Theorem flltdivnn0lt 13973

Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
flltdivnn0lt	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0nndivcl 12678	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
2		reflcl 13936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
4	3	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
5	1	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
6		nn0nndivcl 12678	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
7	6	3adant1 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
8	4, 5, 7	3jca 1146	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
10		fldivnn0le 13972	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
11	10	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
12	11	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
13		simpr 490	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
14		nn0re 12615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
15		nn0re 12615	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		nnre 12342	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
17		nngt0 12369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
18	16, 17	jca 521	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
19	14, 15, 18	3anim123i 1169	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
20	19	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
21		ltdiv1 12181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
22	20, 21	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
23	13, 22	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
24	12, 23	jca 521	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
25		lelttr 11400	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
26	9, 24, 25	sylc 66	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
27	26	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200   < clt 11343   ≤ cle 11344   / cdiv 11973  ℕcn 12335  ℕ₀cn0 12606  ⌊cfl 13930

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-rp 13121  df-fl 13932

This theorem is used by: (None)