Theorem nnrecgt0 11393

Description: The reciprocal of a positive integer is positive. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecgt0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

Proof of Theorem nnrecgt0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nnge1 11379	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 1 ≤ 𝐴)
2		0lt1 10873	. . 3 ⊢ 0 < 1
3		nnre 11357	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
4		0re 10357	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ ℝ
5		1re 10355	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℝ
6		ltletr 10447	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
7	4, 5, 6	mp3an12 1581	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < 𝐴))
8		recgt0 11196	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴))
9	8	ex 403	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
10	7, 9	syld 47	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
11	3, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((0 < 1 ∧ 1 ≤ 𝐴) → 0 < (1 / 𝐴)))
12	2, 11	mpani 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 ≤ 𝐴 → 0 < (1 / 𝐴)))
13	1, 12	mpd 15	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < (1 / 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  ℝcr 10250  0cc0 10251  1c1 10252   < clt 10390   ≤ cle 10391   / cdiv 11008  ℕcn 11349

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350

This theorem is referenced by:  itg2gt0  23925  minvecolem5  28291