MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnsub 12205
Description: Subtraction of positive integers. (Contributed by NM, 20-Aug-2001.) (Revised by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnsub ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))

Proof of Theorem nnsub
Dummy variables 𝑧 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 breq2 5113 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 1))
2 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑥 = 1 → (𝑥𝑧) = (1 − 𝑧))
32eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
41, 3imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = 1 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
54ralbidv 3171 . . . 4 (𝑥 = 1 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)))
6 breq2 5113 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝑦))
7 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑧) = (𝑦𝑧))
87eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑧) ∈ ℕ))
96, 8imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
109ralbidv 3171 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ)))
11 breq2 5113 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑧 < 𝑥𝑧 < (𝑦 + 1)))
12 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥𝑧) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
1312eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
1411, 13imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
1514ralbidv 3171 . . . 4 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
16 breq2 5113 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → (𝑧 < 𝑥𝑧 < 𝐵))
17 oveq1 7368 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐵 → (𝑥𝑧) = (𝐵𝑧))
1817eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑥𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
1916, 18imbi12d 345 . . . . 5 (𝑥 = 𝐵 → ((𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
2019ralbidv 3171 . . . 4 (𝑥 = 𝐵 → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑥 → (𝑥𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)))
21 nnnlt1 12193 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℕ → ¬ 𝑧 < 1)
2221pm2.21d 121 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ))
2322rgen 3063 . . . 4 𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 1 → (1 − 𝑧) ∈ ℕ)
24 breq1 5112 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → (𝑧 < 𝑦𝑥 < 𝑦))
25 oveq2 7369 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑥 → (𝑦𝑧) = (𝑦𝑥))
2625eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑦𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
2724, 26imbi12d 345 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑥 → ((𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ)))
2827cbvralvw 3224 . . . . 5 (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) ↔ ∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ))
29 nncn 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
3029adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31 ax-1cn 11117 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℂ
32 pncan 11415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
3330, 31, 32sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) = 𝑦)
34 simpl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → 𝑦 ∈ ℕ)
3533, 34eqeltrd 2834 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ)
36 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) = ((𝑦 + 1) − 1))
3736eleq1d 2819 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → (((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 1) ∈ ℕ))
3835, 37syl5ibrcom 247 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
39382a1dd 51 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
40 breq1 5112 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑥 < 𝑦 ↔ (𝑧 − 1) < 𝑦))
41 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝑧 − 1) → (𝑦𝑥) = (𝑦 − (𝑧 − 1)))
4241eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑦𝑥) ∈ ℕ ↔ (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ))
4340, 42imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑧 − 1) → ((𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) ↔ ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
4443rspcv 3579 . . . . . . . 8 ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ)))
45 nnre 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℝ)
46 nnre 12168 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
47 1re 11163 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
48 ltsubadd 11633 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
4947, 48mp3an2 1450 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
5045, 46, 49syl2anr 598 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) < 𝑦𝑧 < (𝑦 + 1)))
51 nncn 12169 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ ℕ → 𝑧 ∈ ℂ)
52 subsub3 11441 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5331, 52mp3an3 1451 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ∈ ℂ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5429, 51, 53syl2an 597 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑦 − (𝑧 − 1)) = ((𝑦 + 1) − 𝑧))
5554eleq1d 2819 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ ↔ ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))
5650, 55imbi12d 345 . . . . . . . . 9 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) ↔ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5756biimpd 228 . . . . . . . 8 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (((𝑧 − 1) < 𝑦 → (𝑦 − (𝑧 − 1)) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
5844, 57syl9r 78 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → ((𝑧 − 1) ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ))))
59 nn1m1nn 12182 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℕ → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6059adantl 483 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (𝑧 = 1 ∨ (𝑧 − 1) ∈ ℕ))
6139, 58, 60mpjaod 859 . . . . . 6 ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝑧 ∈ ℕ) → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6261ralrimdva 3148 . . . . 5 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑥 ∈ ℕ (𝑥 < 𝑦 → (𝑦𝑥) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
6328, 62biimtrid 241 . . . 4 (𝑦 ∈ ℕ → (∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝑦 → (𝑦𝑧) ∈ ℕ) → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < (𝑦 + 1) → ((𝑦 + 1) − 𝑧) ∈ ℕ)))
645, 10, 15, 20, 23, 63nnind 12179 . . 3 (𝐵 ∈ ℕ → ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ))
65 breq1 5112 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → (𝑧 < 𝐵𝐴 < 𝐵))
66 oveq2 7369 . . . . . 6 (𝑧 = 𝐴 → (𝐵𝑧) = (𝐵𝐴))
6766eleq1d 2819 . . . . 5 (𝑧 = 𝐴 → ((𝐵𝑧) ∈ ℕ ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
6865, 67imbi12d 345 . . . 4 (𝑧 = 𝐴 → ((𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ) ↔ (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ)))
6968rspcva 3581 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ ∀𝑧 ∈ ℕ (𝑧 < 𝐵 → (𝐵𝑧) ∈ ℕ)) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
7064, 69sylan2 594 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 → (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
71 nngt0 12192 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 0 < (𝐵𝐴))
72 nnre 12168 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ∈ ℝ)
73 nnre 12168 . . . 4 (𝐵 ∈ ℕ → 𝐵 ∈ ℝ)
74 posdif 11656 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7572, 73, 74syl2an 597 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
7671, 75imbitrrid 245 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → ((𝐵𝐴) ∈ ℕ → 𝐴 < 𝐵))
7770, 76impbid 211 1 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℕ) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐵𝐴) ∈ ℕ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wral 3061   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cc 11057  cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   < clt 11197  cmin 11393  cn 12161
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162
This theorem is referenced by:  nnsubi  12206  nn0sub  12471  uz3m2nn  12824  faclbnd4lem4  14205  pythagtriplem13  16707  vdwlem12  16872  perfectlem1  26600  crctcshwlkn0lem6  28809  crctcshwlkn0lem7  28810  bcprod  34374  nndivsub  34982  perfectALTVlem1  46003
  Copyright terms: Public domain W3C validator