Theorem nn0p1nn 12515

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12228. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12227	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12507	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 687	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2104  (class class class)co 7411  1c1 11113   + caddc 11115  ℕcn 12216  ℕ₀cn0 12476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-nn 12217  df-n0 12477

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12518  elz2  12580  peano5uzi  12655  fseq1p1m1  13579  fzonn0p1  13713  nn0ennn  13948  expnbnd  14199  faccl  14247  facdiv  14251  facwordi  14253  faclbnd  14254  facubnd  14264  bcm1k  14279  bcp1n  14280  bcp1nk  14281  bcpasc  14285  hashf1  14422  fz1isolem  14426  ccats1pfxeqrex  14669  wrdind  14676  wrd2ind  14677  ccats1pfxeqbi  14696  isercoll  15618  isercoll2  15619  iseralt  15635  bcxmas  15785  climcndslem1  15799  fprodser  15897  fallfacval4  15991  bpolycl  16000  bpolysum  16001  bpolydiflem  16002  fsumkthpow  16004  efcllem  16025  ruclem7  16183  ruclem8  16184  ruclem9  16185  sadcp1  16400  smupp1  16425  prmfac1  16662  iserodd  16772  pcfac  16836  1arith  16864  4sqlem12  16893  vdwlem11  16928  vdwlem12  16929  vdwlem13  16930  ramub1  16965  ramcl  16966  prmop1  16975  sylow1lem1  19507  efgsrel  19643  lebnumii  24712  lmnn  25011  vitalilem4  25360  itgpowd  25802  plyco  25990  dgrcolem2  26024  dgrco  26025  advlogexp  26399  cxpmul2  26433  atantayl3  26680  leibpilem2  26682  leibpi  26683  leibpisum  26684  log2cnv  26685  log2tlbnd  26686  log2ublem2  26688  log2ub  26690  birthdaylem2  26693  harmoniclbnd  26749  harmonicbnd4  26751  fsumharmonic  26752  facgam  26806  chpp1  26895  chtublem  26950  bcmono  27016  bcp1ctr  27018  gausslemma2dlem3  27107  2lgslem1a  27130  chtppilimlem1  27212  rplogsumlem2  27224  rpvmasumlem  27226  dchrisumlema  27227  dchrisumlem1  27228  dchrisum0flblem1  27247  dchrisum0lem1b  27254  dchrisum0lem1  27255  dchrisum0lem3  27258  selberg2lem  27289  pntrsumo1  27304  pntrlog2bndlem2  27317  pntrlog2bndlem4  27319  pntrlog2bndlem6a  27321  pntpbnd1  27325  pntpbnd2  27326  pntlemg  27337  pntlemj  27342  pntlemf  27344  qabvle  27364  ostth2lem2  27373  wlkonwlk1l  29187  wwlksnred  29413  wwlksnredwwlkn  29416  wwlksnredwwlkn0  29417  wwlksnwwlksnon  29436  minvecolem3  30396  minvecolem4  30400  cycpmco2lem4  32558  cycpmco2lem5  32559  cycpmco2lem6  32560  cycpmco2lem7  32561  archiabllem1a  32607  lmatfvlem  33093  signshnz  33900  subfacval2  34476  erdsze2lem2  34493  cvmliftlem7  34580  faclimlem1  35017  faclimlem2  35018  faclimlem3  35019  faclim  35020  faclim2  35022  poimirlem3  36794  poimirlem4  36795  poimirlem12  36803  poimirlem15  36806  poimirlem16  36807  poimirlem17  36808  poimirlem19  36810  poimirlem20  36811  poimirlem23  36814  poimirlem24  36815  poimirlem25  36816  poimirlem28  36819  poimirlem29  36820  poimirlem31  36822  heiborlem4  36985  heiborlem6  36987  fz1sump1  41510  sumcubes  41513  diophin  41812  rexrabdioph  41834  2rexfrabdioph  41836  3rexfrabdioph  41837  4rexfrabdioph  41838  6rexfrabdioph  41839  7rexfrabdioph  41840  elnn0rabdioph  41843  dvdsrabdioph  41850  irrapxlem4  41865  irrapxlem5  41866  2nn0ind  41986  jm2.27a  42046  bccp1k  43402  binomcxplemrat  43411  binomcxplemfrat  43412  recnnltrp  44385  rpgtrecnn  44388  wallispilem3  45081  stirlinglem5  45092  vonioolem1  45694  fllog2  47341  blennnelnn  47349  dignn0flhalflem2  47389