Theorem nn0p1nn 12441

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12158. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12157	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12433	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 692	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  1c1 11028   + caddc 11030  ℕcn 12146  ℕ₀cn0 12402

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7361  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11169  df-mnf 11170  df-ltxr 11172  df-nn 12147  df-n0 12403

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12444  elz2  12507  peano5uzi  12582  fseq1p1m1  13515  fzonn0p1  13659  nn0ennn  13903  expnbnd  14156  faccl  14207  facdiv  14211  facwordi  14213  faclbnd  14214  facubnd  14224  bcm1k  14239  bcp1n  14240  bcp1nk  14241  bcpasc  14245  hashf1  14381  fz1isolem  14385  ccats1pfxeqrex  14639  wrdind  14646  wrd2ind  14647  ccats1pfxeqbi  14666  isercoll  15592  isercoll2  15593  iseralt  15609  bcxmas  15759  climcndslem1  15773  fprodser  15873  fallfacval4  15967  bpolycl  15976  bpolysum  15977  bpolydiflem  15978  fsumkthpow  15980  efcllem  16001  ruclem7  16162  ruclem8  16163  ruclem9  16164  sadcp1  16383  smupp1  16408  prmfac1  16648  iserodd  16764  pcfac  16828  1arith  16856  4sqlem12  16885  vdwlem11  16920  vdwlem12  16921  vdwlem13  16922  ramub1  16957  ramcl  16958  prmop1  16967  sylow1lem1  19531  efgsrel  19667  psdcl  22105  psdmul  22110  lebnumii  24911  lmnn  25208  vitalilem4  25556  itgpowd  25998  plyco  26187  dgrcolem2  26220  dgrco  26221  advlogexp  26604  cxpmul2  26638  atantayl3  26889  leibpilem2  26891  leibpi  26892  leibpisum  26893  log2cnv  26894  log2tlbnd  26895  log2ublem2  26897  log2ub  26899  birthdaylem2  26902  harmoniclbnd  26959  harmonicbnd4  26961  fsumharmonic  26962  facgam  27016  chpp1  27105  chtublem  27162  bcmono  27228  bcp1ctr  27230  gausslemma2dlem3  27319  2lgslem1a  27342  chtppilimlem1  27424  rplogsumlem2  27436  rpvmasumlem  27438  dchrisumlema  27439  dchrisumlem1  27440  dchrisum0flblem1  27459  dchrisum0lem1b  27466  dchrisum0lem1  27467  dchrisum0lem3  27470  selberg2lem  27501  pntrsumo1  27516  pntrlog2bndlem2  27529  pntrlog2bndlem4  27531  pntrlog2bndlem6a  27533  pntpbnd1  27537  pntpbnd2  27538  pntlemg  27549  pntlemj  27554  pntlemf  27556  qabvle  27576  ostth2lem2  27585  wlkonwlk1l  29719  wwlksnred  29949  wwlksnredwwlkn  29952  wwlksnredwwlkn0  29953  wwlksnwwlksnon  29972  minvecolem3  30936  minvecolem4  30940  cycpmco2lem4  33195  cycpmco2lem5  33196  cycpmco2lem6  33197  cycpmco2lem7  33198  archiabllem1a  33257  lmatfvlem  33965  signshnz  34741  subfacval2  35375  erdsze2lem2  35392  cvmliftlem7  35479  faclimlem1  35931  faclimlem2  35932  faclimlem3  35933  faclim  35934  faclim2  35936  poimirlem3  37935  poimirlem4  37936  poimirlem12  37944  poimirlem15  37947  poimirlem16  37948  poimirlem17  37949  poimirlem19  37951  poimirlem20  37952  poimirlem23  37955  poimirlem24  37956  poimirlem25  37957  poimirlem28  37960  poimirlem29  37961  poimirlem31  37963  heiborlem4  38126  heiborlem6  38128  fz1sump1  42741  sumcubes  42744  diophin  43203  rexrabdioph  43225  2rexfrabdioph  43227  3rexfrabdioph  43228  4rexfrabdioph  43229  6rexfrabdioph  43230  7rexfrabdioph  43231  elnn0rabdioph  43234  dvdsrabdioph  43241  irrapxlem4  43256  irrapxlem5  43257  2nn0ind  43376  jm2.27a  43436  bccp1k  44771  binomcxplemrat  44780  binomcxplemfrat  44781  recnnltrp  45809  rpgtrecnn  45812  wallispilem3  46499  stirlinglem5  46510  vonioolem1  47112  cjnpoly  47323  fllog2  49002  blennnelnn  49010  dignn0flhalflem2  49050