MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpnlem1 16878
Description: Lemma for infpn 16880. The smallest divisor (greater than 1) 𝑀 of 𝑁! + 1 is a prime greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑗,𝑀   𝑗,𝐾

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 12249 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnre 12249 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 lenlt 11322 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
41, 2, 3syl2anr 595 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
54adantr 479 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
6 nnnn0 12509 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 facndiv 14279 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
98oveq1i 7426 . . . . . . . . . 10 (𝐾 / 𝑀) = (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀)
10 nnz 12609 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝐾 / 𝑀) ∈ ℤ)
119, 10eqeltrrid 2830 . . . . . . . . 9 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
127, 11nsyl 140 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
136, 12sylanl1 678 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
1413expr 455 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
155, 14sylbird 259 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (¬ 𝑁 < 𝑀 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
1615con4d 115 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → 𝑁 < 𝑀))
1716expimpd 452 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → 𝑁 < 𝑀))
1817adantrd 490 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → 𝑁 < 𝑀))
196faccld 14275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2019peano2nnd 12259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
218, 20eqeltrid 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2221nncnd 12258 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
23 nndivtr 12289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
2423ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
25243com13 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
26253expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2722, 26sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2827adantrl 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
29 nnre 12249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
30 letri3 11329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3129, 1, 30syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3231biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀))
3332exp4b 429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3433com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3534imp32 417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3635adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3736imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
3837com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
3928, 38sylan2d 603 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4039exp4d 432 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑗 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4140com24 95 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4241exp32 419 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4342com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4443imp31 416 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4544com14 96 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑗 → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
46453imp 1108 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4746com3l 89 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4847ralimdva 3157 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4948ex 411 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5049adantld 489 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5150impd 409 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
52 prime 12673 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5352adantl 480 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5451, 53sylibrd 258 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀))))
5518, 54jcad 511 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051   class class class wbr 5143  cfv 6543  (class class class)co 7416  cc 11136  cr 11137  1c1 11139   + caddc 11141   < clt 11278  cle 11279   / cdiv 11901  cn 12242  0cn0 12502  cz 12588  !cfa 14264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-seq 13999  df-fac 14265
This theorem is referenced by:  infpnlem2  16879
  Copyright terms: Public domain W3C validator