MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem permnn 14325
Description: The number of permutations of ๐‘ โˆ’ ๐‘… objects from a collection of ๐‘ objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13634 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
21faccld 14283 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„•)
3 fznn0sub 13573 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„•0)
43faccld 14283 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
54, 2nnmulcld 12303 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
6 elfz3nn0 13635 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7 faccl 14282 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
87nncnd 12266 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
96, 8syl 17 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
104nncnd 12266 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
112nncnd 12266 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„‚)
12 facne0 14285 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘…) โ‰  0)
131, 12syl 17 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โ‰  0)
1410, 11, 13divcan4d 12034 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
1514, 4eqeltrd 2829 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
16 bcval2 14304 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘…) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))))
17 bccl2 14322 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘…) โˆˆ โ„•)
1816, 17eqeltrrd 2830 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))) โˆˆ โ„•)
19 nndivtr 12297 . 2 ((((!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
202, 5, 9, 15, 18, 19syl32anc 1375 1 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  0cc0 11146   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482   / cdiv 11909  โ„•cn 12250  โ„•0cn0 12510  ...cfz 13524  !cfa 14272  Ccbc 14301
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-rp 13015  df-fz 13525  df-seq 14007  df-fac 14273  df-bc 14302
This theorem is referenced by:  eirrlem  16188  etransclem3  45654  etransclem7  45658  etransclem10  45661  etransclem24  45675  etransclem27  45678
  Copyright terms: Public domain W3C validator