
3 mp2pm2mp.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 21808 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
5 mp2pm2mp.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
65ply1lmod 21639 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
873adant3 1133 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
943adant3 1133 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
105ply1sca 21640 . . 3 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
12 mp2pm2mp.l . 2 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
13 simpl2 1193 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 mp2pm2mplem2.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
15 mp2pm2mp.m . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
16 mp2pm2mp.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
17 mp2pm2mp.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
18 mp2pm2mp.i . . . . 5 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
19 eqid 2733 . . . . 5 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
20 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))
213, 5, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mply1topmatcl 22170 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))
2221adantr 482 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))
23 simpr 486 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
24 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
2514, 19, 20, 3, 24decpmatcl 22132 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π΄))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1372 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π΄))
27 mp2pm2mplem5.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π΄)
28 eqid 2733 . . . 4 (mulGrpβ€˜π‘„) = (mulGrpβ€˜π‘„)
29 mp2pm2mplem5.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
305, 27, 28, 29, 12ply1moncl 21658 . . 3 ((𝐴 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
319, 30sylan 581 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
32 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π‘„) = (0gβ€˜π‘„)
33 eqid 2733 . 2 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
34 mp2pm2mplem5.m . 2 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
35 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™))
3635oveqd 7375 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) = (𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗))
37 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜πΈπ‘Œ) = (π‘™πΈπ‘Œ))
3836, 37oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)) = ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))
3938cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))) = (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))
4039oveq2i 7369 . . . . . . . . 9 (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ))))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))))
4241mpoeq3ia 7436 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))))
4342mpteq2i 5211 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))))) = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ))))))
4418, 43eqtri 2761 . . . . 5 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ))))))
453, 5, 12, 15, 16, 17, 44, 14mp2pm2mplem4 22174 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) = ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜))
4645mpteq2dva 5206 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)))
475, 12, 33mptcoe1fsupp 21602 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π΄))
484, 47stoic3 1779 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π΄))
4946, 48eqbrtrd 5128 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π΄))
502, 8, 11, 12, 26, 31, 32, 33, 34, 49mptscmfsupp0 20402 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3444   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∈ cmpo 7360  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  β„•0cn0 12418  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  .gcmg 18877  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770   decompPMat cdecpmat 22127
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-decpmat 22128
This theorem is referenced by:  mp2pm2mp  22176
  Copyright terms: Public domain W3C validator