Theorem nn0p1nn 12592

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12305. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12304	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12584	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  1c1 11185   + caddc 11187  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-ov 7451  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-nn 12294  df-n0 12554

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12595  elz2  12657  peano5uzi  12732  fseq1p1m1  13658  fzonn0p1  13793  nn0ennn  14030  expnbnd  14281  faccl  14332  facdiv  14336  facwordi  14338  faclbnd  14339  facubnd  14349  bcm1k  14364  bcp1n  14365  bcp1nk  14366  bcpasc  14370  hashf1  14506  fz1isolem  14510  ccats1pfxeqrex  14763  wrdind  14770  wrd2ind  14771  ccats1pfxeqbi  14790  isercoll  15716  isercoll2  15717  iseralt  15733  bcxmas  15883  climcndslem1  15897  fprodser  15997  fallfacval4  16091  bpolycl  16100  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  fsumkthpow  16104  efcllem  16125  ruclem7  16284  ruclem8  16285  ruclem9  16286  sadcp1  16501  smupp1  16526  prmfac1  16767  iserodd  16882  pcfac  16946  1arith  16974  4sqlem12  17003  vdwlem11  17038  vdwlem12  17039  vdwlem13  17040  ramub1  17075  ramcl  17076  prmop1  17085  sylow1lem1  19640  efgsrel  19776  psdcl  22188  psdmul  22193  lebnumii  25017  lmnn  25316  vitalilem4  25665  itgpowd  26111  plyco  26300  dgrcolem2  26334  dgrco  26335  advlogexp  26715  cxpmul2  26749  atantayl3  27000  leibpilem2  27002  leibpi  27003  leibpisum  27004  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ublem2  27008  log2ub  27010  birthdaylem2  27013  harmoniclbnd  27070  harmonicbnd4  27072  fsumharmonic  27073  facgam  27127  chpp1  27216  chtublem  27273  bcmono  27339  bcp1ctr  27341  gausslemma2dlem3  27430  2lgslem1a  27453  chtppilimlem1  27535  rplogsumlem2  27547  rpvmasumlem  27549  dchrisumlema  27550  dchrisumlem1  27551  dchrisum0flblem1  27570  dchrisum0lem1b  27577  dchrisum0lem1  27578  dchrisum0lem3  27581  selberg2lem  27612  pntrsumo1  27627  pntrlog2bndlem2  27640  pntrlog2bndlem4  27642  pntrlog2bndlem6a  27644  pntpbnd1  27648  pntpbnd2  27649  pntlemg  27660  pntlemj  27665  pntlemf  27667  qabvle  27687  ostth2lem2  27696  wlkonwlk1l  29699  wwlksnred  29925  wwlksnredwwlkn  29928  wwlksnredwwlkn0  29929  wwlksnwwlksnon  29948  minvecolem3  30908  minvecolem4  30912  cycpmco2lem4  33122  cycpmco2lem5  33123  cycpmco2lem6  33124  cycpmco2lem7  33125  archiabllem1a  33171  lmatfvlem  33761  signshnz  34568  subfacval2  35155  erdsze2lem2  35172  cvmliftlem7  35259  faclimlem1  35705  faclimlem2  35706  faclimlem3  35707  faclim  35708  faclim2  35710  poimirlem3  37583  poimirlem4  37584  poimirlem12  37592  poimirlem15  37595  poimirlem16  37596  poimirlem17  37597  poimirlem19  37599  poimirlem20  37600  poimirlem23  37603  poimirlem24  37604  poimirlem25  37605  poimirlem28  37608  poimirlem29  37609  poimirlem31  37611  heiborlem4  37774  heiborlem6  37776  fz1sump1  42298  sumcubes  42301  diophin  42728  rexrabdioph  42750  2rexfrabdioph  42752  3rexfrabdioph  42753  4rexfrabdioph  42754  6rexfrabdioph  42755  7rexfrabdioph  42756  elnn0rabdioph  42759  dvdsrabdioph  42766  irrapxlem4  42781  irrapxlem5  42782  2nn0ind  42902  jm2.27a  42962  bccp1k  44310  binomcxplemrat  44319  binomcxplemfrat  44320  recnnltrp  45292  rpgtrecnn  45295  wallispilem3  45988  stirlinglem5  45999  vonioolem1  46601  fllog2  48302  blennnelnn  48310  dignn0flhalflem2  48350