Theorem pm2mpghmlem2 23038

Description: Lemma 2 for pm2mpghm 23042. (Contributed by AV, 15-Oct-2019.) (Revised by AV, 4-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpfo.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpfo.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpfo.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpfo.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpfo.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpfo.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpfo.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpfo.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpghmlem2	⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝑘,𝑀   𝑘,𝑁   𝑄,𝑘   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑘)   𝑃(𝑘)   ↑ (𝑘)   𝑋(𝑘)

Proof of Theorem pm2mpghmlem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0ex 12535	. . 3 ⊢ ℕ0 ∈ V
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
3		pm2mpfo.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
4	3	matring 22666	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
5	4	3adant3 1150	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
6		pm2mpfo.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
7	6	ply1lmod 22477	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝑄 ∈ LMod)
8	5, 7	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝑄 ∈ LMod)
9	6	ply1sca 22478	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Ring → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
10	5, 9	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → 𝐴 = (Scalar‘𝑄))
11		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
12		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
13		simpl3 1212	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
14		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
15		pm2mpfo.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
16		pm2mpfo.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
17		pm2mpfo.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
18		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
19	15, 16, 17, 3, 18	decpmatcl 22993	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
20	12, 13, 14, 19	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
21		pm2mpfo.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
22		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝑄) = (mulGrp‘𝑄)
23		pm2mpfo.e	. . . 4 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
24	6, 21, 22, 23, 11	ply1moncl 22498	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
25	5, 24	sylan 592	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ (Base‘𝑄))
26		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑄) = (0g‘𝑄)
27		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
28		pm2mpfo.m	. 2 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
29	15, 16, 17, 3, 27	decpmatfsupp 22995	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
30	29	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
31	2, 8, 10, 11, 20, 25, 26, 27, 28, 30	mptscmfsupp0 21112	1 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑄))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9332  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17302  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  ._gcmg 19191  mulGrpcmgp 20274  Ringcrg 20373  LModclmod 21045  var₁cv1 22402  Poly₁cpl1 22403   Mat cmat 22630   decompPMat cdecpmat 22988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-sra 21358  df-rgmod 21359  df-dsmm 21946  df-frlm 21961  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-opsr 22129  df-psr1 22406  df-vr1 22407  df-ply1 22408  df-coe1 22409  df-mamu 22614  df-mat 22631  df-decpmat 22989

This theorem is used by:  pm2mpghm  23042  pm2mpmhmlem2  23045