Theorem wwlksext2clwwlk 29993

Description: If a word represents a walk in (in a graph) and there are edges between the last vertex of the word and another vertex and between this other vertex and the first vertex of the word, then the concatenation of the word representing the walk with this other vertex represents a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Revised by AV, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksext2clwwlk	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksext2clwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 29781	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		clwwlkext2edg.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wrdeqi 14509	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
4	3	eleq2i 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	biimpri 228	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		s1cl 14574	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
9	8	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
10		ccatcl 14546	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
11	7, 9, 10	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
12	11	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
13		clwwlkext2edg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	2, 13	wwlknp 29780	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	8	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
17	16	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
18		elfzo0 13668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
19		simp1 1136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20		peano2nn 12205	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21	20	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
22		nn0re 12458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
23	22	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
24		nnre 12200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		peano2re 11354	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
28	27	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
29		simp3 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
30	24	ltp1d 12120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
31	30	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
32	23, 25, 28, 29, 31	lttrd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < (𝑁 + 1))
33		elfzo0 13668	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 + 1)))
34	19, 21, 32, 33	syl3anbrc 1344	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
35	18, 34	sylbi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
36	35	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
37		oveq2 7398	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
38	37	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
39	38	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
40	39	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
41	36, 40	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		ccatval1 14549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
43	15, 17, 41, 42	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44		fzonn0p1p1 13712	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
45	44	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
46	37	eleq2d 2815	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
47	46	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
48	45, 47	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		ccatval1 14549	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
50	15, 17, 48, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
51	43, 50	preq12d 4708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
52	51	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))
53	52	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})))
54	53	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))))
55	54	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))))
56	55	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})))
57	56	expdcom 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))))
58	57	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
59	58	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
60	59	ralbidva 3155	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
61	60	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
62	61	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
63	62	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
64	63	3imp1 1348	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
65	64	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
66		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
67	8	ad2antrl 728	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
68		nn0p1gt0 12478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
69	68	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (𝑁 + 1))
70		breq2 5114	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
71	70	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
72	69, 71	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (♯‘𝑊))
73		hashneq0 14336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
74	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
75	72, 74	mpbid 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ≠ ∅)
76		ccatval1lsw 14556	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
77	66, 67, 75, 76	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
78		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
79	78	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
80		nn0cn 12459	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	ad2antll 729	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
82		pncan1 11609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
84	79, 83	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
85	84	fveq2d 6865	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
86	77, 85	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
87		ccatws1ls 14605	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
88	87	ad2ant2r 747	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
89		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
90	89	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
91	88, 90	eqtr3d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
92	86, 91	preq12d 4708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
93	92	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
94	93	expcom 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})))
95	94	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})))
96	95	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
97	96	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
98	97	3adant3 1132	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
99	98	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
100	99	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
101	100	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
102		simprl1 1219	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
103	102	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
104		fveq2 6861	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
105		fvoveq1 7413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
106	104, 105	preq12d 4708	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
107	106	eleq1d 2814	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
108	107	ralsng 4642	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
109	103, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
110	101, 109	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
111		ralunb 4163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
112	65, 110, 111	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
113		elnn0uz 12845	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
114	102, 113	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
115	114	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
116		fzosplitsn 13743	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
118	112, 117	raleqtrrdv 3305	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
119		ccatws1len 14592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
120	119	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
121	120	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
122	121	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
123		oveq1 7397	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
124	123	oveq1d 7405	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
125		1cnd 11176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
126	80, 125	addcld 11200	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
127	126, 125	pncand 11541	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
128	127	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
129	128	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
130	124, 129	sylan9eq 2785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
131	130	3ad2antl2 1187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
132	131	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
133	122, 132	eqtrd 2765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 + 1))
134	133	oveq2d 7406	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
135	118, 134	raleqtrrdv 3305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
136	135	exp42 435	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
137	14, 136	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
138	137	imp41 425	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
139	138	adantrr 717	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
140		lswccats1 14606	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
141	7, 140	sylancom 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
142	68	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (𝑁 + 1))
143	70	3ad2ant3 1135	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
144	142, 143	mpbird 257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
145	144	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 0 < (♯‘𝑊))
146		ccatfv0 14555	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
147	7, 9, 145, 146	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
148	141, 147	preq12d 4708	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
149	148	eleq1d 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
150	149	biimprcd 250	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
151	150	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
152	151	impcom 407	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
153	12, 139, 152	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
154		ccatws1len 14592	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
155	154	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
156	123	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
157	80, 125, 125	addassd 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
158		1p1e2 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
159	158	oveq2i 7401	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
160	157, 159	eqtrdi 2781	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
161	160	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
162	155, 156, 161	3eqtrd 2769	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
163	162	ad3antlr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
164		2nn 12266	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
165		nn0nnaddcl 12480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
166	164, 165	mpan2 691	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
167	166	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
168	2, 13	isclwwlknx 29972	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
169	167, 168	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
170	169	ad3antlr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
171	153, 163, 170	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
172	171	exp31 419	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
173	1, 172	mpdan 687	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
174	173	imp 406	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ∪ cun 3915  ∅c0 4299  {csn 4592  {cpr 4594   class class class wbr 5110  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11215   − cmin 11412  ℕcn 12193  2c2 12248  ℕ₀cn0 12449  ℤ_≥cuz 12800  ..^cfzo 13622  ♯chash 14302  Word cword 14485  lastSclsw 14534   ++ cconcat 14542  ⟨“cs1 14567  Vtxcvtx 28930  Edgcedg 28981   WWalksN cwwlksn 29763   ClWWalksN cclwwlkn 29960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-uz 12801  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-lsw 14535  df-concat 14543  df-s1 14568  df-wwlks 29767  df-wwlksn 29768  df-clwwlk 29918  df-clwwlkn 29961

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  30312