Theorem nn0p1nn 12445

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12162. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12161	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12437	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  1c1 11032   + caddc 11034  ℕcn 12150  ℕ₀cn0 12406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-ltxr 11176  df-nn 12151  df-n0 12407

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12448  elz2  12511  peano5uzi  12586  fseq1p1m1  13519  fzonn0p1  13663  nn0ennn  13907  expnbnd  14160  faccl  14211  facdiv  14215  facwordi  14217  faclbnd  14218  facubnd  14228  bcm1k  14243  bcp1n  14244  bcp1nk  14245  bcpasc  14249  hashf1  14385  fz1isolem  14389  ccats1pfxeqrex  14643  wrdind  14650  wrd2ind  14651  ccats1pfxeqbi  14670  isercoll  15596  isercoll2  15597  iseralt  15613  bcxmas  15763  climcndslem1  15777  fprodser  15877  fallfacval4  15971  bpolycl  15980  bpolysum  15981  bpolydiflem  15982  fsumkthpow  15984  efcllem  16005  ruclem7  16166  ruclem8  16167  ruclem9  16168  sadcp1  16387  smupp1  16412  prmfac1  16652  iserodd  16768  pcfac  16832  1arith  16860  4sqlem12  16889  vdwlem11  16924  vdwlem12  16925  vdwlem13  16926  ramub1  16961  ramcl  16962  prmop1  16971  sylow1lem1  19532  efgsrel  19668  psdcl  22109  psdmul  22114  lebnumii  24926  lmnn  25224  vitalilem4  25573  itgpowd  26018  plyco  26207  dgrcolem2  26241  dgrco  26242  advlogexp  26625  cxpmul2  26659  atantayl3  26910  leibpilem2  26912  leibpi  26913  leibpisum  26914  log2cnv  26915  log2tlbnd  26916  log2ublem2  26918  log2ub  26920  birthdaylem2  26923  harmoniclbnd  26980  harmonicbnd4  26982  fsumharmonic  26983  facgam  27037  chpp1  27126  chtublem  27183  bcmono  27249  bcp1ctr  27251  gausslemma2dlem3  27340  2lgslem1a  27363  chtppilimlem1  27445  rplogsumlem2  27457  rpvmasumlem  27459  dchrisumlema  27460  dchrisumlem1  27461  dchrisum0flblem1  27480  dchrisum0lem1b  27487  dchrisum0lem1  27488  dchrisum0lem3  27491  selberg2lem  27522  pntrsumo1  27537  pntrlog2bndlem2  27550  pntrlog2bndlem4  27552  pntrlog2bndlem6a  27554  pntpbnd1  27558  pntpbnd2  27559  pntlemg  27570  pntlemj  27575  pntlemf  27577  qabvle  27597  ostth2lem2  27606  wlkonwlk1l  29740  wwlksnred  29970  wwlksnredwwlkn  29973  wwlksnredwwlkn0  29974  wwlksnwwlksnon  29993  minvecolem3  30956  minvecolem4  30960  cycpmco2lem4  33215  cycpmco2lem5  33216  cycpmco2lem6  33217  cycpmco2lem7  33218  archiabllem1a  33277  lmatfvlem  33985  signshnz  34761  subfacval2  35394  erdsze2lem2  35411  cvmliftlem7  35498  faclimlem1  35950  faclimlem2  35951  faclimlem3  35952  faclim  35953  faclim2  35955  poimirlem3  37837  poimirlem4  37838  poimirlem12  37846  poimirlem15  37849  poimirlem16  37850  poimirlem17  37851  poimirlem19  37853  poimirlem20  37854  poimirlem23  37857  poimirlem24  37858  poimirlem25  37859  poimirlem28  37862  poimirlem29  37863  poimirlem31  37865  heiborlem4  38028  heiborlem6  38030  fz1sump1  42643  sumcubes  42646  diophin  43092  rexrabdioph  43114  2rexfrabdioph  43116  3rexfrabdioph  43117  4rexfrabdioph  43118  6rexfrabdioph  43119  7rexfrabdioph  43120  elnn0rabdioph  43123  dvdsrabdioph  43130  irrapxlem4  43145  irrapxlem5  43146  2nn0ind  43265  jm2.27a  43325  bccp1k  44660  binomcxplemrat  44669  binomcxplemfrat  44670  recnnltrp  45698  rpgtrecnn  45701  wallispilem3  46388  stirlinglem5  46399  vonioolem1  47001  cjnpoly  47212  fllog2  48891  blennnelnn  48899  dignn0flhalflem2  48939