Theorem nnrecre 12167

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11112	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12166	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 690	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  1c1 11007   / cdiv 11774  ℕcn 12125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126

This theorem is referenced by:  nnrecred  12176  rpnnen1lem5  12879  fldiv  13764  supcvg  15763  harmonic  15766  rpnnen2lem11  16133  flodddiv4  16326  prmreclem4  16831  prmreclem5  16832  prmreclem6  16833  prmrec  16834  met1stc  24436  pcoass  24951  bcthlem4  25254  vitali  25541  ismbf3d  25582  itg2seq  25670  itg2gt0  25688  plyeq0lem  26142  logtayllem  26595  cxproot  26626  cxpeq  26694  quartlem3  26796  leibpi  26879  emcllem4  26936  emcllem6  26938  basellem6  27023  mulogsumlem  27469  pntpbnd2  27525  ipasslem4  30814  ipasslem5  30815  minvecolem5  30861  subfaclim  35232  faclim  35790  iccioo01  37371  poimirlem29  37688  poimirlem30  37689  xrralrecnnle  45480  xrralrecnnge  45487  iooiinicc  45641  iooiinioc  45655  stirlinglem1  46171  iinhoiicclem  46770  iunhoiioolem  46772  iccvonmbllem  46775  vonioolem1  46777  vonioolem2  46778  vonicclem1  46780  vonicclem2  46781  preimageiingt  46817  preimaleiinlt  46818  salpreimagtge  46822  salpreimaltle  46823  smflimlem6  46873