Theorem nnrecre 12201

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11146	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12200	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 691	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7370  ℝcr 11039  1c1 11041   / cdiv 11808  ℕcn 12159

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-div 11809  df-nn 12160

This theorem is referenced by:  nnrecred  12210  rpnnen1lem5  12908  fldiv  13794  supcvg  15793  harmonic  15796  rpnnen2lem11  16163  flodddiv4  16356  prmreclem4  16861  prmreclem5  16862  prmreclem6  16863  prmrec  16864  met1stc  24482  pcoass  24997  bcthlem4  25300  vitali  25587  ismbf3d  25628  itg2seq  25716  itg2gt0  25734  plyeq0lem  26188  logtayllem  26641  cxproot  26672  cxpeq  26740  quartlem3  26842  leibpi  26925  emcllem4  26982  emcllem6  26984  basellem6  27069  mulogsumlem  27515  pntpbnd2  27571  ipasslem4  30928  ipasslem5  30929  minvecolem5  30975  subfaclim  35410  faclim  35968  iccioo01  37609  poimirlem29  37929  poimirlem30  37930  xrralrecnnle  45770  xrralrecnnge  45777  iooiinicc  45931  iooiinioc  45945  stirlinglem1  46461  iinhoiicclem  47060  iunhoiioolem  47062  iccvonmbllem  47065  vonioolem1  47067  vonioolem2  47068  vonicclem1  47070  vonicclem2  47071  preimageiingt  47107  preimaleiinlt  47108  salpreimagtge  47112  salpreimaltle  47113  smflimlem6  47163