MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem permnn 14289
Description: The number of permutations of ๐‘ โˆ’ ๐‘… objects from a collection of ๐‘ objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13597 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
21faccld 14247 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„•)
3 fznn0sub 13536 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„•0)
43faccld 14247 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
54, 2nnmulcld 12266 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
6 elfz3nn0 13598 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7 faccl 14246 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
87nncnd 12229 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
96, 8syl 17 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
104nncnd 12229 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
112nncnd 12229 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„‚)
12 facne0 14249 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘…) โ‰  0)
131, 12syl 17 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โ‰  0)
1410, 11, 13divcan4d 11997 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
1514, 4eqeltrd 2827 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
16 bcval2 14268 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘…) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))))
17 bccl2 14286 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘…) โˆˆ โ„•)
1816, 17eqeltrrd 2828 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))) โˆˆ โ„•)
19 nndivtr 12260 . 2 ((((!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
202, 5, 9, 15, 18, 19syl32anc 1375 1 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  0cc0 11109   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445   / cdiv 11872  โ„•cn 12213  โ„•0cn0 12473  ...cfz 13487  !cfa 14236  Ccbc 14265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-rp 12978  df-fz 13488  df-seq 13970  df-fac 14237  df-bc 14266
This theorem is referenced by:  eirrlem  16152  etransclem3  45506  etransclem7  45510  etransclem10  45513  etransclem24  45527  etransclem27  45530
  Copyright terms: Public domain W3C validator