MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecre 11902
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrecre (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre
StepHypRef Expression
1 1re 10863 . 2 1 ∈ ℝ
2 nndivre 11901 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31, 2mpan 690 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2112  (class class class)co 7235  cr 10758  1c1 10760   / cdiv 11519  cn 11860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-sep 5209  ax-nul 5216  ax-pow 5275  ax-pr 5339  ax-un 7545  ax-resscn 10816  ax-1cn 10817  ax-icn 10818  ax-addcl 10819  ax-addrcl 10820  ax-mulcl 10821  ax-mulrcl 10822  ax-mulcom 10823  ax-addass 10824  ax-mulass 10825  ax-distr 10826  ax-i2m1 10827  ax-1ne0 10828  ax-1rid 10829  ax-rnegex 10830  ax-rrecex 10831  ax-cnre 10832  ax-pre-lttri 10833  ax-pre-lttrn 10834  ax-pre-ltadd 10835  ax-pre-mulgt0 10836
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rmo 3072  df-rab 3073  df-v 3425  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4255  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5153  df-tr 5179  df-id 5472  df-eprel 5478  df-po 5486  df-so 5487  df-fr 5527  df-we 5529  df-xp 5575  df-rel 5576  df-cnv 5577  df-co 5578  df-dm 5579  df-rn 5580  df-res 5581  df-ima 5582  df-pred 6179  df-ord 6237  df-on 6238  df-lim 6239  df-suc 6240  df-iota 6359  df-fun 6403  df-fn 6404  df-f 6405  df-f1 6406  df-fo 6407  df-f1o 6408  df-fv 6409  df-riota 7192  df-ov 7238  df-oprab 7239  df-mpo 7240  df-om 7667  df-wrecs 8071  df-recs 8132  df-rdg 8170  df-er 8415  df-en 8651  df-dom 8652  df-sdom 8653  df-pnf 10899  df-mnf 10900  df-xr 10901  df-ltxr 10902  df-le 10903  df-sub 11094  df-neg 11095  df-div 11520  df-nn 11861
This theorem is referenced by:  nnrecred  11911  rpnnen1lem5  12607  fldiv  13465  supcvg  15453  harmonic  15456  rpnnen2lem11  15818  flodddiv4  16007  prmreclem4  16505  prmreclem5  16506  prmreclem6  16507  prmrec  16508  met1stc  23451  pcoass  23953  bcthlem4  24256  vitali  24542  ismbf3d  24583  itg2seq  24672  itg2gt0  24690  plyeq0lem  25136  logtayllem  25579  cxproot  25610  cxpeq  25675  quartlem3  25774  leibpi  25857  emcllem4  25913  emcllem6  25915  basellem6  26000  mulogsumlem  26444  pntpbnd2  26500  ipasslem4  28947  ipasslem5  28948  minvecolem5  28994  subfaclim  32894  faclim  33462  iccioo01  35269  poimirlem29  35580  poimirlem30  35581  xrralrecnnle  42643  xrralrecnnge  42651  iooiinicc  42801  iooiinioc  42815  stirlinglem1  43336  iinhoiicclem  43932  iunhoiioolem  43934  iccvonmbllem  43937  vonioolem1  43939  vonioolem2  43940  vonicclem1  43942  vonicclem2  43943  preimageiingt  43975  preimaleiinlt  43976  salpreimagtge  43979  salpreimaltle  43980  smflimlem6  44029
  Copyright terms: Public domain W3C validator