Theorem nn0p1nn 12476

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12186. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12185	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12468	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  1c1 11039   + caddc 11041  ℕcn 12174  ℕ₀cn0 12437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-nn 12175  df-n0 12438

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12479  elz2  12542  peano5uzi  12618  fseq1p1m1  13552  fzonn0p1  13697  nn0ennn  13941  expnbnd  14194  faccl  14245  facdiv  14249  facwordi  14251  faclbnd  14252  facubnd  14262  bcm1k  14277  bcp1n  14278  bcp1nk  14279  bcpasc  14283  hashf1  14419  fz1isolem  14423  ccats1pfxeqrex  14677  wrdind  14684  wrd2ind  14685  ccats1pfxeqbi  14704  isercoll  15630  isercoll2  15631  iseralt  15647  bcxmas  15800  climcndslem1  15814  fprodser  15914  fallfacval4  16008  bpolycl  16017  bpolysum  16018  bpolydiflem  16019  fsumkthpow  16021  efcllem  16042  ruclem7  16203  ruclem8  16204  ruclem9  16205  sadcp1  16424  smupp1  16449  prmfac1  16690  iserodd  16806  pcfac  16870  1arith  16898  4sqlem12  16927  vdwlem11  16962  vdwlem12  16963  vdwlem13  16964  ramub1  16999  ramcl  17000  prmop1  17009  sylow1lem1  19573  efgsrel  19709  psdcl  22127  psdmul  22132  lebnumii  24933  lmnn  25230  vitalilem4  25578  itgpowd  26017  plyco  26206  dgrcolem2  26239  dgrco  26240  advlogexp  26619  cxpmul2  26653  atantayl3  26903  leibpilem2  26905  leibpi  26906  leibpisum  26907  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  log2ublem2  26911  log2ub  26913  birthdaylem2  26916  harmoniclbnd  26972  harmonicbnd4  26974  fsumharmonic  26975  facgam  27029  chpp1  27118  chtublem  27174  bcmono  27240  bcp1ctr  27242  gausslemma2dlem3  27331  2lgslem1a  27354  chtppilimlem1  27436  rplogsumlem2  27448  rpvmasumlem  27450  dchrisumlema  27451  dchrisumlem1  27452  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0lem1b  27478  dchrisum0lem1  27479  dchrisum0lem3  27482  selberg2lem  27513  pntrsumo1  27528  pntrlog2bndlem2  27541  pntrlog2bndlem4  27543  pntrlog2bndlem6a  27545  pntpbnd1  27549  pntpbnd2  27550  pntlemg  27561  pntlemj  27566  pntlemf  27568  qabvle  27588  ostth2lem2  27597  wlkonwlk1l  29730  wwlksnred  29960  wwlksnredwwlkn  29963  wwlksnredwwlkn0  29964  wwlksnwwlksnon  29983  minvecolem3  30947  minvecolem4  30951  cycpmco2lem4  33190  cycpmco2lem5  33191  cycpmco2lem6  33192  cycpmco2lem7  33193  archiabllem1a  33252  lmatfvlem  33959  signshnz  34735  subfacval2  35369  erdsze2lem2  35386  cvmliftlem7  35473  faclimlem1  35925  faclimlem2  35926  faclimlem3  35927  faclim  35928  faclim2  35930  poimirlem3  37944  poimirlem4  37945  poimirlem12  37953  poimirlem15  37956  poimirlem16  37957  poimirlem17  37958  poimirlem19  37960  poimirlem20  37961  poimirlem23  37964  poimirlem24  37965  poimirlem25  37966  poimirlem28  37969  poimirlem29  37970  poimirlem31  37972  heiborlem4  38135  heiborlem6  38137  fz1sump1  42742  sumcubes  42745  diophin  43204  rexrabdioph  43222  2rexfrabdioph  43224  3rexfrabdioph  43225  4rexfrabdioph  43226  6rexfrabdioph  43227  7rexfrabdioph  43228  elnn0rabdioph  43231  dvdsrabdioph  43238  irrapxlem4  43253  irrapxlem5  43254  2nn0ind  43373  jm2.27a  43433  bccp1k  44768  binomcxplemrat  44777  binomcxplemfrat  44778  recnnltrp  45806  rpgtrecnn  45809  wallispilem3  46495  stirlinglem5  46506  vonioolem1  47108  cjnpoly  47337  fllog2  49044  blennnelnn  49052  dignn0flhalflem2  49092