Theorem flltdivnn0lt 13204

Description: The floor function of a division of a nonnegative integer by a positive integer is less than the division of a greater dividend by the same positive integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 14-Apr-2018.)

Assertion

Ref	Expression
flltdivnn0lt	⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Proof of Theorem flltdivnn0lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0nndivcl 11967	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
2		reflcl 13167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
4	3	3adant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ)
5	1	3adant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ)
6		nn0nndivcl 11967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
7	6	3adant1 1126	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ)
8	4, 5, 7	3jca 1124	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
9	8	adantr 483	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ))
10		fldivnn0le 13203	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
11	10	3adant2 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
12	11	adantr 483	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿))
13		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → 𝐾 < 𝑁)
14		nn0re 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → 𝐾 ∈ ℝ)
15		nn0re 11907	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → 𝑁 ∈ ℝ)
16		nnre 11645	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 𝐿 ∈ ℝ)
17		nngt0 11669	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → 0 < 𝐿)
18	16, 17	jca 514	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿))
19	14, 15, 18	3anim123i 1147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
20	19	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)))
21		ltdiv1 11504	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝐿 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐿)) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
22	20, 21	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 < 𝑁 ↔ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
23	13, 22	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿))
24	12, 23	jca 514	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → ((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)))
25		lelttr 10731	. . 3 ⊢ (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ∈ ℝ ∧ (𝐾 / 𝐿) ∈ ℝ ∧ (𝑁 / 𝐿) ∈ ℝ) → (((⌊‘(𝐾 / 𝐿)) ≤ (𝐾 / 𝐿) ∧ (𝐾 / 𝐿) < (𝑁 / 𝐿)) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))
26	9, 24, 25	sylc 65	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) ∧ 𝐾 < 𝑁) → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿))
27	26	ex 415	1 ⊢ ((𝐾 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝐿 ∈ ℕ) → (𝐾 < 𝑁 → (⌊‘(𝐾 / 𝐿)) < (𝑁 / 𝐿)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  ℝcr 10536  0cc0 10537   < clt 10675   ≤ cle 10676   / cdiv 11297  ℕcn 11638  ℕ₀cn0 11898  ⌊cfl 13161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-sup 8906  df-inf 8907  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-rp 12391  df-fl 13163

This theorem is referenced by: (None)