Theorem nn0p1nn 12457

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12174. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12173	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12449	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11045   + caddc 11047  ℕcn 12162  ℕ₀cn0 12418

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-nn 12163  df-n0 12419

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12460  elz2  12523  peano5uzi  12599  fseq1p1m1  13535  fzonn0p1  13679  nn0ennn  13920  expnbnd  14173  faccl  14224  facdiv  14228  facwordi  14230  faclbnd  14231  facubnd  14241  bcm1k  14256  bcp1n  14257  bcp1nk  14258  bcpasc  14262  hashf1  14398  fz1isolem  14402  ccats1pfxeqrex  14656  wrdind  14663  wrd2ind  14664  ccats1pfxeqbi  14683  isercoll  15610  isercoll2  15611  iseralt  15627  bcxmas  15777  climcndslem1  15791  fprodser  15891  fallfacval4  15985  bpolycl  15994  bpolysum  15995  bpolydiflem  15996  fsumkthpow  15998  efcllem  16019  ruclem7  16180  ruclem8  16181  ruclem9  16182  sadcp1  16401  smupp1  16426  prmfac1  16666  iserodd  16782  pcfac  16846  1arith  16874  4sqlem12  16903  vdwlem11  16938  vdwlem12  16939  vdwlem13  16940  ramub1  16975  ramcl  16976  prmop1  16985  sylow1lem1  19512  efgsrel  19648  psdcl  22081  psdmul  22086  lebnumii  24898  lmnn  25196  vitalilem4  25545  itgpowd  25990  plyco  26179  dgrcolem2  26213  dgrco  26214  advlogexp  26597  cxpmul2  26631  atantayl3  26882  leibpilem2  26884  leibpi  26885  leibpisum  26886  log2cnv  26887  log2tlbnd  26888  log2ublem2  26890  log2ub  26892  birthdaylem2  26895  harmoniclbnd  26952  harmonicbnd4  26954  fsumharmonic  26955  facgam  27009  chpp1  27098  chtublem  27155  bcmono  27221  bcp1ctr  27223  gausslemma2dlem3  27312  2lgslem1a  27335  chtppilimlem1  27417  rplogsumlem2  27429  rpvmasumlem  27431  dchrisumlema  27432  dchrisumlem1  27433  dchrisum0flblem1  27452  dchrisum0lem1b  27459  dchrisum0lem1  27460  dchrisum0lem3  27463  selberg2lem  27494  pntrsumo1  27509  pntrlog2bndlem2  27522  pntrlog2bndlem4  27524  pntrlog2bndlem6a  27526  pntpbnd1  27530  pntpbnd2  27531  pntlemg  27542  pntlemj  27547  pntlemf  27549  qabvle  27569  ostth2lem2  27578  wlkonwlk1l  29642  wwlksnred  29872  wwlksnredwwlkn  29875  wwlksnredwwlkn0  29876  wwlksnwwlksnon  29895  minvecolem3  30855  minvecolem4  30859  cycpmco2lem4  33101  cycpmco2lem5  33102  cycpmco2lem6  33103  cycpmco2lem7  33104  archiabllem1a  33160  lmatfvlem  33798  signshnz  34575  subfacval2  35167  erdsze2lem2  35184  cvmliftlem7  35271  faclimlem1  35723  faclimlem2  35724  faclimlem3  35725  faclim  35726  faclim2  35728  poimirlem3  37610  poimirlem4  37611  poimirlem12  37619  poimirlem15  37622  poimirlem16  37623  poimirlem17  37624  poimirlem19  37626  poimirlem20  37627  poimirlem23  37630  poimirlem24  37631  poimirlem25  37632  poimirlem28  37635  poimirlem29  37636  poimirlem31  37638  heiborlem4  37801  heiborlem6  37803  fz1sump1  42291  sumcubes  42294  diophin  42753  rexrabdioph  42775  2rexfrabdioph  42777  3rexfrabdioph  42778  4rexfrabdioph  42779  6rexfrabdioph  42780  7rexfrabdioph  42781  elnn0rabdioph  42784  dvdsrabdioph  42791  irrapxlem4  42806  irrapxlem5  42807  2nn0ind  42927  jm2.27a  42987  bccp1k  44323  binomcxplemrat  44332  binomcxplemfrat  44333  recnnltrp  45366  rpgtrecnn  45369  wallispilem3  46058  stirlinglem5  46069  vonioolem1  46671  cjnpoly  46883  fllog2  48550  blennnelnn  48558  dignn0flhalflem2  48598