Theorem nn0p1nn 12281

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 11994. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 11993	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12273	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 688	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7284  1c1 10881   + caddc 10883  ℕcn 11982  ℕ₀cn0 12242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-ov 7287  df-om 7722  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-nn 11983  df-n0 12243

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12284  elz2  12346  peano5uzi  12418  fseq1p1m1  13339  fzonn0p1  13473  nn0ennn  13708  expnbnd  13956  faccl  14006  facdiv  14010  facwordi  14012  faclbnd  14013  facubnd  14023  bcm1k  14038  bcp1n  14039  bcp1nk  14040  bcpasc  14044  hashf1  14180  fz1isolem  14184  ccats1pfxeqrex  14437  wrdind  14444  wrd2ind  14445  ccats1pfxeqbi  14464  isercoll  15388  isercoll2  15389  iseralt  15405  bcxmas  15556  climcndslem1  15570  fprodser  15668  fallfacval4  15762  bpolycl  15771  bpolysum  15772  bpolydiflem  15773  fsumkthpow  15775  efcllem  15796  ruclem7  15954  ruclem8  15955  ruclem9  15956  sadcp1  16171  smupp1  16196  prmfac1  16435  iserodd  16545  pcfac  16609  1arith  16637  4sqlem12  16666  vdwlem11  16701  vdwlem12  16702  vdwlem13  16703  ramub1  16738  ramcl  16739  prmop1  16748  sylow1lem1  19212  efgsrel  19349  lebnumii  24138  lmnn  24436  vitalilem4  24784  itgpowd  25223  plyco  25411  dgrcolem2  25444  dgrco  25445  advlogexp  25819  cxpmul2  25853  atantayl3  26098  leibpilem2  26100  leibpi  26101  leibpisum  26102  log2cnv  26103  log2tlbnd  26104  log2ublem2  26106  log2ub  26108  birthdaylem2  26111  harmoniclbnd  26167  harmonicbnd4  26169  fsumharmonic  26170  facgam  26224  chpp1  26313  chtublem  26368  bcmono  26434  bcp1ctr  26436  gausslemma2dlem3  26525  2lgslem1a  26548  chtppilimlem1  26630  rplogsumlem2  26642  rpvmasumlem  26644  dchrisumlema  26645  dchrisumlem1  26646  dchrisum0flblem1  26665  dchrisum0lem1b  26672  dchrisum0lem1  26673  dchrisum0lem3  26676  selberg2lem  26707  pntrsumo1  26722  pntrlog2bndlem2  26735  pntrlog2bndlem4  26737  pntrlog2bndlem6a  26739  pntpbnd1  26743  pntpbnd2  26744  pntlemg  26755  pntlemj  26760  pntlemf  26762  qabvle  26782  ostth2lem2  26791  wlkonwlk1l  28040  wwlksnred  28266  wwlksnredwwlkn  28269  wwlksnredwwlkn0  28270  wwlksnwwlksnon  28289  minvecolem3  29247  minvecolem4  29251  cycpmco2lem4  31405  cycpmco2lem5  31406  cycpmco2lem6  31407  cycpmco2lem7  31408  archiabllem1a  31454  lmatfvlem  31774  signshnz  32579  subfacval2  33158  erdsze2lem2  33175  cvmliftlem7  33262  faclimlem1  33718  faclimlem2  33719  faclimlem3  33720  faclim  33721  faclim2  33723  poimirlem3  35789  poimirlem4  35790  poimirlem12  35798  poimirlem15  35801  poimirlem16  35802  poimirlem17  35803  poimirlem19  35805  poimirlem20  35806  poimirlem23  35809  poimirlem24  35810  poimirlem25  35811  poimirlem28  35814  poimirlem29  35815  poimirlem31  35817  heiborlem4  35981  heiborlem6  35983  diophin  40601  rexrabdioph  40623  2rexfrabdioph  40625  3rexfrabdioph  40626  4rexfrabdioph  40627  6rexfrabdioph  40628  7rexfrabdioph  40629  elnn0rabdioph  40632  dvdsrabdioph  40639  irrapxlem4  40654  irrapxlem5  40655  2nn0ind  40774  jm2.27a  40834  bccp1k  41966  binomcxplemrat  41975  binomcxplemfrat  41976  recnnltrp  42923  rpgtrecnn  42926  wallispilem3  43615  stirlinglem5  43626  vonioolem1  44225  fllog2  45925  blennnelnn  45933  dignn0flhalflem2  45973