Theorem nn0p1nn 12510

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12223. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12222	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12502	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  1c1 11110   + caddc 11112  ℕcn 12211  ℕ₀cn0 12471

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-nn 12212  df-n0 12472

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12513  elz2  12575  peano5uzi  12650  fseq1p1m1  13574  fzonn0p1  13708  nn0ennn  13943  expnbnd  14194  faccl  14242  facdiv  14246  facwordi  14248  faclbnd  14249  facubnd  14259  bcm1k  14274  bcp1n  14275  bcp1nk  14276  bcpasc  14280  hashf1  14417  fz1isolem  14421  ccats1pfxeqrex  14664  wrdind  14671  wrd2ind  14672  ccats1pfxeqbi  14691  isercoll  15613  isercoll2  15614  iseralt  15630  bcxmas  15780  climcndslem1  15794  fprodser  15892  fallfacval4  15986  bpolycl  15995  bpolysum  15996  bpolydiflem  15997  fsumkthpow  15999  efcllem  16020  ruclem7  16178  ruclem8  16179  ruclem9  16180  sadcp1  16395  smupp1  16420  prmfac1  16657  iserodd  16767  pcfac  16831  1arith  16859  4sqlem12  16888  vdwlem11  16923  vdwlem12  16924  vdwlem13  16925  ramub1  16960  ramcl  16961  prmop1  16970  sylow1lem1  19465  efgsrel  19601  lebnumii  24481  lmnn  24779  vitalilem4  25127  itgpowd  25566  plyco  25754  dgrcolem2  25787  dgrco  25788  advlogexp  26162  cxpmul2  26196  atantayl3  26441  leibpilem2  26443  leibpi  26444  leibpisum  26445  log2cnv  26446  log2tlbnd  26447  log2ublem2  26449  log2ub  26451  birthdaylem2  26454  harmoniclbnd  26510  harmonicbnd4  26512  fsumharmonic  26513  facgam  26567  chpp1  26656  chtublem  26711  bcmono  26777  bcp1ctr  26779  gausslemma2dlem3  26868  2lgslem1a  26891  chtppilimlem1  26973  rplogsumlem2  26985  rpvmasumlem  26987  dchrisumlema  26988  dchrisumlem1  26989  dchrisum0flblem1  27008  dchrisum0lem1b  27015  dchrisum0lem1  27016  dchrisum0lem3  27019  selberg2lem  27050  pntrsumo1  27065  pntrlog2bndlem2  27078  pntrlog2bndlem4  27080  pntrlog2bndlem6a  27082  pntpbnd1  27086  pntpbnd2  27087  pntlemg  27098  pntlemj  27103  pntlemf  27105  qabvle  27125  ostth2lem2  27134  wlkonwlk1l  28917  wwlksnred  29143  wwlksnredwwlkn  29146  wwlksnredwwlkn0  29147  wwlksnwwlksnon  29166  minvecolem3  30124  minvecolem4  30128  cycpmco2lem4  32283  cycpmco2lem5  32284  cycpmco2lem6  32285  cycpmco2lem7  32286  archiabllem1a  32332  lmatfvlem  32790  signshnz  33597  subfacval2  34173  erdsze2lem2  34190  cvmliftlem7  34277  faclimlem1  34708  faclimlem2  34709  faclimlem3  34710  faclim  34711  faclim2  34713  poimirlem3  36486  poimirlem4  36487  poimirlem12  36495  poimirlem15  36498  poimirlem16  36499  poimirlem17  36500  poimirlem19  36502  poimirlem20  36503  poimirlem23  36506  poimirlem24  36507  poimirlem25  36508  poimirlem28  36511  poimirlem29  36512  poimirlem31  36514  heiborlem4  36677  heiborlem6  36679  fz1sump1  41208  sumcubes  41211  diophin  41500  rexrabdioph  41522  2rexfrabdioph  41524  3rexfrabdioph  41525  4rexfrabdioph  41526  6rexfrabdioph  41527  7rexfrabdioph  41528  elnn0rabdioph  41531  dvdsrabdioph  41538  irrapxlem4  41553  irrapxlem5  41554  2nn0ind  41674  jm2.27a  41734  bccp1k  43090  binomcxplemrat  43099  binomcxplemfrat  43100  recnnltrp  44077  rpgtrecnn  44080  wallispilem3  44773  stirlinglem5  44784  vonioolem1  45386  fllog2  47244  blennnelnn  47252  dignn0flhalflem2  47292