Theorem nnrecre 12257

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11183	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12256	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 700	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7398  ℝcr 11074  1c1 11076   / cdiv 11846  ℕcn 12212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213

This theorem is referenced by:  nnrecred  12266  rpnnen1lem5  12984  fldiv  13872  supcvg  15888  harmonic  15891  rpnnen2lem11  16258  flodddiv4  16451  prmreclem4  16957  prmreclem5  16958  prmreclem6  16959  prmrec  16960  met1stc  24583  pcoass  25088  bcthlem4  25391  vitali  25677  ismbf3d  25718  itg2seq  25806  itg2gt0  25824  plyeq0lem  26272  logtayllem  26726  cxproot  26757  cxpeq  26824  quartlem3  26926  leibpi  27009  emcllem4  27065  emcllem6  27067  basellem6  27152  mulogsumlem  27597  pntpbnd2  27653  ipasslem4  31039  ipasslem5  31040  minvecolem5  31086  subfaclim  35543  faclim  36101  iccioo01  37826  poimirlem29  38153  poimirlem30  38154  xrralrecnnle  45963  xrralrecnnge  45970  iooiinicc  46123  iooiinioc  46137  stirlinglem1  46653  iinhoiicclem  47252  iunhoiioolem  47254  iccvonmbllem  47257  vonioolem1  47259  vonioolem2  47260  vonicclem1  47262  vonicclem2  47263  preimageiingt  47299  preimaleiinlt  47300  salpreimagtge  47304  salpreimaltle  47305  smflimlem6  47355  flmrecm1  47942