Theorem permnn 14251

Description: The number of permutations of 𝑁 − 𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)

Assertion

Ref	Expression
permnn	⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn0 13538	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
2	1	faccld 14209	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3		fznn0sub 13474	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁 − 𝑅) ∈ ℕ0)
4	3	faccld 14209	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℕ)
5	4, 2	nnmulcld 12200	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6		elfz3nn0 13539	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7		faccl 14208	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
8	7	nncnd 12163	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
9	6, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
10	4	nncnd 12163	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁 − 𝑅)) ∈ ℂ)
11	2	nncnd 12163	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12		facne0 14211	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ ℕ0 → (!‘𝑅) ≠ 0)
13	1, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ≠ 0)
14	10, 11, 13	divcan4d 11925	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁 − 𝑅)))
15	14, 4	eqeltrd 2836	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
16		bcval2 14230	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))))
17		bccl2 14248	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
18	16, 17	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
19		nndivtr 12194	. 2 ⊢ ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁 − 𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
20	2, 5, 9, 15, 18, 19	syl32anc 1380	1 ⊢ (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11026  0cc0 11028   · cmul 11033   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℕcn 12147  ℕ₀cn0 12403  ...cfz 13425  !cfa 14198  Ccbc 14227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-rp 12908  df-fz 13426  df-seq 13927  df-fac 14199  df-bc 14228

This theorem is referenced by:  eirrlem  16131  etransclem3  46502  etransclem7  46506  etransclem10  46509  etransclem24  46523  etransclem27  46526