Theorem nn0p1nn 12283

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11996. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11995	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12275	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7272  1c1 10883   + caddc 10885  ℕcn 11984  ℕ₀cn0 12244

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7275  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-ltxr 11025  df-nn 11985  df-n0 12245

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12286  elz2  12348  peano5uzi  12420  fseq1p1m1  13341  fzonn0p1  13475  nn0ennn  13710  expnbnd  13958  faccl  14008  facdiv  14012  facwordi  14014  faclbnd  14015  facubnd  14025  bcm1k  14040  bcp1n  14041  bcp1nk  14042  bcpasc  14046  hashf1  14182  fz1isolem  14186  ccats1pfxeqrex  14439  wrdind  14446  wrd2ind  14447  ccats1pfxeqbi  14466  isercoll  15390  isercoll2  15391  iseralt  15407  bcxmas  15558  climcndslem1  15572  fprodser  15670  fallfacval4  15764  bpolycl  15773  bpolysum  15774  bpolydiflem  15775  fsumkthpow  15777  efcllem  15798  ruclem7  15956  ruclem8  15957  ruclem9  15958  sadcp1  16173  smupp1  16198  prmfac1  16437  iserodd  16547  pcfac  16611  1arith  16639  4sqlem12  16668  vdwlem11  16703  vdwlem12  16704  vdwlem13  16705  ramub1  16740  ramcl  16741  prmop1  16750  sylow1lem1  19214  efgsrel  19351  lebnumii  24140  lmnn  24438  vitalilem4  24786  itgpowd  25225  plyco  25413  dgrcolem2  25446  dgrco  25447  advlogexp  25821  cxpmul2  25855  atantayl3  26100  leibpilem2  26102  leibpi  26103  leibpisum  26104  log2cnv  26105  log2tlbnd  26106  log2ublem2  26108  log2ub  26110  birthdaylem2  26113  harmoniclbnd  26169  harmonicbnd4  26171  fsumharmonic  26172  facgam  26226  chpp1  26315  chtublem  26370  bcmono  26436  bcp1ctr  26438  gausslemma2dlem3  26527  2lgslem1a  26550  chtppilimlem1  26632  rplogsumlem2  26644  rpvmasumlem  26646  dchrisumlema  26647  dchrisumlem1  26648  dchrisum0flblem1  26667  dchrisum0lem1b  26674  dchrisum0lem1  26675  dchrisum0lem3  26678  selberg2lem  26709  pntrsumo1  26724  pntrlog2bndlem2  26737  pntrlog2bndlem4  26739  pntrlog2bndlem6a  26741  pntpbnd1  26745  pntpbnd2  26746  pntlemg  26757  pntlemj  26762  pntlemf  26764  qabvle  26784  ostth2lem2  26793  wlkonwlk1l  28041  wwlksnred  28266  wwlksnredwwlkn  28269  wwlksnredwwlkn0  28270  wwlksnwwlksnon  28289  minvecolem3  29247  minvecolem4  29251  cycpmco2lem4  31405  cycpmco2lem5  31406  cycpmco2lem6  31407  cycpmco2lem7  31408  archiabllem1a  31454  lmatfvlem  31774  signshnz  32579  subfacval2  33158  erdsze2lem2  33175  cvmliftlem7  33262  faclimlem1  33718  faclimlem2  33719  faclimlem3  33720  faclim  33721  faclim2  33723  poimirlem3  35789  poimirlem4  35790  poimirlem12  35798  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem23  35809  poimirlem24  35810  poimirlem25  35811  poimirlem28  35814  poimirlem29  35815  poimirlem31  35817  heiborlem4  35981  heiborlem6  35983  diophin  40603  rexrabdioph  40625  2rexfrabdioph  40627  3rexfrabdioph  40628  4rexfrabdioph  40629  6rexfrabdioph  40630  7rexfrabdioph  40631  elnn0rabdioph  40634  dvdsrabdioph  40641  irrapxlem4  40656  irrapxlem5  40657  2nn0ind  40776  jm2.27a  40836  bccp1k  41941  binomcxplemrat  41950  binomcxplemfrat  41951  recnnltrp  42898  rpgtrecnn  42901  wallispilem3  43590  stirlinglem5  43601  vonioolem1  44200  fllog2  45893  blennnelnn  45901  dignn0flhalflem2  45941