Theorem nn0p1nn 12481

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12198. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12197	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12473	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  1c1 11069   + caddc 11071  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-nn 12187  df-n0 12443

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12484  elz2  12547  peano5uzi  12623  fseq1p1m1  13559  fzonn0p1  13703  nn0ennn  13944  expnbnd  14197  faccl  14248  facdiv  14252  facwordi  14254  faclbnd  14255  facubnd  14265  bcm1k  14280  bcp1n  14281  bcp1nk  14282  bcpasc  14286  hashf1  14422  fz1isolem  14426  ccats1pfxeqrex  14680  wrdind  14687  wrd2ind  14688  ccats1pfxeqbi  14707  isercoll  15634  isercoll2  15635  iseralt  15651  bcxmas  15801  climcndslem1  15815  fprodser  15915  fallfacval4  16009  bpolycl  16018  bpolysum  16019  bpolydiflem  16020  fsumkthpow  16022  efcllem  16043  ruclem7  16204  ruclem8  16205  ruclem9  16206  sadcp1  16425  smupp1  16450  prmfac1  16690  iserodd  16806  pcfac  16870  1arith  16898  4sqlem12  16927  vdwlem11  16962  vdwlem12  16963  vdwlem13  16964  ramub1  16999  ramcl  17000  prmop1  17009  sylow1lem1  19528  efgsrel  19664  psdcl  22048  psdmul  22053  lebnumii  24865  lmnn  25163  vitalilem4  25512  itgpowd  25957  plyco  26146  dgrcolem2  26180  dgrco  26181  advlogexp  26564  cxpmul2  26598  atantayl3  26849  leibpilem2  26851  leibpi  26852  leibpisum  26853  log2cnv  26854  log2tlbnd  26855  log2ublem2  26857  log2ub  26859  birthdaylem2  26862  harmoniclbnd  26919  harmonicbnd4  26921  fsumharmonic  26922  facgam  26976  chpp1  27065  chtublem  27122  bcmono  27188  bcp1ctr  27190  gausslemma2dlem3  27279  2lgslem1a  27302  chtppilimlem1  27384  rplogsumlem2  27396  rpvmasumlem  27398  dchrisumlema  27399  dchrisumlem1  27400  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0lem1b  27426  dchrisum0lem1  27427  dchrisum0lem3  27430  selberg2lem  27461  pntrsumo1  27476  pntrlog2bndlem2  27489  pntrlog2bndlem4  27491  pntrlog2bndlem6a  27493  pntpbnd1  27497  pntpbnd2  27498  pntlemg  27509  pntlemj  27514  pntlemf  27516  qabvle  27536  ostth2lem2  27545  wlkonwlk1l  29591  wwlksnred  29822  wwlksnredwwlkn  29825  wwlksnredwwlkn0  29826  wwlksnwwlksnon  29845  minvecolem3  30805  minvecolem4  30809  cycpmco2lem4  33086  cycpmco2lem5  33087  cycpmco2lem6  33088  cycpmco2lem7  33089  archiabllem1a  33145  lmatfvlem  33805  signshnz  34582  subfacval2  35174  erdsze2lem2  35191  cvmliftlem7  35278  faclimlem1  35730  faclimlem2  35731  faclimlem3  35732  faclim  35733  faclim2  35735  poimirlem3  37617  poimirlem4  37618  poimirlem12  37626  poimirlem15  37629  poimirlem16  37630  poimirlem17  37631  poimirlem19  37633  poimirlem20  37634  poimirlem23  37637  poimirlem24  37638  poimirlem25  37639  poimirlem28  37642  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  heiborlem4  37808  heiborlem6  37810  fz1sump1  42298  sumcubes  42301  diophin  42760  rexrabdioph  42782  2rexfrabdioph  42784  3rexfrabdioph  42785  4rexfrabdioph  42786  6rexfrabdioph  42787  7rexfrabdioph  42788  elnn0rabdioph  42791  dvdsrabdioph  42798  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  2nn0ind  42934  jm2.27a  42994  bccp1k  44330  binomcxplemrat  44339  binomcxplemfrat  44340  recnnltrp  45373  rpgtrecnn  45376  wallispilem3  46065  stirlinglem5  46076  vonioolem1  46678  cjnpoly  46890  fllog2  48557  blennnelnn  48565  dignn0flhalflem2  48605