Theorem nnrecre 12278

Description: The reciprocal of a positive integer is real. (Contributed by NM, 8-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
nnrecre	⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Proof of Theorem nnrecre

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1re 11208	. 2 ⊢ 1 ∈ ℝ
2		nndivre 12277	. 2 ⊢ ((1 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)
3	1, 2	mpan 702	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 / 𝑁) ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  1c1 11101   / cdiv 11871  ℕcn 12233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234

This theorem is referenced by:  nnrecred  12287  rpnnen1lem5  13005  fldiv  13893  supcvg  15910  harmonic  15913  rpnnen2lem11  16280  flodddiv4  16473  prmreclem4  16979  prmreclem5  16980  prmreclem6  16981  prmrec  16982  met1stc  24647  pcoass  25152  bcthlem4  25455  vitali  25741  ismbf3d  25782  itg2seq  25870  itg2gt0  25888  plyeq0lem  26336  logtayllem  26790  cxproot  26821  cxpeq  26888  quartlem3  26990  leibpi  27073  emcllem4  27129  emcllem6  27131  basellem6  27216  mulogsumlem  27661  pntpbnd2  27717  ipasslem4  31127  ipasslem5  31128  minvecolem5  31174  subfaclim  35613  faclim  36171  iccioo01  37896  poimirlem29  38223  poimirlem30  38224  xrralrecnnle  46025  xrralrecnnge  46032  iooiinicc  46185  iooiinioc  46199  stirlinglem1  46715  iinhoiicclem  47314  iunhoiioolem  47316  iccvonmbllem  47319  vonioolem1  47321  vonioolem2  47322  vonicclem1  47324  vonicclem2  47325  preimageiingt  47361  preimaleiinlt  47362  salpreimagtge  47366  salpreimaltle  47367  smflimlem6  47417  flmrecm1  48004