Theorem wwlksext2clwwlk 30261

Description: If a word represents a walk in (in a graph) and there are edges between the last vertex of the word and another vertex and between this other vertex and the first vertex of the word, then the concatenation of the word representing the walk with this other vertex represents a closed walk. (Contributed by Alexander van der Vekens, 3-Oct-2018.) (Revised by AV, 27-Apr-2021.) (Revised by AV, 14-Mar-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
clwwlkext2edg.v	⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
clwwlkext2edg.e	⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
wwlksext2clwwlk	⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Proof of Theorem wwlksext2clwwlk

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		wwlknbp1 30046	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)))
2		clwwlkext2edg.v	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
3	2	wrdeqi 14552	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Word 𝑉 = Word (Vtx‘𝐺)
4	3	eleq2i 2856	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 ↔ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺))
5	4	biimpri 230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
6	5	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
7	6	ad2antlr 737	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
8		s1cl 14618	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑍 ∈ 𝑉 → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
9	8	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
10		ccatcl 14589	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
11	7, 9, 10	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
12	11	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉)
13		clwwlkext2edg.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Edg‘𝐺)
14	2, 13	wwlknp 30045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
15		simplll 784	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
16	8	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
17	16	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
18		elfzo0 13708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁))
19		simp1 1150	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℕ0)
20		peano2nn 12224	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
21	20	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℕ)
22		nn0re 12492	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑖 ∈ ℕ0 → 𝑖 ∈ ℝ)
23	22	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ ℝ)
24		nnre 12219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
25	24	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
26		peano2re 11358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
27	24, 26	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
28	27	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → (𝑁 + 1) ∈ ℝ)
29		simp3 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < 𝑁)
30	24	ltp1d 12124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 < (𝑁 + 1))
31	30	3ad2ant2 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑁 < (𝑁 + 1))
32	23, 25, 28, 29, 31	lttrd 11346	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 < (𝑁 + 1))
33		elfzo0 13708	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)) ↔ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ (𝑁 + 1) ∈ ℕ ∧ 𝑖 < (𝑁 + 1)))
34	19, 21, 32, 33	syl3anbrc 1358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑖 < 𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
35	18, 34	sylbi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
36	35	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
37		oveq2 7406	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
38	37	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0..^(♯‘𝑊)) = (0..^(𝑁 + 1)))
39	38	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
40	39	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ 𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
41	36, 40	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
42		ccatval1 14592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑖 ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
43	15, 17, 41, 42	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = (𝑊‘𝑖))
44		fzonn0p1p1 13752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
45	44	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1)))
46	37	eleq2d 2850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
47	46	ad3antlr 741	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)) ↔ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(𝑁 + 1))))
48	45, 47	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊)))
49		ccatval1 14592	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ (𝑖 + 1) ∈ (0..^(♯‘𝑊))) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
50	15, 17, 48, 49	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = (𝑊‘(𝑖 + 1)))
51	43, 50	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
52	51	ex 416	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))
53	52	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})))
54	53	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))))
55	54	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))))
56	55	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})))
57	56	expdcom 418	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ (0..^𝑁) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))}))))
58	57	3imp1 1362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))})
59	58	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ 𝑖 ∈ (0..^𝑁)) → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
60	59	ralbidva 3185	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
61	60	biimprd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
62	61	3exp 1133	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
63	62	com34 91	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
64	63	3imp1 1362	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
65	64	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
66		simpll 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ∈ Word 𝑉)
67	8	ad2antrl 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉)
68		nn0p1gt0 12512	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 0 < (𝑁 + 1))
69	68	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (𝑁 + 1))
70		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
71	70	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
72	69, 71	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 0 < (♯‘𝑊))
73		hashneq0 14379	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
74	73	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 𝑊 ≠ ∅))
75	72, 74	mpbid 234	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑊 ≠ ∅)
76		ccatval1lsw 14600	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑊 ≠ ∅) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
77	66, 67, 75, 76	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = (lastS‘𝑊))
78		oveq1 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
79	78	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) − 1) = ((𝑁 + 1) − 1))
80		nn0cn 12493	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℂ)
81	80	ad2antll 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ ℂ)
82		pncan1 11613	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑁 ∈ ℂ → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
83	81, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑁 + 1) − 1) = 𝑁)
84	79, 83	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((♯‘𝑊) − 1) = 𝑁)
85	84	fveq2d 6873	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘((♯‘𝑊) − 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
86	77, 85	eqtr3d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → (lastS‘𝑊) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
87		ccatws1ls 14649	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
88	87	ad2ant2r 757	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = 𝑍)
89		fveq2 6869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
90	89	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(♯‘𝑊)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
91	88, 90	eqtr3d 2801	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → 𝑍 = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
92	86, 91	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ (𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
93	92	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑍 ∈ 𝑉 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
94	93	expcom 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})))
95	94	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})))
96	95	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
97	96	com12 32	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
98	97	3adant3 1146	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))}))
99	98	imp 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → {(lastS‘𝑊), 𝑍} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
