MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpnlem1 16238
Description: Lemma for infpn 16240. The smallest divisor (greater than 1) 𝑀 of 𝑁! + 1 is a prime greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑗,𝑀   𝑗,𝐾

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 11637 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnre 11637 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 lenlt 10711 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
41, 2, 3syl2anr 596 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
54adantr 481 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
6 nnnn0 11896 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 facndiv 13641 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
98oveq1i 7161 . . . . . . . . . 10 (𝐾 / 𝑀) = (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀)
10 nnz 11996 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝐾 / 𝑀) ∈ ℤ)
119, 10eqeltrrid 2922 . . . . . . . . 9 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
127, 11nsyl 142 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
136, 12sylanl1 676 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
1413expr 457 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
155, 14sylbird 261 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (¬ 𝑁 < 𝑀 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
1615con4d 115 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → 𝑁 < 𝑀))
1716expimpd 454 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → 𝑁 < 𝑀))
1817adantrd 492 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → 𝑁 < 𝑀))
196faccld 13637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2019peano2nnd 11647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
218, 20eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2221nncnd 11646 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
23 nndivtr 11676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
2423ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
25243com13 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
26253expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2722, 26sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2827adantrl 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
29 nnre 11637 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
30 letri3 10718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3129, 1, 30syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3231biimprd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀))
3332exp4b 431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3433com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3534imp32 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3635adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3736imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
3837com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
3928, 38sylan2d 604 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4039exp4d 434 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑗 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4140com24 95 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4241exp32 421 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4342com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4443imp31 418 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4544com14 96 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑗 → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
46453imp 1105 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4746com3l 89 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4847ralimdva 3181 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4948ex 413 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5049adantld 491 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5150impd 411 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
52 prime 12055 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5352adantl 482 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5451, 53sylibrd 260 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀))))
5518, 54jcad 513 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2106  wral 3142   class class class wbr 5062  cfv 6351  (class class class)co 7151  cc 10527  cr 10528  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667  cle 10668   / cdiv 11289  cn 11630  0cn0 11889  cz 11973  !cfa 13626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2152  ax-12 2167  ax-ext 2796  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2615  df-eu 2649  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-seq 13363  df-fac 13627
This theorem is referenced by:  infpnlem2  16239
  Copyright terms: Public domain W3C validator