Theorem nnrecre 12211

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11136	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12210	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 696	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7357  ℝcr 11029  1c1 11031   / cdiv 11799  ℕcn 12166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167

This theorem is referenced by:  nnrecred  12220  rpnnen1lem5  12923  fldiv  13811  supcvg  15813  harmonic  15816  rpnnen2lem11  16183  flodddiv4  16376  prmreclem4  16882  prmreclem5  16883  prmreclem6  16884  prmrec  16885  met1stc  24505  pcoass  25010  bcthlem4  25313  vitali  25599  ismbf3d  25640  itg2seq  25728  itg2gt0  25746  plyeq0lem  26194  logtayllem  26642  cxproot  26673  cxpeq  26740  quartlem3  26842  leibpi  26925  emcllem4  26981  emcllem6  26983  basellem6  27068  mulogsumlem  27513  pntpbnd2  27569  ipasslem4  30924  ipasslem5  30925  minvecolem5  30971  subfaclim  35425  faclim  35983  iccioo01  37698  poimirlem29  38025  poimirlem30  38026  xrralrecnnle  45835  xrralrecnnge  45842  iooiinicc  45995  iooiinioc  46009  stirlinglem1  46525  iinhoiicclem  47124  iunhoiioolem  47126  iccvonmbllem  47129  vonioolem1  47131  vonioolem2  47132  vonicclem1  47134  vonicclem2  47135  preimageiingt  47171  preimaleiinlt  47172  salpreimagtge  47176  salpreimaltle  47177  smflimlem6  47227  flmrecm1  47814