100	99	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
101	100	biimpa 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸)
102		simprl1 1233	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
103	102	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ ℕ0)
104		fveq2 6869	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁))
105		fvoveq1 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1)) = ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1)))
106	104, 105	preq12d 4702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} = {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))})
107	106	eleq1d 2849	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑖 = 𝑁 → ({((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
108	107	ralsng 4636	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
109	103, 108	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑁), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑁 + 1))} ∈ 𝐸))
110	101, 109	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
111		ralunb 4151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ↔ (∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ ∀𝑖 ∈ {𝑁} {((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))
112	65, 110, 111	sylanbrc 592	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
113		elnn0uz 12882	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
114	102, 113	sylib 220	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
115	114	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → 𝑁 ∈ (ℤ≥‘0))
116		fzosplitsn 13784	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘0) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
117	115, 116	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (0..^(𝑁 + 1)) = ((0..^𝑁) ∪ {𝑁}))
118	112, 117	raleqtrrdv 3326	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^(𝑁 + 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
119		ccatws1len 14636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Word 𝑉 → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
120	119	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
121	120	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
122	121	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (((♯‘𝑊) + 1) − 1))
123		oveq1 7405	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
124	123	oveq1d 7413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (((𝑁 + 1) + 1) − 1))
125		1cnd 11177	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 1 ∈ ℂ)
126	80, 125	addcld 11203	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 1) ∈ ℂ)
127	126, 125	pncand 11545	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
128	127	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
129	128	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (((𝑁 + 1) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
130	124, 129	sylan9eq 2819	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
131	130	3ad2antl2 1201	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
132	131	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (((♯‘𝑊) + 1) − 1) = (𝑁 + 1))
133	122, 132	eqtrd 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1) = (𝑁 + 1))
134	133	oveq2d 7414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)) = (0..^(𝑁 + 1)))
135	118, 134	raleqtrrdv 3326	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) ∧ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉)) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
136	135	exp42 439	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1) ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^𝑁){(𝑊‘𝑖), (𝑊‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
137	14, 136	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑍 ∈ 𝑉 → ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸))))
138	137	imp41 429	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ {(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
139	138	adantrr 727	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸)
140		lswccats1 14650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
141	7, 140	sylancom 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = 𝑍)
142	68	3ad2ant1 1147	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (𝑁 + 1))
143	70	3ad2ant3 1149	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (0 < (♯‘𝑊) ↔ 0 < (𝑁 + 1)))
144	142, 143	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → 0 < (♯‘𝑊))
145	144	ad2antlr 737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → 0 < (♯‘𝑊))
146		ccatfv0 14599	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ Word 𝑉 ∧ ⟨“𝑍”⟩ ∈ Word 𝑉 ∧ 0 < (♯‘𝑊)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
147	7, 9, 145, 146	syl3anc 1392	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0) = (𝑊‘0))
148	141, 147	preq12d 4702	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} = {𝑍, (𝑊‘0)})
149	148	eleq1d 2849	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → ({(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸 ↔ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸))
150	149	biimprcd 252	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸 → (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
151	150	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
152	151	impcom 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸)
153	12, 139, 152	3jca 1142	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸))
154		ccatws1len 14636	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
155	154	3ad2ant2 1148	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = ((♯‘𝑊) + 1))
156	123	3ad2ant3 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((♯‘𝑊) + 1) = ((𝑁 + 1) + 1))
157	80, 125, 125	addassd 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + (1 + 1)))
158		1p1e2 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1 + 1) = 2
159	158	oveq2i 7409	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 + (1 + 1)) = (𝑁 + 2)
160	157, 159	eqtrdi 2815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
161	160	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑁 + 1) + 1) = (𝑁 + 2))
162	155, 156, 161	3eqtrd 2803	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
163	162	ad3antlr 741	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))
164		2nn 12293	. . . . . . . . 9 ⊢ 2 ∈ ℕ
165		nn0nnaddcl 12514	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
166	164, 165	mpan2 701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
167	166	3ad2ant1 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → (𝑁 + 2) ∈ ℕ)
168	2, 13	isclwwlknx 30240	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 + 2) ∈ ℕ → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
169	167, 168	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
170	169	ad3antlr 741	. . . . 5 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺) ↔ (((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ Word 𝑉 ∧ ∀𝑖 ∈ (0..^((♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) − 1)){((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘𝑖), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘(𝑖 + 1))} ∈ 𝐸 ∧ {(lastS‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)), ((𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)‘0)} ∈ 𝐸) ∧ (♯‘(𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩)) = (𝑁 + 2))))
171	153, 163, 170	mpbir2and 723	. . . 4 ⊢ ((((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) ∧ ({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸)) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))
172	171	exp31 423	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ (𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑊 ∈ Word (Vtx‘𝐺) ∧ (♯‘𝑊) = (𝑁 + 1))) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
173	1, 172	mpdan 697	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) → (𝑍 ∈ 𝑉 → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺))))
174	173	imp 410	1 ⊢ ((𝑊 ∈ (𝑁 WWalksN 𝐺) ∧ 𝑍 ∈ 𝑉) → (({(lastS‘𝑊), 𝑍} ∈ 𝐸 ∧ {𝑍, (𝑊‘0)} ∈ 𝐸) → (𝑊 ++ ⟨“𝑍”⟩) ∈ ((𝑁 + 2) ClWWalksN 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2959  ∀wral 3078   ∪ cun 3904  ∅c0 4287  {csn 4584  {cpr 4586   class class class wbr 5102  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  ℂcc 11073  ℝcr 11074  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   < clt 11218   − cmin 11416  ℕcn 12212  2c2 12274  ℕ₀cn0 12483  ℤ_≥cuz 12841  ..^cfzo 13661  ♯chash 14345  Word cword 14528  lastSclsw 14577   ++ cconcat 14585  ⟨“cs1 14611  Vtxcvtx 29199  Edgcedg 29250   WWalksN cwwlksn 30028   ClWWalksN cclwwlkn 30228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-n0 12484  df-xnn0 12557  df-z 12571  df-uz 12842  df-rp 12996  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-hash 14346  df-word 14529  df-lsw 14578  df-concat 14586  df-s1 14612  df-wwlks 30032  df-wwlksn 30033  df-clwwlk 30186  df-clwwlkn 30229

This theorem is referenced by:  numclwwlk2lem1  30580