MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsub 12255
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 1))
2 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑧) = (1 − 𝑧))
32eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
41, 3imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
54ralbidv 3177 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝑦))
7 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑧) = (𝑦𝑧))
87eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑧) ∈ ℕ))
96, 8imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
109ralbidv 3177 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
11 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥𝑧 < (𝑦 + 1)))
12 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
1312eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
1411, 13imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
1514ralbidv 3177 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16 breq2 5152 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝐵))
17 oveq1 7415 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝑧) = (𝐵𝑧))
1817eleq1d 2818 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
1916, 18imbi12d 344 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
2019ralbidv 3177 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
21 nnnlt1 12243 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
2221pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
2322rgen 3063 . . . 4 𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24 breq1 5151 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
25 oveq2 7416 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧) = (𝑦𝑥))
2625eleq1d 2818 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
2724, 26imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ)))
2827cbvralvw 3234 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
29 nncn 12219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 11167 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
32 pncan 11465 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3330, 31, 32sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34 simpl 483 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
3533, 34eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36 oveq2 7416 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
3736eleq1d 2818 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
3835, 37syl5ibrcom 246 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39382a1dd 51 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
40 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
41 oveq2 7416 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
4241eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
4340, 42imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
4443rspcv 3608 . . . . . . . 8 ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45 nnre 12218 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
46 nnre 12218 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
47 1re 11213 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
48 ltsubadd 11683 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
4947, 48mp3an2 1449 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5045, 46, 49syl2anr 597 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
51 nncn 12219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
52 subsub3 11491 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5331, 52mp3an3 1450 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5429, 51, 53syl2an 596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5554eleq1d 2818 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
5650, 55imbi12d 344 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5756biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5844, 57syl9r 78 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
59 nn1m1nn 12232 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6059adantl 482 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6139, 58, 60mpjaod 858 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6261ralrimdva 3154 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6328, 62biimtrid 241 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
645, 10, 15, 20, 23, 63nnind 12229 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
65 breq1 5151 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
66 oveq2 7416 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝐵𝑧) = (𝐵𝐴))
6766eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
6865, 67imbi12d 344 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ)))
6968rspcva 3610 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
7064, 69sylan2 593 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
71 nngt0 12242 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵𝐴))
72 nnre 12218 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
73 nnre 12218 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
74 posdif 11706 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7572, 73, 74syl2an 596 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7671, 75imbitrrid 245 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
7770, 76impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wo 845   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3061   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408  cc 11107  cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11247  cmin 11443  cn 12211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212
This theorem is referenced by:  nnsubi  12256  nn0sub  12521  uz3m2nn  12874  faclbnd4lem4  14255  pythagtriplem13  16759  vdwlem12  16924  perfectlem1  26729  crctcshwlkn0lem6  29066  crctcshwlkn0lem7  29067  bcprod  34703  nndivsub  35337  perfectALTVlem1  46379
  Copyright terms: Public domain W3C validator