Theorem nnrecgt0 12306

Description: The reciprocal of a positive integer is positive. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem nnrecgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 12291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		0lt1 11763	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		nnre 12267	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		0re 11237	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 11235	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 11329	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1480	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8		recgt0 12088	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
9	8	ex 418	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
10	7, 9	syld 48	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
11	3, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
12	2, 11	mpani 709	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
13	1, 12	mpd 16	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7414  ℝcr 11126  0cc0 11127  1c1 11128   < clt 11270   ≤ cle 11271   / cdiv 11898  ℕcn 12260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261

This theorem is used by:  itg2gt0  25991  minvecolem5  31365  lcmineqlem15  42912  flmrecm1  48234