Theorem divfl0 13748

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0nndivcl 12477	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11164	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
3		addlid 11320	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
4	3	eqcomd 2743	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
5	2, 4	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
6	5	fveqeq2d 6843	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0 ↔ (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0))
7		0z 12503	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		flbi2 13741	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
9	7, 1, 8	sylancr 588	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
10		nn0ge0div 12565	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
11	10	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
12		nn0re 12414	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nnrp 12921	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14		divlt1lt 12980	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
15	12, 13, 14	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
16	11, 15	bitr3d 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
17	6, 9, 16	3bitrrd 306	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5099  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   < clt 11170   ≤ cle 11171   / cdiv 11798  ℕcn 12149  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℝ⁺crp 12909  ⌊cfl 13714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-sup 9349  df-inf 9350  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fl 13716

This theorem is referenced by:  fldiv4p1lem1div2  13759  fldiv4lem1div2  13761  gausslemma2dlem4  27340