Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mp2pm2mplem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mp2pm2mplem5 21415
 Description: Lemma 5 for mp2pm2mp 21416. (Contributed by AV, 12-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
mp2pm2mp.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
mp2pm2mp.q 𝑄 = (Poly1𝐴)
mp2pm2mp.l 𝐿 = (Base‘𝑄)
mp2pm2mp.m · = ( ·𝑠𝑃)
mp2pm2mp.e 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
mp2pm2mp.y 𝑌 = (var1𝑅)
mp2pm2mp.i 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
mp2pm2mplem2.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
mp2pm2mplem5.m = ( ·𝑠𝑄)
mp2pm2mplem5.e = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
mp2pm2mplem5.x 𝑋 = (var1𝐴)
Assertion
Ref Expression
mp2pm2mplem5 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
Distinct variable groups:   𝐸,𝑝   𝐿,𝑝   𝑖,𝑁,𝑗,𝑝   𝑖,𝑂,𝑗,𝑝,𝑘   𝑃,𝑝   𝑅,𝑝   𝑌,𝑝   · ,𝑝   𝑘,𝐿   𝑃,𝑖,𝑗,𝑘   𝑅,𝑘   · ,𝑘   𝑖,𝐸,𝑗   𝑖,𝐿,𝑗   𝑘,𝑁   𝑅,𝑖,𝑗   𝑖,𝑌,𝑗   · ,𝑖,𝑗   𝐴,𝑖,𝑗,𝑘   𝑘,𝐸   𝑘,𝑌   ,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑝)   𝑄(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   (𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   𝐼(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)   (𝑖,𝑗,𝑝)   𝑋(𝑖,𝑗,𝑘,𝑝)

Proof of Theorem mp2pm2mplem5
Dummy variable 𝑙 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 11891 . . 3 0 ∈ V
21a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → ℕ0 ∈ V)
3 mp2pm2mp.a . . . . 5 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
43matring 21048 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5 mp2pm2mp.q . . . . 5 𝑄 = (Poly1𝐴)
65ply1lmod 20881 . . . 4 (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
74, 6syl 17 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝑄 ∈ LMod)
873adant3 1129 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝑄 ∈ LMod)
943adant3 1129 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝐴 ∈ Ring)
105ply1sca 20882 . . 3 (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
119, 10syl 17 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
12 mp2pm2mp.l . 2 𝐿 = (Base‘𝑄)
13 simpl2 1189 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
14 mp2pm2mplem2.p . . . . 5 𝑃 = (Poly1𝑅)
15 mp2pm2mp.m . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑃)
16 mp2pm2mp.e . . . . 5 𝐸 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
17 mp2pm2mp.y . . . . 5 𝑌 = (var1𝑅)
18 mp2pm2mp.i . . . . 5 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))))
19 eqid 2798 . . . . 5 (𝑁 Mat 𝑃) = (𝑁 Mat 𝑃)
20 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑃))
213, 5, 12, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20mply1topmatcl 21410 . . . 4 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝐼𝑂) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
2221adantr 484 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐼𝑂) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)))
23 simpr 488 . . 3 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
24 eqid 2798 . . . 4 (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
2514, 19, 20, 3, 24decpmatcl 21372 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼𝑂) ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑃)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
2613, 22, 23, 25syl3anc 1368 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
27 mp2pm2mplem5.x . . . 4 𝑋 = (var1𝐴)
28 eqid 2798 . . . 4 (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
29 mp2pm2mplem5.e . . . 4 = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
305, 27, 28, 29, 12ply1moncl 20900 . . 3 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
319, 30sylan 583 . 2 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐿)
32 eqid 2798 . 2 (0g𝑄) = (0g𝑄)
33 eqid 2798 . 2 (0g𝐴) = (0g𝐴)
34 mp2pm2mplem5.m . 2 = ( ·𝑠𝑄)
35 fveq2 6645 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑘 = 𝑙 → ((coe1𝑝)‘𝑘) = ((coe1𝑝)‘𝑙))
3635oveqd 7152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) = (𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗))
37 oveq1 7142 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑙 → (𝑘𝐸𝑌) = (𝑙𝐸𝑌))
3836, 37oveq12d 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑙 → ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)) = ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌)))
3938cbvmptv 5133 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))) = (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌)))
4039oveq2i 7146 . . . . . . . . 9 (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌))))
4140a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))) = (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌)))))
4241mpoeq3ia 7211 . . . . . . 7 (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌))))) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌)))))
4342mpteq2i 5122 . . . . . 6 (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑘)𝑗) · (𝑘𝐸𝑌)))))) = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌))))))
4418, 43eqtri 2821 . . . . 5 𝐼 = (𝑝𝐿 ↦ (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ (𝑃 Σg (𝑙 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑖((coe1𝑝)‘𝑙)𝑗) · (𝑙𝐸𝑌))))))
453, 5, 12, 15, 16, 17, 44, 14mp2pm2mplem4 21414 . . . 4 (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘) = ((coe1𝑂)‘𝑘))
4645mpteq2dva 5125 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘)) = (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑂)‘𝑘)))
475, 12, 33mptcoe1fsupp 20844 . . . 4 ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑂)‘𝑘)) finSupp (0g𝐴))
484, 47stoic3 1778 . . 3 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((coe1𝑂)‘𝑘)) finSupp (0g𝐴))
4946, 48eqbrtrd 5052 . 2 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘)) finSupp (0g𝐴))
502, 8, 11, 12, 26, 31, 32, 33, 34, 49mptscmfsupp0 19692 1 ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑂𝐿) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (((𝐼𝑂) decompPMat 𝑘) (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑄))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  Vcvv 3441   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∈ cmpo 7137  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  ℕ0cn0 11885  Basecbs 16475  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705   Σg cgsu 16706  .gcmg 18216  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290  LModclmod 19627  var1cv1 20805  Poly1cpl1 20806  coe1cco1 20807   Mat cmat 21012   decompPMat cdecpmat 21367 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-ot 4534  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-ofr 7390  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-2o 8086  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-oi 8958  df-card 9352  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-hash 13687  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-ip 16575  df-tset 16576  df-ple 16577  df-ds 16579  df-hom 16581  df-cco 16582  df-0g 16707  df-gsum 16708  df-prds 16713  df-pws 16715  df-mre 16849  df-mrc 16850  df-acs 16852  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17948  df-submnd 17949  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-mulg 18217  df-subg 18268  df-ghm 18348  df-cntz 18439  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19233  df-ur 19245  df-ring 19292  df-subrg 19526  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-sra 19937  df-rgmod 19938  df-dsmm 20421  df-frlm 20436  df-psr 20594  df-mvr 20595  df-mpl 20596  df-opsr 20598  df-psr1 20809  df-vr1 20810  df-ply1 20811  df-coe1 20812  df-mamu 20991  df-mat 21013  df-decpmat 21368 This theorem is referenced by:  mp2pm2mp  21416
 Copyright terms: Public domain W3C validator