Theorem nn0p1nn 11930

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11644. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11643	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 11922	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  1c1 10532   + caddc 10534  ℕcn 11632  ℕ₀cn0 11891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-tr 5166  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5469  df-so 5470  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-pred 6143  df-ord 6189  df-on 6190  df-lim 6191  df-suc 6192  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-ov 7153  df-om 7575  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674  df-nn 11633  df-n0 11892

This theorem is referenced by:  elnn0nn  11933  elz2  11993  peano5uzi  12065  fseq1p1m1  12975  fzonn0p1  13108  nn0ennn  13341  expnbnd  13587  faccl  13637  facdiv  13641  facwordi  13643  faclbnd  13644  facubnd  13654  bcm1k  13669  bcp1n  13670  bcp1nk  13671  bcpasc  13675  hashf1  13809  fz1isolem  13813  ccats1pfxeqrex  14071  wrdind  14078  wrd2ind  14079  ccats1pfxeqbi  14098  isercoll  15018  isercoll2  15019  iseralt  15035  bcxmas  15184  climcndslem1  15198  fprodser  15297  fallfacval4  15391  bpolycl  15400  bpolysum  15401  bpolydiflem  15402  fsumkthpow  15404  efcllem  15425  ruclem7  15583  ruclem8  15584  ruclem9  15585  sadcp1  15798  smupp1  15823  prmfac1  16057  iserodd  16166  pcfac  16229  1arith  16257  4sqlem12  16286  vdwlem11  16321  vdwlem12  16322  vdwlem13  16323  ramub1  16358  ramcl  16359  prmop1  16368  sylow1lem1  18717  efgsrel  18854  lebnumii  23564  lmnn  23860  vitalilem4  24206  plyco  24825  dgrcolem2  24858  dgrco  24859  advlogexp  25232  cxpmul2  25266  atantayl3  25511  leibpilem2  25513  leibpi  25514  leibpisum  25515  log2cnv  25516  log2tlbnd  25517  log2ublem2  25519  log2ub  25521  birthdaylem2  25524  harmoniclbnd  25580  harmonicbnd4  25582  fsumharmonic  25583  facgam  25637  chpp1  25726  chtublem  25781  bcmono  25847  bcp1ctr  25849  gausslemma2dlem3  25938  2lgslem1a  25961  chtppilimlem1  26043  rplogsumlem2  26055  rpvmasumlem  26057  dchrisumlema  26058  dchrisumlem1  26059  dchrisum0flblem1  26078  dchrisum0lem1b  26085  dchrisum0lem1  26086  dchrisum0lem3  26089  selberg2lem  26120  pntrsumo1  26135  pntrlog2bndlem2  26148  pntrlog2bndlem4  26150  pntrlog2bndlem6a  26152  pntpbnd1  26156  pntpbnd2  26157  pntlemg  26168  pntlemj  26173  pntlemf  26175  qabvle  26195  ostth2lem2  26204  wlkonwlk1l  27439  wwlksnred  27664  wwlksnredwwlkn  27667  wwlksnredwwlkn0  27668  wwlksnwwlksnon  27688  minvecolem3  28647  minvecolem4  28651  cycpmco2lem4  30766  cycpmco2lem5  30767  cycpmco2lem6  30768  cycpmco2lem7  30769  archiabllem1a  30815  lmatfvlem  31075  signshnz  31856  subfacval2  32429  erdsze2lem2  32446  cvmliftlem7  32533  faclimlem1  32970  faclimlem2  32971  faclimlem3  32972  faclim  32973  faclim2  32975  poimirlem3  34889  poimirlem4  34890  poimirlem12  34898  poimirlem15  34901  poimirlem16  34902  poimirlem17  34903  poimirlem19  34905  poimirlem20  34906  poimirlem23  34909  poimirlem24  34910  poimirlem25  34911  poimirlem28  34914  poimirlem29  34915  poimirlem31  34917  heiborlem4  35086  heiborlem6  35088  diophin  39362  rexrabdioph  39384  2rexfrabdioph  39386  3rexfrabdioph  39387  4rexfrabdioph  39388  6rexfrabdioph  39389  7rexfrabdioph  39390  elnn0rabdioph  39393  dvdsrabdioph  39400  irrapxlem4  39415  irrapxlem5  39416  2nn0ind  39535  jm2.27a  39595  itgpowd  39814  bccp1k  40666  binomcxplemrat  40675  binomcxplemfrat  40676  recnnltrp  41637  rpgtrecnn  41641  wallispilem3  42345  stirlinglem5  42356  vonioolem1  42955  fllog2  44621  blennnelnn  44629  dignn0flhalflem2  44669