Theorem nnrecre 12380

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11308	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12379	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 703	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  1c1 11201   / cdiv 11973  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336

This theorem is used by:  nnrecred  12389  rpnnen1lem5  13109  fldiv  14000  supcvg  16025  harmonic  16028  rpnnen2lem11  16392  flodddiv4  16585  prmreclem4  17097  prmreclem5  17098  prmreclem6  17099  prmrec  17100  met1stc  24840  pcoass  25345  bcthlem4  25648  vitali  25934  ismbf3d  25975  itg2seq  26063  itg2gt0  26081  plyeq0lem  26529  logtayllem  26987  cxproot  27018  cxpeq  27085  quartlem3  27187  leibpi  27270  emcllem4  27326  emcllem6  27328  basellem6  27413  mulogsumlem  27858  pntpbnd2  27914  ipasslem4  31436  ipasslem5  31437  minvecolem5  31483  subfaclim  35953  faclim  36511  iccioo01  38251  poimirlem29  38568  poimirlem30  38569  xrralrecnnle  46394  xrralrecnnge  46401  iooiinicc  46554  iooiinioc  46568  stirlinglem1  47084  iinhoiicclem  47683  iunhoiioolem  47685  iccvonmbllem  47688  vonioolem1  47690  vonioolem2  47691  vonicclem1  47693  vonicclem2  47694  preimageiingt  47730  preimaleiinlt  47731  salpreimagtge  47735  salpreimaltle  47736  smflimlem6  47786  flmrecm1  48413