MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1nn 12453
Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12166. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 12165 . 2 1 ∈ ℕ
2 nn0nnaddcl 12445 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2mpan2 690 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2107  (class class class)co 7358  1c1 11053   + caddc 11055  cn 12154  0cn0 12414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-om 7804  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-ltxr 11195  df-nn 12155  df-n0 12415
This theorem is referenced by:  elnn0nn  12456  elz2  12518  peano5uzi  12593  fseq1p1m1  13516  fzonn0p1  13650  nn0ennn  13885  expnbnd  14136  faccl  14184  facdiv  14188  facwordi  14190  faclbnd  14191  facubnd  14201  bcm1k  14216  bcp1n  14217  bcp1nk  14218  bcpasc  14222  hashf1  14357  fz1isolem  14361  ccats1pfxeqrex  14604  wrdind  14611  wrd2ind  14612  ccats1pfxeqbi  14631  isercoll  15553  isercoll2  15554  iseralt  15570  bcxmas  15721  climcndslem1  15735  fprodser  15833  fallfacval4  15927  bpolycl  15936  bpolysum  15937  bpolydiflem  15938  fsumkthpow  15940  efcllem  15961  ruclem7  16119  ruclem8  16120  ruclem9  16121  sadcp1  16336  smupp1  16361  prmfac1  16598  iserodd  16708  pcfac  16772  1arith  16800  4sqlem12  16829  vdwlem11  16864  vdwlem12  16865  vdwlem13  16866  ramub1  16901  ramcl  16902  prmop1  16911  sylow1lem1  19381  efgsrel  19517  lebnumii  24332  lmnn  24630  vitalilem4  24978  itgpowd  25417  plyco  25605  dgrcolem2  25638  dgrco  25639  advlogexp  26013  cxpmul2  26047  atantayl3  26292  leibpilem2  26294  leibpi  26295  leibpisum  26296  log2cnv  26297  log2tlbnd  26298  log2ublem2  26300  log2ub  26302  birthdaylem2  26305  harmoniclbnd  26361  harmonicbnd4  26363  fsumharmonic  26364  facgam  26418  chpp1  26507  chtublem  26562  bcmono  26628  bcp1ctr  26630  gausslemma2dlem3  26719  2lgslem1a  26742  chtppilimlem1  26824  rplogsumlem2  26836  rpvmasumlem  26838  dchrisumlema  26839  dchrisumlem1  26840  dchrisum0flblem1  26859  dchrisum0lem1b  26866  dchrisum0lem1  26867  dchrisum0lem3  26870  selberg2lem  26901  pntrsumo1  26916  pntrlog2bndlem2  26929  pntrlog2bndlem4  26931  pntrlog2bndlem6a  26933  pntpbnd1  26937  pntpbnd2  26938  pntlemg  26949  pntlemj  26954  pntlemf  26956  qabvle  26976  ostth2lem2  26985  wlkonwlk1l  28614  wwlksnred  28840  wwlksnredwwlkn  28843  wwlksnredwwlkn0  28844  wwlksnwwlksnon  28863  minvecolem3  29821  minvecolem4  29825  cycpmco2lem4  31981  cycpmco2lem5  31982  cycpmco2lem6  31983  cycpmco2lem7  31984  archiabllem1a  32030  lmatfvlem  32399  signshnz  33206  subfacval2  33784  erdsze2lem2  33801  cvmliftlem7  33888  faclimlem1  34319  faclimlem2  34320  faclimlem3  34321  faclim  34322  faclim2  34324  poimirlem3  36084  poimirlem4  36085  poimirlem12  36093  poimirlem15  36096  poimirlem16  36097  poimirlem17  36098  poimirlem19  36100  poimirlem20  36101  poimirlem23  36104  poimirlem24  36105  poimirlem25  36106  poimirlem28  36109  poimirlem29  36110  poimirlem31  36112  heiborlem4  36276  heiborlem6  36278  diophin  41098  rexrabdioph  41120  2rexfrabdioph  41122  3rexfrabdioph  41123  4rexfrabdioph  41124  6rexfrabdioph  41125  7rexfrabdioph  41126  elnn0rabdioph  41129  dvdsrabdioph  41136  irrapxlem4  41151  irrapxlem5  41152  2nn0ind  41272  jm2.27a  41332  bccp1k  42628  binomcxplemrat  42637  binomcxplemfrat  42638  recnnltrp  43618  rpgtrecnn  43621  wallispilem3  44315  stirlinglem5  44326  vonioolem1  44928  fllog2  46661  blennnelnn  46669  dignn0flhalflem2  46709
  Copyright terms: Public domain W3C validator