MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem permnn 14318
Description: The number of permutations of 𝑁𝑅 objects from a collection of 𝑁 objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13627 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑅 ∈ ℕ0)
21faccld 14276 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℕ)
3 fznn0sub 13566 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁𝑅) ∈ ℕ0)
43faccld 14276 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℕ)
54, 2nnmulcld 12296 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
6 elfz3nn0 13628 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 faccl 14275 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
87nncnd 12259 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
96, 8syl 17 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑁) ∈ ℂ)
104nncnd 12259 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘(𝑁𝑅)) ∈ ℂ)
112nncnd 12259 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ∈ ℂ)
12 facne0 14278 . . . . 5 (𝑅 ∈ ℕ0 → (!‘𝑅) ≠ 0)
131, 12syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (!‘𝑅) ≠ 0)
1410, 11, 13divcan4d 12027 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) = (!‘(𝑁𝑅)))
1514, 4eqeltrd 2829 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
16 bcval2 14297 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) = ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))))
17 bccl2 14315 . . 3 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → (𝑁C𝑅) ∈ ℕ)
1816, 17eqeltrrd 2830 . 2 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)
19 nndivtr 12290 . 2 ((((!‘𝑅) ∈ ℕ ∧ ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ (!‘𝑁) ∈ ℂ) ∧ ((((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅)) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ ∧ ((!‘𝑁) / ((!‘(𝑁𝑅)) · (!‘𝑅))) ∈ ℕ)) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
202, 5, 9, 15, 18, 19syl32anc 1376 1 (𝑅 ∈ (0...𝑁) → ((!‘𝑁) / (!‘𝑅)) ∈ ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2099  wne 2937  cfv 6548  (class class class)co 7420  cc 11137  0cc0 11139   · cmul 11144  cmin 11475   / cdiv 11902  cn 12243  0cn0 12503  ...cfz 13517  !cfa 14265  Ccbc 14294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-rp 13008  df-fz 13518  df-seq 14000  df-fac 14266  df-bc 14295
This theorem is referenced by:  eirrlem  16181  etransclem3  45625  etransclem7  45629  etransclem10  45632  etransclem24  45646  etransclem27  45649
  Copyright terms: Public domain W3C validator