Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsub 11673
 Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 1))
2 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑧) = (1 − 𝑧))
32eleq1d 2895 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
41, 3imbi12d 347 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
54ralbidv 3195 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝑦))
7 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑧) = (𝑦𝑧))
87eleq1d 2895 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑧) ∈ ℕ))
96, 8imbi12d 347 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
109ralbidv 3195 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
11 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥𝑧 < (𝑦 + 1)))
12 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
1312eleq1d 2895 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
1411, 13imbi12d 347 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
1514ralbidv 3195 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16 breq2 5061 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝐵))
17 oveq1 7155 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝑧) = (𝐵𝑧))
1817eleq1d 2895 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
1916, 18imbi12d 347 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
2019ralbidv 3195 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
21 nnnlt1 11661 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
2221pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
2322rgen 3146 . . . 4 𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24 breq1 5060 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
25 oveq2 7156 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧) = (𝑦𝑥))
2625eleq1d 2895 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
2724, 26imbi12d 347 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ)))
2827cbvralvw 3448 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
29 nncn 11638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 10587 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
32 pncan 10884 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3330, 31, 32sylancl 588 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34 simpl 485 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
3533, 34eqeltrd 2911 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36 oveq2 7156 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
3736eleq1d 2895 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
3835, 37syl5ibrcom 249 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39382a1dd 51 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
40 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
41 oveq2 7156 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
4241eleq1d 2895 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
4340, 42imbi12d 347 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
4443rspcv 3616 . . . . . . . 8 ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45 nnre 11637 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
46 nnre 11637 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
47 1re 10633 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
48 ltsubadd 11102 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
4947, 48mp3an2 1443 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5045, 46, 49syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
51 nncn 11638 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
52 subsub3 10910 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5331, 52mp3an3 1444 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5429, 51, 53syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5554eleq1d 2895 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
5650, 55imbi12d 347 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5756biimpd 231 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5844, 57syl9r 78 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
59 nn1m1nn 11650 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6059adantl 484 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6139, 58, 60mpjaod 856 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6261ralrimdva 3187 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6328, 62syl5bi 244 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
645, 10, 15, 20, 23, 63nnind 11648 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
65 breq1 5060 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
66 oveq2 7156 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝐵𝑧) = (𝐵𝐴))
6766eleq1d 2895 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
6865, 67imbi12d 347 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ)))
6968rspcva 3619 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
7064, 69sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
71 nngt0 11660 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵𝐴))
72 nnre 11637 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
73 nnre 11637 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
74 posdif 11125 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7572, 73, 74syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7671, 75syl5ibr 248 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
7770, 76impbid 214 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1531   ∈ wcel 2108  ∀wral 3136   class class class wbr 5057  (class class class)co 7148  ℂcc 10527  ℝcr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   + caddc 10532   < clt 10667   − cmin 10862  ℕcn 11630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-om 7573  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-er 8281  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631 This theorem is referenced by:  nnsubi  11674  nn0sub  11939  uz3m2nn  12283  faclbnd4lem4  13648  pythagtriplem13  16156  vdwlem12  16320  perfectlem1  25797  crctcshwlkn0lem6  27585  crctcshwlkn0lem7  27586  bcprod  32963  nndivsub  33798  perfectALTVlem1  43876
 Copyright terms: Public domain W3C validator