MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0p1nn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0p1nn 11928
Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11641. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0p1nn (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn
StepHypRef Expression
1 1nn 11640 . 2 1 ∈ ℕ
2 nn0nnaddcl 11920 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
31, 2mpan2 690 1 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  (class class class)co 7139  1c1 10531   + caddc 10533  cn 11629  0cn0 11889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-nn 11630  df-n0 11890
This theorem is referenced by:  elnn0nn  11931  elz2  11991  peano5uzi  12063  fseq1p1m1  12980  fzonn0p1  13113  nn0ennn  13346  expnbnd  13593  faccl  13643  facdiv  13647  facwordi  13649  faclbnd  13650  facubnd  13660  bcm1k  13675  bcp1n  13676  bcp1nk  13677  bcpasc  13681  hashf1  13815  fz1isolem  13819  ccats1pfxeqrex  14072  wrdind  14079  wrd2ind  14080  ccats1pfxeqbi  14099  isercoll  15020  isercoll2  15021  iseralt  15037  bcxmas  15186  climcndslem1  15200  fprodser  15299  fallfacval4  15393  bpolycl  15402  bpolysum  15403  bpolydiflem  15404  fsumkthpow  15406  efcllem  15427  ruclem7  15585  ruclem8  15586  ruclem9  15587  sadcp1  15798  smupp1  15823  prmfac1  16057  iserodd  16166  pcfac  16229  1arith  16257  4sqlem12  16286  vdwlem11  16321  vdwlem12  16322  vdwlem13  16323  ramub1  16358  ramcl  16359  prmop1  16368  sylow1lem1  18719  efgsrel  18856  lebnumii  23575  lmnn  23871  vitalilem4  24219  itgpowd  24657  plyco  24842  dgrcolem2  24875  dgrco  24876  advlogexp  25250  cxpmul2  25284  atantayl3  25529  leibpilem2  25531  leibpi  25532  leibpisum  25533  log2cnv  25534  log2tlbnd  25535  log2ublem2  25537  log2ub  25539  birthdaylem2  25542  harmoniclbnd  25598  harmonicbnd4  25600  fsumharmonic  25601  facgam  25655  chpp1  25744  chtublem  25799  bcmono  25865  bcp1ctr  25867  gausslemma2dlem3  25956  2lgslem1a  25979  chtppilimlem1  26061  rplogsumlem2  26073  rpvmasumlem  26075  dchrisumlema  26076  dchrisumlem1  26077  dchrisum0flblem1  26096  dchrisum0lem1b  26103  dchrisum0lem1  26104  dchrisum0lem3  26107  selberg2lem  26138  pntrsumo1  26153  pntrlog2bndlem2  26166  pntrlog2bndlem4  26168  pntrlog2bndlem6a  26170  pntpbnd1  26174  pntpbnd2  26175  pntlemg  26186  pntlemj  26191  pntlemf  26193  qabvle  26213  ostth2lem2  26222  wlkonwlk1l  27457  wwlksnred  27682  wwlksnredwwlkn  27685  wwlksnredwwlkn0  27686  wwlksnwwlksnon  27705  minvecolem3  28663  minvecolem4  28667  cycpmco2lem4  30825  cycpmco2lem5  30826  cycpmco2lem6  30827  cycpmco2lem7  30828  archiabllem1a  30874  lmatfvlem  31172  signshnz  31975  subfacval2  32548  erdsze2lem2  32565  cvmliftlem7  32652  faclimlem1  33089  faclimlem2  33090  faclimlem3  33091  faclim  33092  faclim2  33094  poimirlem3  35059  poimirlem4  35060  poimirlem12  35068  poimirlem15  35071  poimirlem16  35072  poimirlem17  35073  poimirlem19  35075  poimirlem20  35076  poimirlem23  35079  poimirlem24  35080  poimirlem25  35081  poimirlem28  35084  poimirlem29  35085  poimirlem31  35087  heiborlem4  35251  heiborlem6  35253  diophin  39706  rexrabdioph  39728  2rexfrabdioph  39730  3rexfrabdioph  39731  4rexfrabdioph  39732  6rexfrabdioph  39733  7rexfrabdioph  39734  elnn0rabdioph  39737  dvdsrabdioph  39744  irrapxlem4  39759  irrapxlem5  39760  2nn0ind  39879  jm2.27a  39939  bccp1k  41038  binomcxplemrat  41047  binomcxplemfrat  41048  recnnltrp  42002  rpgtrecnn  42006  wallispilem3  42702  stirlinglem5  42713  vonioolem1  43312  fllog2  44975  blennnelnn  44983  dignn0flhalflem2  45023
  Copyright terms: Public domain W3C validator