Theorem expcl 14044

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14049. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4004	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11193	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11167	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14037	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℕ₀cn0 12471  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expeq0  14057  expnegz  14061  mulexp  14066  mulexpz  14067  expadd  14069  expaddzlem  14070  expaddz  14071  expmul  14072  expmulz  14073  expdiv  14078  expcld  14110  binom3  14186  digit2  14198  digit1  14199  faclbnd2  14250  faclbnd4lem4  14255  faclbnd6  14258  cjexp  15096  absexp  15250  ackbijnn  15773  binomlem  15774  binom1p  15776  binom1dif  15778  expcnv  15809  geolim  15815  geolim2  15816  geo2sum  15818  geomulcvg  15821  geoisum  15822  geoisumr  15823  geoisum1  15824  geoisum1c  15825  0.999...  15826  fallrisefac  15968  0risefac  15981  binomrisefac  15985  bpolysum  15996  bpolydiflem  15997  fsumkthpow  15999  bpoly3  16001  bpoly4  16002  fsumcube  16003  eftcl  16016  eftabs  16018  efcllem  16020  efcj  16034  efaddlem  16035  eflegeo  16063  efi4p  16079  prmreclem6  16853  karatsuba  17016  expmhm  21013  mbfi1fseqlem6  25237  itg0  25296  itgz  25297  itgcl  25300  itgcnlem  25306  itgsplit  25352  dvexp  25469  dvexp3  25494  plyf  25711  ply1termlem  25716  plypow  25718  plyeq0lem  25723  plypf1  25725  plyaddlem1  25726  plymullem1  25727  coeeulem  25737  coeidlem  25750  coeid3  25753  plyco  25754  dgrcolem2  25787  plycjlem  25789  plyrecj  25792  vieta1  25824  elqaalem3  25833  aareccl  25838  aalioulem1  25844  geolim3  25851  psergf  25923  dvradcnv  25932  psercn2  25934  pserdvlem2  25939  pserdv2  25941  abelthlem4  25945  abelthlem5  25946  abelthlem6  25947  abelthlem7  25949  abelthlem9  25951  advlogexp  26162  logtayllem  26166  logtayl  26167  logtaylsum  26168  logtayl2  26169  cxpeq  26262  dcubic1lem  26345  dcubic2  26346  dcubic1  26347  dcubic  26348  mcubic  26349  cubic2  26350  cubic  26351  binom4  26352  dquartlem2  26354  dquart  26355  quart1cl  26356  quart1lem  26357  quart1  26358  quartlem1  26359  quartlem2  26360  quart  26363  atantayl  26439  atantayl2  26440  atantayl3  26441  leibpi  26444  log2cnv  26446  log2tlbnd  26447  log2ublem3  26450  ftalem1  26574  ftalem4  26577  ftalem5  26578  basellem3  26584  musum  26692  1sgmprm  26699  perfect  26731  lgsquadlem1  26880  rplogsumlem2  26985  ostth2lem2  27134  numclwwlk3lem1  29632  ipval2  29955  dipcl  29960  dipcn  29968  subfacval2  34173  gg-expcn  35159  gg-psercn2  35173  lcmineqlem1  40889  lcmineqlem2  40890  lcmineqlem8  40896  lcmineqlem10  40898  jm2.23  41725  lhe4.4ex1a  43078  perfectALTV  46381  altgsumbc  47018  altgsumbcALT  47019  nn0digval  47276  ackval42  47372