MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flltdivnn0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flltdivnn0lt 13873
Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flltdivnn0lt ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt
StepHypRef Expression
1 nn0nndivcl 12598 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
2 reflcl 13836 . . . . . . 7 ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
433adant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
513adant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
6 nn0nndivcl 12598 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
763adant1 1131 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
84, 5, 73jca 1129 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
98adantr 480 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
10 fldivnn0le 13872 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
11103adant2 1132 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
1211adantr 480 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
13 simpr 484 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
14 nn0re 12535 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
15 nn0re 12535 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
16 nnre 12273 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
17 nngt0 12297 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
1816, 17jca 511 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
1914, 15, 183anim123i 1152 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
2019adantr 480 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
21 ltdiv1 12132 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
2313, 22mpbid 232 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
2412, 23jca 511 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
25 lelttr 11351 . . 3 (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
269, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
2726ex 412 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087  wcel 2108   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920  cn 12266  0cn0 12526  cfl 13830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator