Theorem nn0p1nn 12471

Description: A nonnegative integer plus 1 is a positive integer. Strengthening of peano2nn 12181. (Contributed by Raph Levien, 30-Jun-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nn0p1nn	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Proof of Theorem nn0p1nn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn 12180	. 2 ⊢ 1 ∈ ℕ
2		nn0nnaddcl 12463	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 1 ∈ ℕ) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
3	1, 2	mpan2 698	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2121  (class class class)co 7359  1c1 11035   + caddc 11037  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-ov 7362  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-ltxr 11180  df-nn 12170  df-n0 12433

This theorem is referenced by:  elnn0nn  12474  elz2  12537  peano5uzi  12613  fseq1p1m1  13547  fzonn0p1  13692  nn0ennn  13936  expnbnd  14189  faccl  14240  facdiv  14244  facwordi  14246  faclbnd  14247  facubnd  14257  bcm1k  14272  bcp1n  14273  bcp1nk  14274  bcpasc  14278  hashf1  14414  fz1isolem  14418  ccats1pfxeqrex  14672  wrdind  14679  wrd2ind  14680  ccats1pfxeqbi  14699  isercoll  15625  isercoll2  15626  iseralt  15642  bcxmas  15795  climcndslem1  15809  fprodser  15909  fallfacval4  16003  bpolycl  16012  bpolysum  16013  bpolydiflem  16014  fsumkthpow  16016  efcllem  16037  ruclem7  16198  ruclem8  16199  ruclem9  16200  sadcp1  16419  smupp1  16444  prmfac1  16685  iserodd  16801  pcfac  16865  1arith  16893  4sqlem12  16922  vdwlem11  16957  vdwlem12  16958  vdwlem13  16959  ramub1  16994  ramcl  16995  prmop1  17004  sylow1lem1  19567  efgsrel  19703  psdcl  22152  psdmul  22157  lebnumii  24954  lmnn  25251  vitalilem4  25599  itgpowd  26038  plyco  26227  dgrcolem2  26260  dgrco  26261  advlogexp  26640  cxpmul2  26674  atantayl3  26924  leibpilem2  26926  leibpi  26927  leibpisum  26928  log2cnv  26929  log2tlbnd  26930  log2ublem2  26932  log2ub  26934  birthdaylem2  26937  harmoniclbnd  26993  harmonicbnd4  26995  fsumharmonic  26996  facgam  27050  chpp1  27139  chtublem  27195  bcmono  27261  bcp1ctr  27263  gausslemma2dlem3  27352  2lgslem1a  27375  chtppilimlem1  27457  rplogsumlem2  27469  rpvmasumlem  27471  dchrisumlema  27472  dchrisumlem1  27473  dchrisum0flblem1  27492  dchrisum0lem1b  27499  dchrisum0lem1  27500  dchrisum0lem3  27503  selberg2lem  27534  pntrsumo1  27549  pntrlog2bndlem2  27562  pntrlog2bndlem4  27564  pntrlog2bndlem6a  27566  pntpbnd1  27570  pntpbnd2  27571  pntlemg  27582  pntlemj  27587  pntlemf  27589  qabvle  27609  ostth2lem2  27618  wlkonwlk1l  29750  wwlksnred  29980  wwlksnredwwlkn  29983  wwlksnredwwlkn0  29984  wwlksnwwlksnon  30003  minvecolem3  30967  minvecolem4  30971  cycpmco2lem4  33212  cycpmco2lem5  33213  cycpmco2lem6  33214  cycpmco2lem7  33215  archiabllem1a  33274  lmatfvlem  34009  signshnz  34785  subfacval2  35428  erdsze2lem2  35445  cvmliftlem7  35532  faclimlem1  35984  faclimlem2  35985  faclimlem3  35986  faclim  35987  faclim2  35989  poimirlem3  38003  poimirlem4  38004  poimirlem12  38012  poimirlem15  38015  poimirlem16  38016  poimirlem17  38017  poimirlem19  38019  poimirlem20  38020  poimirlem23  38023  poimirlem24  38024  poimirlem25  38025  poimirlem28  38028  poimirlem29  38029  poimirlem31  38031  heiborlem4  38194  heiborlem6  38196  fz1sump1  42800  sumcubes  42803  diophin  43234  rexrabdioph  43252  2rexfrabdioph  43254  3rexfrabdioph  43255  4rexfrabdioph  43256  6rexfrabdioph  43257  7rexfrabdioph  43258  elnn0rabdioph  43261  dvdsrabdioph  43268  irrapxlem4  43283  irrapxlem5  43284  2nn0ind  43403  jm2.27a  43463  bccp1k  44798  binomcxplemrat  44807  binomcxplemfrat  44808  recnnltrp  45833  rpgtrecnn  45836  wallispilem3  46522  stirlinglem5  46533  vonioolem1  47135  cjnpoly  47364  fllog2  49071  blennnelnn  49079  dignn0flhalflem2  49119