Theorem permnn 14282

Description: The number of permutations of 𝑁 − 𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13590	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
2	1	faccld 14240	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3		fznn0sub 13529	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℕ0)
4	3	faccld 14240	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℕ)
5	4, 2	nnmulcld 12261	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6		elfz3nn0 13591	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		faccl 14239	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12224	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
10	4	nncnd 12224	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
11	2	nncnd 12224	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12		facne0 14242	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → (!‘𝑅) ≠ 0)
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ≠ 0)
14	10, 11, 13	divcan4d 11992	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁 − 𝑅)))
15	14, 4	eqeltrd 2833	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
16		bcval2 14261	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))))
17		bccl2 14279	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
18	16, 17	eqeltrrd 2834	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
19		nndivtr 12255	. 2 ⊢ ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
20	2, 5, 9, 15, 18, 19	syl32anc 1378	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104  0cc0 11106   · cmul 11111   − cmin 11440   / cdiv 11867  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  ...cfz 13480  !cfa 14229  Ccbc 14258

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fz 13481  df-seq 13963  df-fac 14230  df-bc 14259

This theorem is referenced by:  eirrlem  16143  etransclem3  44939  etransclem7  44943  etransclem10  44946  etransclem24  44960  etransclem27  44963