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Theorem numclwwlk3 28322
Description: Statement 12 in [Huneke] p. 2: "Thus f(n) = (k - 1)f(n - 2) + k^(n-2)." - the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) is the sum of the number of the closed walks v(0) ... v(n-2) v(n-1) v(n) with v(n-2) = v(n) (see numclwwlk1 28298) and with v(n-2) =/= v(n) (see numclwwlk2 28318): f(n) = kf(n-2) + k^(n-2) - f(n-2) = (k-1)f(n-2) + k^(n-2). (Contributed by Alexander van der Vekens, 26-Aug-2018.) (Revised by AV, 6-Mar-2022.)
Hypothesis
Ref Expression
numclwwlk3.v 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
numclwwlk3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))

Proof of Theorem numclwwlk3
Dummy variables 𝑛 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 486 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
2 simp1 1137 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ∈ Fin)
3 numclwwlk3.v . . . . 5 𝑉 = (Vtx‘𝐺)
43finrusgrfusgr 27507 . . . 4 ((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ∈ Fin) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
51, 2, 4syl2an 599 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 ∈ FinUSGraph)
6 simpr2 1196 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑋𝑉)
7 uzuzle23 12371 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
873ad2ant3 1136 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
98adantl 485 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑁 ∈ (ℤ‘2))
10 eqid 2738 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})
11 eqid 2738 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})
1210, 11numclwwlk3lem2 28321 . . 3 (((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝑋𝑉) ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) + (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁))))
135, 6, 9, 12syl21anc 837 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = ((♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) + (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁))))
14 eqid 2738 . . . 4 (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)}) = (𝑣𝑉, 𝑛 ∈ ℕ ↦ {𝑤 ∈ (𝑛 WWalksN 𝐺) ∣ ((𝑤‘0) = 𝑣 ∧ (lastS‘𝑤) ≠ 𝑣)})
153, 14, 11numclwwlk2 28318 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) = ((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
161, 2anim12ci 617 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾))
17 3simpc 1151 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
1817adantl 485 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)))
19 eqid 2738 . . . . 5 (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) = (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))
203, 10, 19numclwwlk1 28298 . . . 4 (((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾) ∧ (𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
2116, 18, 20syl2anc 587 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁)) = (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))))
2215, 21oveq12d 7188 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → ((♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) ≠ 𝑣})𝑁)) + (♯‘(𝑋(𝑣𝑉, 𝑛 ∈ (ℤ‘2) ↦ {𝑤 ∈ (𝑣(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑛) ∣ (𝑤‘(𝑛 − 2)) = 𝑣})𝑁))) = (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))))
23 simpll 767 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐺 RegUSGraph 𝐾)
24 ne0i 4223 . . . . . . 7 (𝑋𝑉𝑉 ≠ ∅)
25243ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → 𝑉 ≠ ∅)
2625adantl 485 . . . . 5 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝑉 ≠ ∅)
273frusgrnn0 27513 . . . . 5 ((𝐺 ∈ FinUSGraph ∧ 𝐺 RegUSGraph 𝐾𝑉 ≠ ∅) → 𝐾 ∈ ℕ0)
285, 23, 26, 27syl3anc 1372 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℕ0)
2928nn0cnd 12038 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → 𝐾 ∈ ℂ)
30 uz3m2nn 12373 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
31303anim3i 1155 . . . . 5 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3)) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
3231adantl 485 . . . 4 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ))
333clwwlknonfin 28031 . . . . 5 (𝑉 ∈ Fin → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
34333ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉 ∧ (𝑁 − 2) ∈ ℕ) → (𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin)
35 hashcl 13809 . . . . 5 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℕ0)
3635nn0cnd 12038 . . . 4 ((𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)) ∈ Fin → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
3732, 34, 363syl 18 . . 3 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℂ)
38 numclwwlk3lem1 28319 . . 3 ((𝐾 ∈ ℂ ∧ (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))) ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ (ℤ‘2)) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
3929, 37, 9, 38syl3anc 1372 . 2 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (((𝐾↑(𝑁 − 2)) − (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾 · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2))))) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
4013, 22, 393eqtrd 2777 1 (((𝐺 RegUSGraph 𝐾𝐺 ∈ FriendGraph ) ∧ (𝑉 ∈ Fin ∧ 𝑋𝑉𝑁 ∈ (ℤ‘3))) → (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)𝑁)) = (((𝐾 − 1) · (♯‘(𝑋(ClWWalksNOn‘𝐺)(𝑁 − 2)))) + (𝐾↑(𝑁 − 2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2934  {crab 3057  c0 4211   class class class wbr 5030  cfv 6339  (class class class)co 7170  cmpo 7172  Fincfn 8555  cc 10613  0cc0 10615  1c1 10616   + caddc 10618   · cmul 10620  cmin 10948  cn 11716  2c2 11771  3c3 11772  0cn0 11976  cuz 12324  cexp 13521  chash 13782  lastSclsw 14003  Vtxcvtx 26941  FinUSGraphcfusgr 27258   RegUSGraph crusgr 27498   WWalksN cwwlksn 27764  ClWWalksNOncclwwlknon 28024   FriendGraph cfrgr 28195
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-inf2 9177  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692  ax-pre-sup 10693
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-disj 4996  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-2o 8132  df-oadd 8135  df-er 8320  df-map 8439  df-pm 8440  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-sup 8979  df-oi 9047  df-dju 9403  df-card 9441  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-div 11376  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-n0 11977  df-xnn0 12049  df-z 12063  df-uz 12325  df-rp 12473  df-xadd 12591  df-fz 12982  df-fzo 13125  df-seq 13461  df-exp 13522  df-hash 13783  df-word 13956  df-lsw 14004  df-concat 14012  df-s1 14039  df-substr 14092  df-pfx 14122  df-s2 14299  df-cj 14548  df-re 14549  df-im 14550  df-sqrt 14684  df-abs 14685  df-clim 14935  df-sum 15136  df-vtx 26943  df-iedg 26944  df-edg 26993  df-uhgr 27003  df-ushgr 27004  df-upgr 27027  df-umgr 27028  df-uspgr 27095  df-usgr 27096  df-fusgr 27259  df-nbgr 27275  df-vtxdg 27408  df-rgr 27499  df-rusgr 27500  df-wwlks 27768  df-wwlksn 27769  df-wwlksnon 27770  df-clwwlk 27919  df-clwwlkn 27962  df-clwwlknon 28025  df-frgr 28196
This theorem is referenced by:  numclwwlk5  28325
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