MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infpnlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infpnlem1 16839
Description: Lemma for infpn 16841. The smallest divisor (greater than 1) 𝑀 of 𝑁! + 1 is a prime greater than 𝑁. (Contributed by NM, 5-May-2005.)
Hypothesis
Ref Expression
infpnlem.1 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
Assertion
Ref Expression
infpnlem1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑁   𝑗,𝑀   𝑗,𝐾

Proof of Theorem infpnlem1
StepHypRef Expression
1 nnre 12215 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ ℕ → 𝑀 ∈ ℝ)
2 nnre 12215 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℝ)
3 lenlt 11288 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
41, 2, 3syl2anr 598 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
54adantr 482 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
6 nnnn0 12475 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℕ0)
7 facndiv 14244 . . . . . . . . 9 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
8 infpnlem.1 . . . . . . . . . . 11 𝐾 = ((!‘𝑁) + 1)
98oveq1i 7414 . . . . . . . . . 10 (𝐾 / 𝑀) = (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀)
10 nnz 12575 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝐾 / 𝑀) ∈ ℤ)
119, 10eqeltrrid 2839 . . . . . . . . 9 ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((!‘𝑁) + 1) / 𝑀) ∈ ℤ)
127, 11nsyl 140 . . . . . . . 8 (((𝑁 ∈ ℕ0𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
136, 12sylanl1 679 . . . . . . 7 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (1 < 𝑀𝑀𝑁)) → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)
1413expr 458 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (𝑀𝑁 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
155, 14sylbird 260 . . . . 5 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → (¬ 𝑁 < 𝑀 → ¬ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ))
1615con4d 115 . . . 4 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 1 < 𝑀) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → 𝑁 < 𝑀))
1716expimpd 455 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → 𝑁 < 𝑀))
1817adantrd 493 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → 𝑁 < 𝑀))
196faccld 14240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑁 ∈ ℕ → (!‘𝑁) ∈ ℕ)
2019peano2nnd 12225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑁 ∈ ℕ → ((!‘𝑁) + 1) ∈ ℕ)
218, 20eqeltrid 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℕ)
2221nncnd 12224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑁 ∈ ℕ → 𝐾 ∈ ℂ)
23 nndivtr 12255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ)
2423ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝐾 ∈ ℂ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
25243com13 1125 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
26253expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2722, 26sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
2827adantrl 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ))
29 nnre 12215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑗 ∈ ℕ → 𝑗 ∈ ℝ)
30 letri3 11295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑗 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3129, 1, 30syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗 = 𝑀 ↔ (𝑗𝑀𝑀𝑗)))
3231biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑗 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝑗𝑀𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀))
3332exp4b 432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3433com3l 89 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))))
3534imp32 420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑀 ∈ ℕ ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3635adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (𝑀𝑗𝑗 = 𝑀))
3736imim2d 57 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
3837com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
3928, 38sylan2d 606 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((1 < 𝑗 ∧ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ)) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4039exp4d 435 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → (1 < 𝑗 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4140com24 95 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝑗𝑀𝑗 ∈ ℕ)) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4241exp32 422 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → (𝑗 ∈ ℕ → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4342com24 95 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (𝑗 ∈ ℕ → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))))
4443imp31 419 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (1 < 𝑗 → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
4544com14 96 . . . . . . . . 9 (1 < 𝑗 → (𝑗𝑀 → ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))))
46453imp 1112 . . . . . . . 8 ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → 𝑗 = 𝑀)))
4746com3l 89 . . . . . . 7 ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ 𝑗 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4847ralimdva 3168 . . . . . 6 (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
4948ex 414 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5049adantld 492 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → ((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀))))
5150impd 412 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
52 prime 12639 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5352adantl 483 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)) ↔ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗𝑗𝑀 ∧ (𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑗 = 𝑀)))
5451, 53sylibrd 259 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀))))
5518, 54jcad 514 1 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ ℕ) → (((1 < 𝑀 ∧ (𝐾 / 𝑀) ∈ ℕ) ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((1 < 𝑗 ∧ (𝐾 / 𝑗) ∈ ℕ) → 𝑀𝑗)) → (𝑁 < 𝑀 ∧ ∀𝑗 ∈ ℕ ((𝑀 / 𝑗) ∈ ℕ → (𝑗 = 1 ∨ 𝑗 = 𝑀)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3062   class class class wbr 5147  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cle 11245   / cdiv 11867  cn 12208  0cn0 12468  cz 12554  !cfa 14229
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-seq 13963  df-fac 14230
This theorem is referenced by:  infpnlem2  16840
  Copyright terms: Public domain W3C validator