Theorem nn0p1nn 12549

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12251. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12250	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12541	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  1c1 11107   + caddc 11109  ℕcn 12239  ℕ₀cn0 12510

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7415  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-nn 12240  df-n0 12511

This theorem is used by:  elnn0nn  12552  elz2  12615  peano5uzi  12691  fseq1p1m1  13633  fzonn0p1  13778  nn0ennn  14022  expnbnd  14275  faccl  14326  facdiv  14330  facwordi  14332  faclbnd  14333  facubnd  14343  bcm1k  14358  bcp1n  14359  bcp1nk  14360  bcpasc  14364  hashf1  14501  fz1isolem  14505  ccats1pfxeqrex  14759  wrdind  14766  wrd2ind  14767  ccats1pfxeqbi  14786  isercoll  15726  isercoll2  15727  iseralt  15743  bcxmas  15896  climcndslem1  15910  fprodser  16010  fallfacval4  16103  bpolycl  16112  bpolysum  16113  bpolydiflem  16114  fsumkthpow  16116  efcllem  16137  ruclem7  16298  ruclem8  16299  ruclem9  16300  sadcp1  16519  smupp1  16544  prmfac1  16785  iserodd  16901  pcfac  16965  1arith  16993  4sqlem12  17022  vdwlem11  17057  vdwlem12  17058  vdwlem13  17059  ramub1  17094  ramcl  17095  prmop1  17104  sylow1lem1  19674  efgsrel  19810  psdcl  22335  psdmul  22340  lebnumii  25136  lmnn  25433  vitalilem4  25781  itgpowd  26220  plyco  26409  dgrcolem2  26442  dgrco  26443  advlogexp  26831  cxpmul2  26865  atantayl3  27115  leibpilem2  27117  leibpi  27118  leibpisum  27119  log2cnv  27120  log2tlbnd  27121  log2ublem2  27123  log2ub  27125  birthdaylem2  27128  harmoniclbnd  27184  harmonicbnd4  27186  fsumharmonic  27187  facgam  27241  chpp1  27330  chtublem  27386  bcmono  27452  bcp1ctr  27454  gausslemma2dlem3  27543  2lgslem1a  27566  chtppilimlem1  27648  rplogsumlem2  27660  rpvmasumlem  27662  dchrisumlema  27663  dchrisumlem1  27664  dchrisum0flblem1  27683  dchrisum0lem1b  27690  dchrisum0lem1  27691  dchrisum0lem3  27694  selberg2lem  27725  pntrsumo1  27740  pntrlog2bndlem2  27753  pntrlog2bndlem4  27755  pntrlog2bndlem6a  27757  pntpbnd1  27761  pntpbnd2  27762  pntlemg  27773  pntlemj  27778  pntlemf  27780  qabvle  27800  ostth2lem2  27809  wlkonwlk1l  30022  wwlksnred  30252  wwlksnredwwlkn  30255  wwlksnredwwlkn0  30256  wwlksnwwlksnon  30275  minvecolem3  31239  minvecolem4  31243  cycpmco2lem4  33458  cycpmco2lem5  33459  cycpmco2lem6  33460  cycpmco2lem7  33461  archiabllem1a  33520  lmatfvlem  34214  signshnz  34987  subfacval2  35687  erdsze2lem2  35704  cvmliftlem7  35791  faclimlem1  36243  faclimlem2  36244  faclimlem3  36245  faclim  36246  faclim2  36248  poimirlem3  38302  poimirlem4  38303  poimirlem12  38311  poimirlem15  38314  poimirlem16  38315  poimirlem17  38316  poimirlem19  38318  poimirlem20  38319  poimirlem23  38322  poimirlem24  38323  poimirlem25  38324  poimirlem28  38327  poimirlem29  38328  poimirlem31  38330  heiborlem4  38493  heiborlem6  38495  fz1sump1  43099  sumcubes  43102  diophin  43531  rexrabdioph  43549  2rexfrabdioph  43551  3rexfrabdioph  43552  4rexfrabdioph  43553  6rexfrabdioph  43554  7rexfrabdioph  43555  elnn0rabdioph  43558  dvdsrabdioph  43565  irrapxlem4  43580  irrapxlem5  43581  2nn0ind  43700  jm2.27a  43760  bccp1k  45079  binomcxplemrat  45088  binomcxplemfrat  45089  recnnltrp  46120  rpgtrecnn  46123  wallispilem3  46809  stirlinglem5  46820  vonioolem1  47422  cjnpoly  47654  fllog2  49376  blennnelnn  49384  dignn0flhalflem2  49424