Theorem nn0p1nn 12562

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12275. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12274	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12554	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  1c1 11153   + caddc 11155  ℕcn 12263  ℕ₀cn0 12523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-nn 12264  df-n0 12524

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12565  elz2  12628  peano5uzi  12704  fseq1p1m1  13634  fzonn0p1  13777  nn0ennn  14016  expnbnd  14267  faccl  14318  facdiv  14322  facwordi  14324  faclbnd  14325  facubnd  14335  bcm1k  14350  bcp1n  14351  bcp1nk  14352  bcpasc  14356  hashf1  14492  fz1isolem  14496  ccats1pfxeqrex  14749  wrdind  14756  wrd2ind  14757  ccats1pfxeqbi  14776  isercoll  15700  isercoll2  15701  iseralt  15717  bcxmas  15867  climcndslem1  15881  fprodser  15981  fallfacval4  16075  bpolycl  16084  bpolysum  16085  bpolydiflem  16086  fsumkthpow  16088  efcllem  16109  ruclem7  16268  ruclem8  16269  ruclem9  16270  sadcp1  16488  smupp1  16513  prmfac1  16753  iserodd  16868  pcfac  16932  1arith  16960  4sqlem12  16989  vdwlem11  17024  vdwlem12  17025  vdwlem13  17026  ramub1  17061  ramcl  17062  prmop1  17071  sylow1lem1  19630  efgsrel  19766  psdcl  22182  psdmul  22187  lebnumii  25011  lmnn  25310  vitalilem4  25659  itgpowd  26105  plyco  26294  dgrcolem2  26328  dgrco  26329  advlogexp  26711  cxpmul2  26745  atantayl3  26996  leibpilem2  26998  leibpi  26999  leibpisum  27000  log2cnv  27001  log2tlbnd  27002  log2ublem2  27004  log2ub  27006  birthdaylem2  27009  harmoniclbnd  27066  harmonicbnd4  27068  fsumharmonic  27069  facgam  27123  chpp1  27212  chtublem  27269  bcmono  27335  bcp1ctr  27337  gausslemma2dlem3  27426  2lgslem1a  27449  chtppilimlem1  27531  rplogsumlem2  27543  rpvmasumlem  27545  dchrisumlema  27546  dchrisumlem1  27547  dchrisum0flblem1  27566  dchrisum0lem1b  27573  dchrisum0lem1  27574  dchrisum0lem3  27577  selberg2lem  27608  pntrsumo1  27623  pntrlog2bndlem2  27636  pntrlog2bndlem4  27638  pntrlog2bndlem6a  27640  pntpbnd1  27644  pntpbnd2  27645  pntlemg  27656  pntlemj  27661  pntlemf  27663  qabvle  27683  ostth2lem2  27692  wlkonwlk1l  29695  wwlksnred  29921  wwlksnredwwlkn  29924  wwlksnredwwlkn0  29925  wwlksnwwlksnon  29944  minvecolem3  30904  minvecolem4  30908  cycpmco2lem4  33131  cycpmco2lem5  33132  cycpmco2lem6  33133  cycpmco2lem7  33134  archiabllem1a  33180  lmatfvlem  33775  signshnz  34584  subfacval2  35171  erdsze2lem2  35188  cvmliftlem7  35275  faclimlem1  35722  faclimlem2  35723  faclimlem3  35724  faclim  35725  faclim2  35727  poimirlem3  37609  poimirlem4  37610  poimirlem12  37618  poimirlem15  37621  poimirlem16  37622  poimirlem17  37623  poimirlem19  37625  poimirlem20  37626  poimirlem23  37629  poimirlem24  37630  poimirlem25  37631  poimirlem28  37634  poimirlem29  37635  poimirlem31  37637  heiborlem4  37800  heiborlem6  37802  fz1sump1  42322  sumcubes  42325  diophin  42759  rexrabdioph  42781  2rexfrabdioph  42783  3rexfrabdioph  42784  4rexfrabdioph  42785  6rexfrabdioph  42786  7rexfrabdioph  42787  elnn0rabdioph  42790  dvdsrabdioph  42797  irrapxlem4  42812  irrapxlem5  42813  2nn0ind  42933  jm2.27a  42993  bccp1k  44336  binomcxplemrat  44345  binomcxplemfrat  44346  recnnltrp  45326  rpgtrecnn  45329  wallispilem3  46022  stirlinglem5  46033  vonioolem1  46635  fllog2  48417  blennnelnn  48425  dignn0flhalflem2  48465