Theorem nn0p1nn 12465

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12175. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12174	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12457	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7356  1c1 11028   + caddc 11030  ℕcn 12163  ℕ₀cn0 12426

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8632  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-nn 12164  df-n0 12427

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12468  elz2  12531  peano5uzi  12607  fseq1p1m1  13541  fzonn0p1  13686  nn0ennn  13930  expnbnd  14183  faccl  14234  facdiv  14238  facwordi  14240  faclbnd  14241  facubnd  14251  bcm1k  14266  bcp1n  14267  bcp1nk  14268  bcpasc  14272  hashf1  14408  fz1isolem  14412  ccats1pfxeqrex  14666  wrdind  14673  wrd2ind  14674  ccats1pfxeqbi  14693  isercoll  15619  isercoll2  15620  iseralt  15636  bcxmas  15789  climcndslem1  15803  fprodser  15903  fallfacval4  15997  bpolycl  16006  bpolysum  16007  bpolydiflem  16008  fsumkthpow  16010  efcllem  16031  ruclem7  16192  ruclem8  16193  ruclem9  16194  sadcp1  16413  smupp1  16438  prmfac1  16679  iserodd  16795  pcfac  16859  1arith  16887  4sqlem12  16916  vdwlem11  16951  vdwlem12  16952  vdwlem13  16953  ramub1  16988  ramcl  16989  prmop1  16998  sylow1lem1  19562  efgsrel  19698  psdcl  22116  psdmul  22121  lebnumii  24921  lmnn  25218  vitalilem4  25566  itgpowd  26005  plyco  26194  dgrcolem2  26227  dgrco  26228  advlogexp  26607  cxpmul2  26641  atantayl3  26891  leibpilem2  26893  leibpi  26894  leibpisum  26895  log2cnv  26896  log2tlbnd  26897  log2ublem2  26899  log2ub  26901  birthdaylem2  26904  harmoniclbnd  26960  harmonicbnd4  26962  fsumharmonic  26963  facgam  27017  chpp1  27106  chtublem  27162  bcmono  27228  bcp1ctr  27230  gausslemma2dlem3  27319  2lgslem1a  27342  chtppilimlem1  27424  rplogsumlem2  27436  rpvmasumlem  27438  dchrisumlema  27439  dchrisumlem1  27440  dchrisum0flblem1  27459  dchrisum0lem1b  27466  dchrisum0lem1  27467  dchrisum0lem3  27470  selberg2lem  27501  pntrsumo1  27516  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem4  27531  pntrlog2bndlem6a  27533  pntpbnd1  27537  pntpbnd2  27538  pntlemg  27549  pntlemj  27554  pntlemf  27556  qabvle  27576  ostth2lem2  27585  wlkonwlk1l  29718  wwlksnred  29948  wwlksnredwwlkn  29951  wwlksnredwwlkn0  29952  wwlksnwwlksnon  29971  minvecolem3  30935  minvecolem4  30939  cycpmco2lem4  33178  cycpmco2lem5  33179  cycpmco2lem6  33180  cycpmco2lem7  33181  archiabllem1a  33240  lmatfvlem  33947  signshnz  34723  subfacval2  35357  erdsze2lem2  35374  cvmliftlem7  35461  faclimlem1  35913  faclimlem2  35914  faclimlem3  35915  faclim  35916  faclim2  35918  poimirlem3  37932  poimirlem4  37933  poimirlem12  37941  poimirlem15  37944  poimirlem16  37945  poimirlem17  37946  poimirlem19  37948  poimirlem20  37949  poimirlem23  37952  poimirlem24  37953  poimirlem25  37954  poimirlem28  37957  poimirlem29  37958  poimirlem31  37960  heiborlem4  38123  heiborlem6  38125  fz1sump1  42730  sumcubes  42733  diophin  43192  rexrabdioph  43210  2rexfrabdioph  43212  3rexfrabdioph  43213  4rexfrabdioph  43214  6rexfrabdioph  43215  7rexfrabdioph  43216  elnn0rabdioph  43219  dvdsrabdioph  43226  irrapxlem4  43241  irrapxlem5  43242  2nn0ind  43361  jm2.27a  43421  bccp1k  44756  binomcxplemrat  44765  binomcxplemfrat  44766  recnnltrp  45794  rpgtrecnn  45797  wallispilem3  46483  stirlinglem5  46494  vonioolem1  47096  cjnpoly  47325  fllog2  49032  blennnelnn  49040  dignn0flhalflem2  49080