Theorem nn0p1nn 12420

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12137. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12136	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12412	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  1c1 11007   + caddc 11009  ℕcn 12125  ℕ₀cn0 12381

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-ov 7349  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-nn 12126  df-n0 12382

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12423  elz2  12486  peano5uzi  12562  fseq1p1m1  13498  fzonn0p1  13642  nn0ennn  13886  expnbnd  14139  faccl  14190  facdiv  14194  facwordi  14196  faclbnd  14197  facubnd  14207  bcm1k  14222  bcp1n  14223  bcp1nk  14224  bcpasc  14228  hashf1  14364  fz1isolem  14368  ccats1pfxeqrex  14622  wrdind  14629  wrd2ind  14630  ccats1pfxeqbi  14649  isercoll  15575  isercoll2  15576  iseralt  15592  bcxmas  15742  climcndslem1  15756  fprodser  15856  fallfacval4  15950  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  efcllem  15984  ruclem7  16145  ruclem8  16146  ruclem9  16147  sadcp1  16366  smupp1  16391  prmfac1  16631  iserodd  16747  pcfac  16811  1arith  16839  4sqlem12  16868  vdwlem11  16903  vdwlem12  16904  vdwlem13  16905  ramub1  16940  ramcl  16941  prmop1  16950  sylow1lem1  19510  efgsrel  19646  psdcl  22076  psdmul  22081  lebnumii  24892  lmnn  25190  vitalilem4  25539  itgpowd  25984  plyco  26173  dgrcolem2  26207  dgrco  26208  advlogexp  26591  cxpmul2  26625  atantayl3  26876  leibpilem2  26878  leibpi  26879  leibpisum  26880  log2cnv  26881  log2tlbnd  26882  log2ublem2  26884  log2ub  26886  birthdaylem2  26889  harmoniclbnd  26946  harmonicbnd4  26948  fsumharmonic  26949  facgam  27003  chpp1  27092  chtublem  27149  bcmono  27215  bcp1ctr  27217  gausslemma2dlem3  27306  2lgslem1a  27329  chtppilimlem1  27411  rplogsumlem2  27423  rpvmasumlem  27425  dchrisumlema  27426  dchrisumlem1  27427  dchrisum0flblem1  27446  dchrisum0lem1b  27453  dchrisum0lem1  27454  dchrisum0lem3  27457  selberg2lem  27488  pntrsumo1  27503  pntrlog2bndlem2  27516  pntrlog2bndlem4  27518  pntrlog2bndlem6a  27520  pntpbnd1  27524  pntpbnd2  27525  pntlemg  27536  pntlemj  27541  pntlemf  27543  qabvle  27563  ostth2lem2  27572  wlkonwlk1l  29640  wwlksnred  29870  wwlksnredwwlkn  29873  wwlksnredwwlkn0  29874  wwlksnwwlksnon  29893  minvecolem3  30856  minvecolem4  30860  cycpmco2lem4  33098  cycpmco2lem5  33099  cycpmco2lem6  33100  cycpmco2lem7  33101  archiabllem1a  33160  lmatfvlem  33828  signshnz  34604  subfacval2  35231  erdsze2lem2  35248  cvmliftlem7  35335  faclimlem1  35787  faclimlem2  35788  faclimlem3  35789  faclim  35790  faclim2  35792  poimirlem3  37662  poimirlem4  37663  poimirlem12  37671  poimirlem15  37674  poimirlem16  37675  poimirlem17  37676  poimirlem19  37678  poimirlem20  37679  poimirlem23  37682  poimirlem24  37683  poimirlem25  37684  poimirlem28  37687  poimirlem29  37688  poimirlem31  37690  heiborlem4  37853  heiborlem6  37855  fz1sump1  42402  sumcubes  42405  diophin  42864  rexrabdioph  42886  2rexfrabdioph  42888  3rexfrabdioph  42889  4rexfrabdioph  42890  6rexfrabdioph  42891  7rexfrabdioph  42892  elnn0rabdioph  42895  dvdsrabdioph  42902  irrapxlem4  42917  irrapxlem5  42918  2nn0ind  43037  jm2.27a  43097  bccp1k  44433  binomcxplemrat  44442  binomcxplemfrat  44443  recnnltrp  45474  rpgtrecnn  45477  wallispilem3  46164  stirlinglem5  46175  vonioolem1  46777  cjnpoly  46988  fllog2  48668  blennnelnn  48676  dignn0flhalflem2  48716