Theorem nn0p1nn 12459

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12176. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12175	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12451	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  1c1 11047   + caddc 11049  ℕcn 12164  ℕ₀cn0 12420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-ltxr 11191  df-nn 12165  df-n0 12421

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12462  elz2  12525  peano5uzi  12601  fseq1p1m1  13537  fzonn0p1  13681  nn0ennn  13922  expnbnd  14175  faccl  14226  facdiv  14230  facwordi  14232  faclbnd  14233  facubnd  14243  bcm1k  14258  bcp1n  14259  bcp1nk  14260  bcpasc  14264  hashf1  14400  fz1isolem  14404  ccats1pfxeqrex  14657  wrdind  14664  wrd2ind  14665  ccats1pfxeqbi  14684  isercoll  15611  isercoll2  15612  iseralt  15628  bcxmas  15778  climcndslem1  15792  fprodser  15892  fallfacval4  15986  bpolycl  15995  bpolysum  15996  bpolydiflem  15997  fsumkthpow  15999  efcllem  16020  ruclem7  16181  ruclem8  16182  ruclem9  16183  sadcp1  16402  smupp1  16427  prmfac1  16667  iserodd  16783  pcfac  16847  1arith  16875  4sqlem12  16904  vdwlem11  16939  vdwlem12  16940  vdwlem13  16941  ramub1  16976  ramcl  16977  prmop1  16986  sylow1lem1  19513  efgsrel  19649  psdcl  22082  psdmul  22087  lebnumii  24899  lmnn  25197  vitalilem4  25546  itgpowd  25991  plyco  26180  dgrcolem2  26214  dgrco  26215  advlogexp  26598  cxpmul2  26632  atantayl3  26883  leibpilem2  26885  leibpi  26886  leibpisum  26887  log2cnv  26888  log2tlbnd  26889  log2ublem2  26891  log2ub  26893  birthdaylem2  26896  harmoniclbnd  26953  harmonicbnd4  26955  fsumharmonic  26956  facgam  27010  chpp1  27099  chtublem  27156  bcmono  27222  bcp1ctr  27224  gausslemma2dlem3  27313  2lgslem1a  27336  chtppilimlem1  27418  rplogsumlem2  27430  rpvmasumlem  27432  dchrisumlema  27433  dchrisumlem1  27434  dchrisum0flblem1  27453  dchrisum0lem1b  27460  dchrisum0lem1  27461  dchrisum0lem3  27464  selberg2lem  27495  pntrsumo1  27510  pntrlog2bndlem2  27523  pntrlog2bndlem4  27525  pntrlog2bndlem6a  27527  pntpbnd1  27531  pntpbnd2  27532  pntlemg  27543  pntlemj  27548  pntlemf  27550  qabvle  27570  ostth2lem2  27579  wlkonwlk1l  29643  wwlksnred  29873  wwlksnredwwlkn  29876  wwlksnredwwlkn0  29877  wwlksnwwlksnon  29896  minvecolem3  30856  minvecolem4  30860  cycpmco2lem4  33102  cycpmco2lem5  33103  cycpmco2lem6  33104  cycpmco2lem7  33105  archiabllem1a  33161  lmatfvlem  33799  signshnz  34576  subfacval2  35168  erdsze2lem2  35185  cvmliftlem7  35272  faclimlem1  35724  faclimlem2  35725  faclimlem3  35726  faclim  35727  faclim2  35729  poimirlem3  37611  poimirlem4  37612  poimirlem12  37620  poimirlem15  37623  poimirlem16  37624  poimirlem17  37625  poimirlem19  37627  poimirlem20  37628  poimirlem23  37631  poimirlem24  37632  poimirlem25  37633  poimirlem28  37636  poimirlem29  37637  poimirlem31  37639  heiborlem4  37802  heiborlem6  37804  fz1sump1  42292  sumcubes  42295  diophin  42754  rexrabdioph  42776  2rexfrabdioph  42778  3rexfrabdioph  42779  4rexfrabdioph  42780  6rexfrabdioph  42781  7rexfrabdioph  42782  elnn0rabdioph  42785  dvdsrabdioph  42792  irrapxlem4  42807  irrapxlem5  42808  2nn0ind  42928  jm2.27a  42988  bccp1k  44324  binomcxplemrat  44333  binomcxplemfrat  44334  recnnltrp  45367  rpgtrecnn  45370  wallispilem3  46059  stirlinglem5  46070  vonioolem1  46672  cjnpoly  46884  fllog2  48551  blennnelnn  48559  dignn0flhalflem2  48599