MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem5 22725
Description: Lemma 5 for mp2pm2mp 22726. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
mp2pm2mp.l 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
mp2pm2mp.m Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mp2pm2mp.e 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
mp2pm2mp.y π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
mp2pm2mp.i 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
mp2pm2mplem2.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
mp2pm2mplem5.m βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
mp2pm2mplem5.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
mp2pm2mplem5.x 𝑋 = (var1β€˜π΄)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘„))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,π‘˜   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   π‘Œ,𝑝   Β· ,𝑝   π‘˜,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,π‘˜   𝑅,π‘˜   Β· ,π‘˜   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   π‘˜,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,π‘Œ,𝑗   Β· ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗,π‘˜   π‘˜,𝐸   π‘˜,π‘Œ   βˆ— ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   ↑ (𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)   βˆ— (𝑖,𝑗,𝑝)   𝑋(𝑖,𝑗,π‘˜,𝑝)

Proof of Theorem mp2pm2mplem5
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 12503 . . 3 β„•0 ∈ V
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ β„•0 ∈ V)
3 mp2pm2mp.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 22358 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
5 mp2pm2mp.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1β€˜π΄)
65ply1lmod 22174 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝑄 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
873adant3 1129 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝑄 ∈ LMod)
943adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝐴 ∈ Ring)
105ply1sca 22175 . . 3 (𝐴 ∈ Ring β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘„))
12 mp2pm2mp.l . 2 𝐿 = (Baseβ€˜π‘„)
13 simpl2 1189 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
14 mp2pm2mplem2.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
15 mp2pm2mp.m . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
16 mp2pm2mp.e . . . . 5 𝐸 = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
17 mp2pm2mp.y . . . . 5 π‘Œ = (var1β€˜π‘…)
18 mp2pm2mp.i . . . . 5 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))))
19 eqid 2725 . . . . 5 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
20 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃))
213, 5, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mply1topmatcl 22720 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))
2221adantr 479 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)))
23 simpr 483 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
24 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜π΄)
2514, 19, 20, 3, 24decpmatcl 22682 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΌβ€˜π‘‚) ∈ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π΄))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1368 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π΄))
27 mp2pm2mplem5.x . . . 4 𝑋 = (var1β€˜π΄)
28 eqid 2725 . . . 4 (mulGrpβ€˜π‘„) = (mulGrpβ€˜π‘„)
29 mp2pm2mplem5.e . . . 4 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘„))
305, 27, 28, 29, 12ply1moncl 22194 . . 3 ((𝐴 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
319, 30sylan 578 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐿)
32 eqid 2725 . 2 (0gβ€˜π‘„) = (0gβ€˜π‘„)
33 eqid 2725 . 2 (0gβ€˜π΄) = (0gβ€˜π΄)
34 mp2pm2mplem5.m . 2 βˆ— = ( ·𝑠 β€˜π‘„)
35 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜) = ((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™))
3635oveqd 7430 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) = (𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗))
37 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑙 β†’ (π‘˜πΈπ‘Œ) = (π‘™πΈπ‘Œ))
3836, 37oveq12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑙 β†’ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)) = ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))
3938cbvmptv 5257 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))) = (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))
4039oveq2i 7424 . . . . . . . . 9 (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ))))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))) = (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))))
4241mpoeq3ia 7492 . . . . . . 7 (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ))))) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ)))))
4342mpteq2i 5249 . . . . . 6 (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘˜)𝑗) Β· (π‘˜πΈπ‘Œ)))))) = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ))))))
4418, 43eqtri 2753 . . . . 5 𝐼 = (𝑝 ∈ 𝐿 ↦ (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ (𝑃 Ξ£g (𝑙 ∈ β„•0 ↦ ((𝑖((coe1β€˜π‘)β€˜π‘™)𝑗) Β· (π‘™πΈπ‘Œ))))))
453, 5, 12, 15, 16, 17, 44, 14mp2pm2mplem4 22724 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) = ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜))
4645mpteq2dva 5244 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)))
475, 12, 33mptcoe1fsupp 22138 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π΄))
484, 47stoic3 1770 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((coe1β€˜π‘‚)β€˜π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π΄))
4946, 48eqbrtrd 5166 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜)) finSupp (0gβ€˜π΄))
502, 8, 11, 12, 26, 31, 32, 33, 34, 49mptscmfsupp0 20809 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂 ∈ 𝐿) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (((πΌβ€˜π‘‚) decompPMat π‘˜) βˆ— (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘„))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9380  β„•0cn0 12497  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  .gcmg 19022  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100   Mat cmat 22320   decompPMat cdecpmat 22677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-mamu 22304  df-mat 22321  df-decpmat 22678
This theorem is referenced by:  mp2pm2mp  22726
  Copyright terms: Public domain W3C validator