MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nnrecre Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nnrecre 12292
Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
nnrecre (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre
StepHypRef Expression
1 1re 11252 . 2 1 ∈ ℝ
2 nndivre 12291 . 2 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
31, 2mpan 688 1 (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wcel 2098  (class class class)co 7426  cr 11145  1c1 11147   / cdiv 11909  cn 12250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251
This theorem is referenced by:  nnrecred  12301  rpnnen1lem5  13003  fldiv  13865  supcvg  15842  harmonic  15845  rpnnen2lem11  16208  flodddiv4  16397  prmreclem4  16895  prmreclem5  16896  prmreclem6  16897  prmrec  16898  met1stc  24450  pcoass  24971  bcthlem4  25275  vitali  25562  ismbf3d  25603  itg2seq  25692  itg2gt0  25710  plyeq0lem  26164  logtayllem  26613  cxproot  26644  cxpeq  26712  quartlem3  26811  leibpi  26894  emcllem4  26951  emcllem6  26953  basellem6  27038  mulogsumlem  27484  pntpbnd2  27540  ipasslem4  30664  ipasslem5  30665  minvecolem5  30711  subfaclim  34831  faclim  35373  iccioo01  36839  poimirlem29  37155  poimirlem30  37156  xrralrecnnle  44794  xrralrecnnge  44801  iooiinicc  44956  iooiinioc  44970  stirlinglem1  45491  iinhoiicclem  46090  iunhoiioolem  46092  iccvonmbllem  46095  vonioolem1  46097  vonioolem2  46098  vonicclem1  46100  vonicclem2  46101  preimageiingt  46137  preimaleiinlt  46138  salpreimagtge  46142  salpreimaltle  46143  smflimlem6  46193
  Copyright terms: Public domain W3C validator