MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  permnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem permnn 14232
Description: The number of permutations of ๐‘ โˆ’ ๐‘… objects from a collection of ๐‘ objects is a positive integer. (Contributed by Jason Orendorff, 24-Jan-2007.)
Assertion
Ref Expression
permnn (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)

Proof of Theorem permnn
StepHypRef Expression
1 elfznn0 13540 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„•0)
21faccld 14190 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„•)
3 fznn0sub 13479 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘ โˆ’ ๐‘…) โˆˆ โ„•0)
43faccld 14190 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„•)
54, 2nnmulcld 12211 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
6 elfz3nn0 13541 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
7 faccl 14189 . . . 4 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•)
87nncnd 12174 . . 3 (๐‘ โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
96, 8syl 17 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
104nncnd 12174 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) โˆˆ โ„‚)
112nncnd 12174 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„‚)
12 facne0 14192 . . . . 5 (๐‘… โˆˆ โ„•0 โ†’ (!โ€˜๐‘…) โ‰  0)
131, 12syl 17 . . . 4 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (!โ€˜๐‘…) โ‰  0)
1410, 11, 13divcan4d 11942 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) = (!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)))
1514, 4eqeltrd 2834 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
16 bcval2 14211 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘…) = ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))))
17 bccl2 14229 . . 3 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ (๐‘C๐‘…) โˆˆ โ„•)
1816, 17eqeltrrd 2835 . 2 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))) โˆˆ โ„•)
19 nndivtr 12205 . 2 ((((!โ€˜๐‘…) โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„• โˆง (!โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚) โˆง ((((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…)) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„• โˆง ((!โ€˜๐‘) / ((!โ€˜(๐‘ โˆ’ ๐‘…)) ยท (!โ€˜๐‘…))) โˆˆ โ„•)) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
202, 5, 9, 15, 18, 19syl32anc 1379 1 (๐‘… โˆˆ (0...๐‘) โ†’ ((!โ€˜๐‘) / (!โ€˜๐‘…)) โˆˆ โ„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2940  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  โ„‚cc 11054  0cc0 11056   ยท cmul 11061   โˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  โ„•cn 12158  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  !cfa 14179  Ccbc 14208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-n0 12419  df-z 12505  df-uz 12769  df-rp 12921  df-fz 13431  df-seq 13913  df-fac 14180  df-bc 14209
This theorem is referenced by:  eirrlem  16091  etransclem3  44564  etransclem7  44568  etransclem10  44571  etransclem24  44585  etransclem27  44588
  Copyright terms: Public domain W3C validator