MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem permnn 13674
Description: The number of permutations of 𝑁𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 12988 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
21faccld 13632 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3 fznn0sub 12927 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑅) ∈ ℕ0)
43faccld 13632 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℕ)
54, 2nnmulcld 11678 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6 elfz3nn0 12989 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 faccl 13631 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
87nncnd 11642 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
96, 8syl 17 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104nncnd 11642 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
112nncnd 11642 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12 facne0 13634 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℕ0 → (!‘𝑅) ≠ 0)
131, 12syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ≠ 0)
1410, 11, 13divcan4d 11410 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁𝑅)))
1514, 4eqeltrd 2910 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
16 bcval2 13653 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))))
17 bccl2 13671 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
1816, 17eqeltrrd 2911 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
19 nndivtr 11672 . 2 ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
202, 5, 9, 15, 18, 19syl32anc 1370 1 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  0cc0 10525   · cmul 10530  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  0cn0 11885  ...cfz 12880  !cfa 13621  Ccbc 13650
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fz 12881  df-seq 13358  df-fac 13622  df-bc 13651
This theorem is referenced by:  eirrlem  15545  etransclem3  42399  etransclem7  42403  etransclem10  42406  etransclem24  42420  etransclem27  42423
  Copyright terms: Public domain W3C validator