Theorem nnrecre 12305

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11235	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12304	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7416  ℝcr 11126  1c1 11128   / cdiv 11898  ℕcn 12260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261

This theorem is used by:  nnrecred  12314  rpnnen1lem5  13033  fldiv  13923  supcvg  15947  harmonic  15950  rpnnen2lem11  16316  flodddiv4  16509  prmreclem4  17015  prmreclem5  17016  prmreclem6  17017  prmrec  17018  met1stc  24748  pcoass  25253  bcthlem4  25556  vitali  25842  ismbf3d  25883  itg2seq  25971  itg2gt0  25989  plyeq0lem  26437  logtayllem  26894  cxproot  26925  cxpeq  26992  quartlem3  27094  leibpi  27177  emcllem4  27233  emcllem6  27235  basellem6  27320  mulogsumlem  27765  pntpbnd2  27821  ipasslem4  31301  ipasslem5  31302  minvecolem5  31348  subfaclim  35754  faclim  36312  iccioo01  38068  poimirlem29  38385  poimirlem30  38386  xrralrecnnle  46199  xrralrecnnge  46206  iooiinicc  46359  iooiinioc  46373  stirlinglem1  46889  iinhoiicclem  47488  iunhoiioolem  47490  iccvonmbllem  47493  vonioolem1  47495  vonioolem2  47496  vonicclem1  47498  vonicclem2  47499  preimageiingt  47535  preimaleiinlt  47536  salpreimagtge  47540  salpreimaltle  47541  smflimlem6  47591  flmrecm1  48218