Theorem nnrecre 11667

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10630	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 11666	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 689	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℝcr 10525  1c1 10527   / cdiv 11286  ℕcn 11625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626

This theorem is referenced by:  nnrecred  11676  rpnnen1lem5  12368  fldiv  13223  supcvg  15203  harmonic  15206  rpnnen2lem11  15569  flodddiv4  15754  prmreclem4  16245  prmreclem5  16246  prmreclem6  16247  prmrec  16248  met1stc  23128  pcoass  23629  bcthlem4  23931  vitali  24217  ismbf3d  24258  itg2seq  24346  itg2gt0  24364  plyeq0lem  24807  logtayllem  25250  cxproot  25281  cxpeq  25346  quartlem3  25445  leibpi  25528  emcllem4  25584  emcllem6  25586  basellem6  25671  mulogsumlem  26115  pntpbnd2  26171  ipasslem4  28617  ipasslem5  28618  minvecolem5  28664  subfaclim  32548  faclim  33091  iccioo01  34741  poimirlem29  35086  poimirlem30  35087  xrralrecnnle  42017  xrralrecnnge  42026  iooiinicc  42179  iooiinioc  42193  stirlinglem1  42716  iinhoiicclem  43312  iunhoiioolem  43314  iccvonmbllem  43317  vonioolem1  43319  vonioolem2  43320  vonicclem1  43322  vonicclem2  43323  preimageiingt  43355  preimaleiinlt  43356  salpreimagtge  43359  salpreimaltle  43360  smflimlem6  43409