Theorem nn0p1nn 11746

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11451. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11450	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 11738	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 679	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2051  (class class class)co 6974  1c1 10334   + caddc 10336  ℕcn 11437  ℕ₀cn0 11705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-resscn 10390  ax-1cn 10391  ax-icn 10392  ax-addcl 10393  ax-addrcl 10394  ax-mulcl 10395  ax-mulrcl 10396  ax-mulcom 10397  ax-addass 10398  ax-mulass 10399  ax-distr 10400  ax-i2m1 10401  ax-1ne0 10402  ax-1rid 10403  ax-rnegex 10404  ax-rrecex 10405  ax-cnre 10406  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408  ax-pre-ltadd 10409

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-ov 6977  df-om 7395  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-ltxr 10477  df-nn 11438  df-n0 11706

This theorem is referenced by:  elnn0nn  11749  elz2  11809  peano5uzi  11882  fseq1p1m1  12795  fzonn0p1  12927  nn0ennn  13160  expnbnd  13406  faccl  13456  facdiv  13460  facwordi  13462  faclbnd  13463  facubnd  13473  bcm1k  13488  bcp1n  13489  bcp1nk  13490  bcpasc  13494  hashf1  13626  fz1isolem  13630  ccats1pfxeqrex  13904  wrdind  13913  wrdindOLD  13914  wrd2ind  13915  wrd2indOLD  13916  ccats1pfxeqbi  13947  ccats1swrdeqbiOLD  13948  isercoll  14883  isercoll2  14884  iseralt  14900  bcxmas  15048  climcndslem1  15062  fprodser  15161  fallfacval4  15255  bpolycl  15264  bpolysum  15265  bpolydiflem  15266  fsumkthpow  15268  efcllem  15289  ruclem7  15447  ruclem8  15448  ruclem9  15449  sadcp1  15662  smupp1  15687  prmfac1  15917  iserodd  16026  pcfac  16089  1arith  16117  4sqlem12  16146  vdwlem11  16181  vdwlem12  16182  vdwlem13  16183  ramub1  16218  ramcl  16219  prmop1  16228  sylow1lem1  18496  efgsrel  18630  efgsp1  18633  lebnumii  23288  lmnn  23584  vitalilem4  23930  plyco  24549  dgrcolem2  24582  dgrco  24583  advlogexp  24954  cxpmul2  24988  atantayl3  25233  leibpilem2  25236  leibpi  25237  leibpisum  25238  log2cnv  25239  log2tlbnd  25240  log2ublem2  25242  log2ub  25244  birthdaylem2  25247  harmoniclbnd  25303  harmonicbnd4  25305  fsumharmonic  25306  facgam  25360  chpp1  25449  chtublem  25504  bcmono  25570  bcp1ctr  25572  gausslemma2dlem3  25661  2lgslem1a  25684  chtppilimlem1  25766  rplogsumlem2  25778  rpvmasumlem  25780  dchrisumlema  25781  dchrisumlem1  25782  dchrisum0flblem1  25801  dchrisum0lem1b  25808  dchrisum0lem1  25809  dchrisum0lem3  25812  selberg2lem  25843  pntrsumo1  25858  pntrlog2bndlem2  25871  pntrlog2bndlem4  25873  pntrlog2bndlem6a  25875  pntpbnd1  25879  pntpbnd2  25880  pntlemg  25891  pntlemj  25896  pntlemf  25898  qabvle  25918  ostth2lem2  25927  wlkonwlk1l  27162  wwlksnred  27394  wwlksnredOLD  27395  wwlksnredwwlkn  27399  wwlksnredwwlknOLD  27400  wwlksnredwwlkn0  27401  wwlksnredwwlkn0OLD  27402  wwlksnwwlksnon  27436  minvecolem3  28446  minvecolem4  28450  archiabllem1a  30518  lmatfvlem  30754  signshnz  31541  subfacval2  32056  erdsze2lem2  32073  cvmliftlem7  32160  faclimlem1  32532  faclimlem2  32533  faclimlem3  32534  faclim  32535  faclim2  32537  poimirlem3  34373  poimirlem4  34374  poimirlem12  34382  poimirlem15  34385  poimirlem16  34386  poimirlem17  34387  poimirlem19  34389  poimirlem20  34390  poimirlem23  34393  poimirlem24  34394  poimirlem25  34395  poimirlem28  34398  poimirlem29  34399  poimirlem31  34401  heiborlem4  34571  heiborlem6  34573  diophin  38803  rexrabdioph  38825  2rexfrabdioph  38827  3rexfrabdioph  38828  4rexfrabdioph  38829  6rexfrabdioph  38830  7rexfrabdioph  38831  elnn0rabdioph  38834  dvdsrabdioph  38841  irrapxlem4  38856  irrapxlem5  38857  2nn0ind  38976  jm2.27a  39036  itgpowd  39255  bccp1k  40127  binomcxplemrat  40136  binomcxplemfrat  40137  recnnltrp  41108  rpgtrecnn  41112  wallispilem3  41817  stirlinglem5  41828  vonioolem1  42427  fllog2  44030  blennnelnn  44038  dignn0flhalflem2  44078