Theorem nnrecre 11355

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 10328	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 11354	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 682	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  1c1 10225   / cdiv 10976  ℕcn 11312

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313

This theorem is referenced by:  nnrecred  11364  rpnnen1lem5  12065  fldiv  12914  supcvg  14926  harmonic  14929  rpnnen2lem11  15289  flodddiv4  15472  prmreclem4  15956  prmreclem5  15957  prmreclem6  15958  prmrec  15959  met1stc  22654  pcoass  23151  bcthlem4  23453  vitali  23721  ismbf3d  23762  itg2seq  23850  itg2gt0  23868  plyeq0lem  24307  logtayllem  24746  cxproot  24777  cxpeq  24842  quartlem3  24938  leibpi  25021  emcllem4  25077  emcllem6  25079  basellem6  25164  mulogsumlem  25572  pntpbnd2  25628  ipasslem4  28214  ipasslem5  28215  minvecolem5  28262  subfaclim  31687  faclim  32146  poimirlem29  33927  poimirlem30  33928  xrralrecnnle  40342  xrralrecnnge  40352  iooiinicc  40509  iooiinioc  40523  stirlinglem1  41030  iinhoiicclem  41629  iunhoiioolem  41631  iccvonmbllem  41634  vonioolem1  41636  vonioolem2  41637  vonicclem1  41639  vonicclem2  41640  preimageiingt  41672  preimaleiinlt  41673  salpreimagtge  41676  salpreimaltle  41677  smflimlem6  41726