Theorem divfl0 13933

Description: The floor of a fraction is 0 iff the denominator is less than the numerator. (Contributed by AV, 8-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
divfl0	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

Proof of Theorem divfl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0nndivcl 12648	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
2	1	recnd 11309	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ)
3		addlid 11465	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (0 + (𝐴 / 𝐵)) = (𝐴 / 𝐵))
4	3	eqcomd 2766	. . . 4 ⊢ ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℂ → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
5	2, 4	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 / 𝐵) = (0 + (𝐴 / 𝐵)))
6	5	fveqeq2d 6881	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0 ↔ (⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0))
7		0z 12674	. . 3 ⊢ 0 ∈ ℤ
8		flbi2 13926	. . 3 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
9	7, 1, 8	sylancr 599	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((⌊‘(0 + (𝐴 / 𝐵))) = 0 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
10		nn0ge0div 12738	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → 0 ≤ (𝐴 / 𝐵))
11	10	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ (0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1)))
12		nn0re 12585	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → 𝐴 ∈ ℝ)
13		nnrp 13102	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ+)
14		divlt1lt 13161	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ+) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
15	12, 13, 14	syl2an 608	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐴 / 𝐵) < 1 ↔ 𝐴 < 𝐵))
16	11, 15	bitr3d 284	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((0 ≤ (𝐴 / 𝐵) ∧ (𝐴 / 𝐵) < 1) ↔ 𝐴 < 𝐵))
17	6, 9, 16	3bitrrd 309	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (⌊‘(𝐴 / 𝐵)) = 0))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5102  ‘cfv 6527  (class class class)co 7408  ℂcc 11170  ℝcr 11171  0cc0 11172  1c1 11173   + caddc 11175   < clt 11315   ≤ cle 11316   / cdiv 11943  ℕcn 12305  ℕ₀cn0 12576  ℤcz 12663  ℝ⁺crp 13090  ⌊cfl 13899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249  ax-pre-sup 11250

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-sup 9412  df-inf 9413  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-div 11944  df-nn 12306  df-n0 12577  df-z 12664  df-uz 12936  df-rp 13091  df-fl 13901

This theorem is used by:  fldiv4p1lem1div2  13944  fldiv4lem1div2  13946  gausslemma2dlem4  27660  ppivalnn4  48634