Theorem nnrecre 12284

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11214	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12283	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7412  ℝcr 11105  1c1 11107   / cdiv 11877  ℕcn 12239

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240

This theorem is used by:  nnrecred  12293  rpnnen1lem5  13011  fldiv  13900  supcvg  15917  harmonic  15920  rpnnen2lem11  16286  flodddiv4  16479  prmreclem4  16985  prmreclem5  16986  prmreclem6  16987  prmrec  16988  met1stc  24689  pcoass  25194  bcthlem4  25497  vitali  25783  ismbf3d  25824  itg2seq  25912  itg2gt0  25930  plyeq0lem  26378  logtayllem  26835  cxproot  26866  cxpeq  26933  quartlem3  27035  leibpi  27118  emcllem4  27174  emcllem6  27176  basellem6  27261  mulogsumlem  27706  pntpbnd2  27762  ipasslem4  31197  ipasslem5  31198  minvecolem5  31244  subfaclim  35688  faclim  36246  iccioo01  38001  poimirlem29  38328  poimirlem30  38329  xrralrecnnle  46126  xrralrecnnge  46133  iooiinicc  46286  iooiinioc  46300  stirlinglem1  46816  iinhoiicclem  47415  iunhoiioolem  47417  iccvonmbllem  47420  vonioolem1  47422  vonioolem2  47423  vonicclem1  47425  vonicclem2  47426  preimageiingt  47462  preimaleiinlt  47463  salpreimagtge  47467  salpreimaltle  47468  smflimlem6  47518  flmrecm1  48108