Theorem nn0p1nn 12442

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12159. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12158	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12434	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  1c1 11029   + caddc 11031  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-ltxr 11173  df-nn 12148  df-n0 12404

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12445  elz2  12508  peano5uzi  12583  fseq1p1m1  13516  fzonn0p1  13660  nn0ennn  13904  expnbnd  14157  faccl  14208  facdiv  14212  facwordi  14214  faclbnd  14215  facubnd  14225  bcm1k  14240  bcp1n  14241  bcp1nk  14242  bcpasc  14246  hashf1  14382  fz1isolem  14386  ccats1pfxeqrex  14640  wrdind  14647  wrd2ind  14648  ccats1pfxeqbi  14667  isercoll  15593  isercoll2  15594  iseralt  15610  bcxmas  15760  climcndslem1  15774  fprodser  15874  fallfacval4  15968  bpolycl  15977  bpolysum  15978  bpolydiflem  15979  fsumkthpow  15981  efcllem  16002  ruclem7  16163  ruclem8  16164  ruclem9  16165  sadcp1  16384  smupp1  16409  prmfac1  16649  iserodd  16765  pcfac  16829  1arith  16857  4sqlem12  16886  vdwlem11  16921  vdwlem12  16922  vdwlem13  16923  ramub1  16958  ramcl  16959  prmop1  16968  sylow1lem1  19529  efgsrel  19665  psdcl  22106  psdmul  22111  lebnumii  24923  lmnn  25221  vitalilem4  25570  itgpowd  26015  plyco  26204  dgrcolem2  26238  dgrco  26239  advlogexp  26622  cxpmul2  26656  atantayl3  26907  leibpilem2  26909  leibpi  26910  leibpisum  26911  log2cnv  26912  log2tlbnd  26913  log2ublem2  26915  log2ub  26917  birthdaylem2  26920  harmoniclbnd  26977  harmonicbnd4  26979  fsumharmonic  26980  facgam  27034  chpp1  27123  chtublem  27180  bcmono  27246  bcp1ctr  27248  gausslemma2dlem3  27337  2lgslem1a  27360  chtppilimlem1  27442  rplogsumlem2  27454  rpvmasumlem  27456  dchrisumlema  27457  dchrisumlem1  27458  dchrisum0flblem1  27477  dchrisum0lem1b  27484  dchrisum0lem1  27485  dchrisum0lem3  27488  selberg2lem  27519  pntrsumo1  27534  pntrlog2bndlem2  27547  pntrlog2bndlem4  27549  pntrlog2bndlem6a  27551  pntpbnd1  27555  pntpbnd2  27556  pntlemg  27567  pntlemj  27572  pntlemf  27574  qabvle  27594  ostth2lem2  27603  wlkonwlk1l  29716  wwlksnred  29946  wwlksnredwwlkn  29949  wwlksnredwwlkn0  29950  wwlksnwwlksnon  29969  minvecolem3  30932  minvecolem4  30936  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  archiabllem1a  33252  lmatfvlem  33951  signshnz  34727  subfacval2  35360  erdsze2lem2  35377  cvmliftlem7  35464  faclimlem1  35916  faclimlem2  35917  faclimlem3  35918  faclim  35919  faclim2  35921  poimirlem3  37793  poimirlem4  37794  poimirlem12  37802  poimirlem15  37805  poimirlem16  37806  poimirlem17  37807  poimirlem19  37809  poimirlem20  37810  poimirlem23  37813  poimirlem24  37814  poimirlem25  37815  poimirlem28  37818  poimirlem29  37819  poimirlem31  37821  heiborlem4  37984  heiborlem6  37986  fz1sump1  42602  sumcubes  42605  diophin  43051  rexrabdioph  43073  2rexfrabdioph  43075  3rexfrabdioph  43076  4rexfrabdioph  43077  6rexfrabdioph  43078  7rexfrabdioph  43079  elnn0rabdioph  43082  dvdsrabdioph  43089  irrapxlem4  43104  irrapxlem5  43105  2nn0ind  43224  jm2.27a  43284  bccp1k  44619  binomcxplemrat  44628  binomcxplemfrat  44629  recnnltrp  45658  rpgtrecnn  45661  wallispilem3  46348  stirlinglem5  46359  vonioolem1  46961  cjnpoly  47172  fllog2  48851  blennnelnn  48859  dignn0flhalflem2  48899