Theorem nn0p1nn 12423

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12140. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12139	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12415	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  1c1 11010   + caddc 11012  ℕcn 12128  ℕ₀cn0 12384

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-ov 7352  df-om 7800  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-nn 12129  df-n0 12385

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12426  elz2  12489  peano5uzi  12565  fseq1p1m1  13501  fzonn0p1  13645  nn0ennn  13886  expnbnd  14139  faccl  14190  facdiv  14194  facwordi  14196  faclbnd  14197  facubnd  14207  bcm1k  14222  bcp1n  14223  bcp1nk  14224  bcpasc  14228  hashf1  14364  fz1isolem  14368  ccats1pfxeqrex  14621  wrdind  14628  wrd2ind  14629  ccats1pfxeqbi  14648  isercoll  15575  isercoll2  15576  iseralt  15592  bcxmas  15742  climcndslem1  15756  fprodser  15856  fallfacval4  15950  bpolycl  15959  bpolysum  15960  bpolydiflem  15961  fsumkthpow  15963  efcllem  15984  ruclem7  16145  ruclem8  16146  ruclem9  16147  sadcp1  16366  smupp1  16391  prmfac1  16631  iserodd  16747  pcfac  16811  1arith  16839  4sqlem12  16868  vdwlem11  16903  vdwlem12  16904  vdwlem13  16905  ramub1  16940  ramcl  16941  prmop1  16950  sylow1lem1  19477  efgsrel  19613  psdcl  22046  psdmul  22051  lebnumii  24863  lmnn  25161  vitalilem4  25510  itgpowd  25955  plyco  26144  dgrcolem2  26178  dgrco  26179  advlogexp  26562  cxpmul2  26596  atantayl3  26847  leibpilem2  26849  leibpi  26850  leibpisum  26851  log2cnv  26852  log2tlbnd  26853  log2ublem2  26855  log2ub  26857  birthdaylem2  26860  harmoniclbnd  26917  harmonicbnd4  26919  fsumharmonic  26920  facgam  26974  chpp1  27063  chtublem  27120  bcmono  27186  bcp1ctr  27188  gausslemma2dlem3  27277  2lgslem1a  27300  chtppilimlem1  27382  rplogsumlem2  27394  rpvmasumlem  27396  dchrisumlema  27397  dchrisumlem1  27398  dchrisum0flblem1  27417  dchrisum0lem1b  27424  dchrisum0lem1  27425  dchrisum0lem3  27428  selberg2lem  27459  pntrsumo1  27474  pntrlog2bndlem2  27487  pntrlog2bndlem4  27489  pntrlog2bndlem6a  27491  pntpbnd1  27495  pntpbnd2  27496  pntlemg  27507  pntlemj  27512  pntlemf  27514  qabvle  27534  ostth2lem2  27543  wlkonwlk1l  29611  wwlksnred  29841  wwlksnredwwlkn  29844  wwlksnredwwlkn0  29845  wwlksnwwlksnon  29864  minvecolem3  30824  minvecolem4  30828  cycpmco2lem4  33080  cycpmco2lem5  33081  cycpmco2lem6  33082  cycpmco2lem7  33083  archiabllem1a  33142  lmatfvlem  33798  signshnz  34575  subfacval2  35180  erdsze2lem2  35197  cvmliftlem7  35284  faclimlem1  35736  faclimlem2  35737  faclimlem3  35738  faclim  35739  faclim2  35741  poimirlem3  37623  poimirlem4  37624  poimirlem12  37632  poimirlem15  37635  poimirlem16  37636  poimirlem17  37637  poimirlem19  37639  poimirlem20  37640  poimirlem23  37643  poimirlem24  37644  poimirlem25  37645  poimirlem28  37648  poimirlem29  37649  poimirlem31  37651  heiborlem4  37814  heiborlem6  37816  fz1sump1  42303  sumcubes  42306  diophin  42765  rexrabdioph  42787  2rexfrabdioph  42789  3rexfrabdioph  42790  4rexfrabdioph  42791  6rexfrabdioph  42792  7rexfrabdioph  42793  elnn0rabdioph  42796  dvdsrabdioph  42803  irrapxlem4  42818  irrapxlem5  42819  2nn0ind  42938  jm2.27a  42998  bccp1k  44334  binomcxplemrat  44343  binomcxplemfrat  44344  recnnltrp  45376  rpgtrecnn  45379  wallispilem3  46068  stirlinglem5  46079  vonioolem1  46681  cjnpoly  46893  fllog2  48573  blennnelnn  48581  dignn0flhalflem2  48621