MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  flltdivnn0lt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem flltdivnn0lt 12936
Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)
Assertion
Ref Expression
flltdivnn0lt ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt
StepHypRef Expression
1 nn0nndivcl 11696 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
2 reflcl 12899 . . . . . . 7 ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
31, 2syl 17 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
433adant2 1165 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
513adant2 1165 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
6 nn0nndivcl 11696 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
763adant1 1164 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
84, 5, 73jca 1162 . . . 4 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
98adantr 474 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
10 fldivnn0le 12935 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
11103adant2 1165 . . . . 5 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
1211adantr 474 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
13 simpr 479 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
14 nn0re 11635 . . . . . . . 8 (𝐾 ∈ ℕ0𝐾 ∈ ℝ)
15 nn0re 11635 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
16 nnre 11365 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
17 nngt0 11390 . . . . . . . . 9 (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
1816, 17jca 507 . . . . . . . 8 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
1914, 15, 183anim123i 1194 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
2019adantr 474 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
21 ltdiv1 11224 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
2220, 21syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
2313, 22mpbid 224 . . . 4 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
2412, 23jca 507 . . 3 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
25 lelttr 10454 . . 3 (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
269, 24, 25sylc 65 . 2 (((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
2726ex 403 1 ((𝐾 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℕ0𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1111  wcel 2164   class class class wbr 4875  cfv 6127  (class class class)co 6910  cr 10258  0cc0 10259   < clt 10398  cle 10399   / cdiv 11016  cn 11357  0cn0 11625  cfl 12893
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336  ax-pre-sup 10337
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-sup 8623  df-inf 8624  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-div 11017  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-rp 12120  df-fl 12895
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator