Theorem nnsub 12169

Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)

Assertion

Ref	Expression
nnsub	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub

Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 1))
2		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 − 𝑧) = (1 − 𝑧))
3	2	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
4	1, 3	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
5	4	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝑦))
7		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑧))
8	7	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ))
9	6, 8	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
10	9	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ)))
11		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
12		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
13	12	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
14	11, 13	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
15	14	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16		breq2 5093	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥 ↔ 𝑧 < 𝐵))
17		oveq1 7353	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (𝑥 − 𝑧) = (𝐵 − 𝑧))
18	17	eleq1d 2816	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
19	16, 18	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
20	19	ralbidv 3155	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)))
21		nnnlt1 12157	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
22	21	pm2.21d 121	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
23	22	rgen 3049	. . . 4 ⊢ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24		breq1 5092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦 ↔ 𝑥 < 𝑦))
25		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → (𝑦 − 𝑧) = (𝑦 − 𝑥))
26	25	eleq1d 2816	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
27	24, 26	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ)))
28	27	cbvralvw 3210	. . . . 5 ⊢ (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ))
29		nncn 12133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		ax-1cn 11064	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
32		pncan 11366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
33	30, 31, 32	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
35	33, 34	eqeltrd 2831	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36		oveq2 7354	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
37	36	eleq1d 2816	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
38	35, 37	syl5ibrcom 247	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39	38	2a1dd 51	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
40		breq1 5092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
41		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦 − 𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
42	41	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
43	40, 42	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
44	43	rspcv 3568	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45		nnre 12132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
46		nnre 12132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
47		1re 11112	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℝ
48		ltsubadd 11587	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
49	47, 48	mp3an2 1451	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
50	45, 46, 49	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 ↔ 𝑧 < (𝑦 + 1)))
51		nncn 12133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
52		subsub3 11393	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
53	31, 52	mp3an3 1452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
54	29, 51, 53	syl2an 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
55	54	eleq1d 2816	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
56	50, 55	imbi12d 344	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
57	56	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
58	44, 57	syl9r 78	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
59		nn1m1nn 12146	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
60	59	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
61	39, 58, 60	mpjaod 860	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
62	61	ralrimdva 3132	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
63	28, 62	biimtrid 242	. . . 4 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦 − 𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
64	5, 10, 15, 20, 23, 63	nnind 12143	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ))
65		breq1 5092	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐵))
66		oveq2 7354	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → (𝐵 − 𝑧) = (𝐵 − 𝐴))
67	66	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
68	65, 67	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ)))
69	68	rspcva 3570	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵 − 𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
70	64, 69	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))
71		nngt0 12156	. . 3 ⊢ ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵 − 𝐴))
72		nnre 12132	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
73		nnre 12132	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
74		posdif 11610	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
75	72, 73, 74	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴)))
76	71, 75	imbitrrid 246	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
77	70, 76	impbid 212	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 𝐴) ∈ ℕ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   class class class wbr 5089  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℝcr 11005  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   < clt 11146   − cmin 11344  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nnsubi  12170  nn0sub  12431  uz3m2nn  12792  faclbnd4lem4  14203  pythagtriplem13  16739  vdwlem12  16904  perfectlem1  27167  crctcshwlkn0lem6  29793  crctcshwlkn0lem7  29794  bcprod  35782  nndivsub  36501  fimgmcyc  42637  perfectALTVlem1  47831