Theorem nn0p1nn 12540

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12252. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12251	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12532	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  1c1 11130   + caddc 11132  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-nn 12241  df-n0 12502

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12543  elz2  12606  peano5uzi  12682  fseq1p1m1  13615  fzonn0p1  13758  nn0ennn  13997  expnbnd  14250  faccl  14301  facdiv  14305  facwordi  14307  faclbnd  14308  facubnd  14318  bcm1k  14333  bcp1n  14334  bcp1nk  14335  bcpasc  14339  hashf1  14475  fz1isolem  14479  ccats1pfxeqrex  14733  wrdind  14740  wrd2ind  14741  ccats1pfxeqbi  14760  isercoll  15684  isercoll2  15685  iseralt  15701  bcxmas  15851  climcndslem1  15865  fprodser  15965  fallfacval4  16059  bpolycl  16068  bpolysum  16069  bpolydiflem  16070  fsumkthpow  16072  efcllem  16093  ruclem7  16254  ruclem8  16255  ruclem9  16256  sadcp1  16474  smupp1  16499  prmfac1  16739  iserodd  16855  pcfac  16919  1arith  16947  4sqlem12  16976  vdwlem11  17011  vdwlem12  17012  vdwlem13  17013  ramub1  17048  ramcl  17049  prmop1  17058  sylow1lem1  19579  efgsrel  19715  psdcl  22099  psdmul  22104  lebnumii  24916  lmnn  25215  vitalilem4  25564  itgpowd  26009  plyco  26198  dgrcolem2  26232  dgrco  26233  advlogexp  26616  cxpmul2  26650  atantayl3  26901  leibpilem2  26903  leibpi  26904  leibpisum  26905  log2cnv  26906  log2tlbnd  26907  log2ublem2  26909  log2ub  26911  birthdaylem2  26914  harmoniclbnd  26971  harmonicbnd4  26973  fsumharmonic  26974  facgam  27028  chpp1  27117  chtublem  27174  bcmono  27240  bcp1ctr  27242  gausslemma2dlem3  27331  2lgslem1a  27354  chtppilimlem1  27436  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlema  27451  dchrisumlem1  27452  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem3  27482  selberg2lem  27513  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem6a  27545  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntlemg  27561  pntlemj  27566  pntlemf  27568  qabvle  27588  ostth2lem2  27597  wlkonwlk1l  29643  wwlksnred  29874  wwlksnredwwlkn  29877  wwlksnredwwlkn0  29878  wwlksnwwlksnon  29897  minvecolem3  30857  minvecolem4  30861  cycpmco2lem4  33140  cycpmco2lem5  33141  cycpmco2lem6  33142  cycpmco2lem7  33143  archiabllem1a  33189  lmatfvlem  33846  signshnz  34623  subfacval2  35209  erdsze2lem2  35226  cvmliftlem7  35313  faclimlem1  35760  faclimlem2  35761  faclimlem3  35762  faclim  35763  faclim2  35765  poimirlem3  37647  poimirlem4  37648  poimirlem12  37656  poimirlem15  37659  poimirlem16  37660  poimirlem17  37661  poimirlem19  37663  poimirlem20  37664  poimirlem23  37667  poimirlem24  37668  poimirlem25  37669  poimirlem28  37672  poimirlem29  37673  poimirlem31  37675  heiborlem4  37838  heiborlem6  37840  fz1sump1  42359  sumcubes  42362  diophin  42795  rexrabdioph  42817  2rexfrabdioph  42819  3rexfrabdioph  42820  4rexfrabdioph  42821  6rexfrabdioph  42822  7rexfrabdioph  42823  elnn0rabdioph  42826  dvdsrabdioph  42833  irrapxlem4  42848  irrapxlem5  42849  2nn0ind  42969  jm2.27a  43029  bccp1k  44365  binomcxplemrat  44374  binomcxplemfrat  44375  recnnltrp  45404  rpgtrecnn  45407  wallispilem3  46096  stirlinglem5  46107  vonioolem1  46709  fllog2  48548  blennnelnn  48556  dignn0flhalflem2  48596