Theorem nn0nndivcl 12648

Description: Closure law for dividing of a nonnegative integer by a positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
nn0nndivcl	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nn0nndivcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnnne0 12590	. . 3 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ ↔ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≠ 0))
2		nn0re 12585	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
3	2	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐾 ∈ ℝ)
4		nn0re 12585	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℝ)
5	4	ad2antrl 741	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ ℝ)
6		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≠ 0)) → 𝐿 ≠ 0)
7	3, 5, 6	3jca 1146	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ (𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ≠ 0)) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≠ 0))
8	1, 7	sylan2b 606	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≠ 0))
9		redivcl 12006	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ∈ ℝ ∧ 𝐿 ≠ 0) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
10	8, 9	syl 18	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  (class class class)co 7408  ℝcr 11171  0cc0 11172   / cdiv 11943  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577

This theorem is used by:  adddivflid  13927  fldivnn0  13931  divfl0  13933  flltdivnn0lt  13942  quoremnn0ALT  13966  faclimlem3  36431  faclim  36432  iprodfac  36433