MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  adddivflid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem adddivflid 13858
Description: The floor of a sum of an integer and a fraction is equal to the integer iff the denominator of the fraction is less than the numerator. (Contributed by AV, 14-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
adddivflid ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))

Proof of Theorem adddivflid
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℤ)
2 nn0nndivcl 12598 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
323adant1 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ)
41, 3jca 511 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ))
5 flbi2 13857 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ (𝐵 / 𝐶) ∈ ℝ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
7 nn0re 12535 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0𝐵 ∈ ℝ)
8 nn0ge0 12551 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℕ0 → 0 ≤ 𝐵)
97, 8jca 511 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℕ0 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵))
10 nnre 12273 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ)
11 nngt0 12297 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ ℕ → 0 < 𝐶)
1210, 11jca 511 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℕ → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶))
139, 12anim12i 613 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
14133adant1 1131 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)))
15 divge0 12137 . . . 4 (((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶)) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐵 / 𝐶))
1716biantrurd 532 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐵 / 𝐶) ∧ (𝐵 / 𝐶) < 1)))
18 nnrp 13046 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℕ → 𝐶 ∈ ℝ+)
197, 18anim12i 613 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
20193adant1 1131 . . 3 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+))
21 divlt1lt 13104 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ+) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
2220, 21syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → ((𝐵 / 𝐶) < 1 ↔ 𝐵 < 𝐶))
236, 17, 223bitr2rd 308 1 ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℕ0𝐶 ∈ ℕ) → (𝐵 < 𝐶 ↔ (⌊‘(𝐴 + (𝐵 / 𝐶))) = 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832
This theorem is referenced by:  2lgslem3a  27440  2lgslem3b  27441  2lgslem3c  27442  2lgslem3d  27443
  Copyright terms: Public domain W3C validator