Theorem expcl 14032

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14037. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3945	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11113	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11087	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14025	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7360  ℂcc 11027  ℕ₀cn0 12428  ↑cexp 14014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-seq 13955  df-exp 14015

This theorem is referenced by:  expeq0  14045  expnegz  14049  mulexp  14054  mulexpz  14055  expadd  14057  expaddzlem  14058  expaddz  14059  expmul  14060  expmulz  14061  expdiv  14066  expcld  14099  binom3  14177  digit2  14189  digit1  14190  faclbnd2  14244  faclbnd4lem4  14249  faclbnd6  14252  cjexp  15103  absexp  15257  ackbijnn  15784  binomlem  15785  binom1p  15787  binom1dif  15789  expcnv  15820  geolim  15826  geolim2  15827  geo2sum  15829  geomulcvg  15832  geoisum  15833  geoisumr  15834  geoisum1  15835  geoisum1c  15836  0.999...  15837  fallrisefac  15981  0risefac  15994  binomrisefac  15998  bpolysum  16009  bpolydiflem  16010  fsumkthpow  16012  bpoly3  16014  bpoly4  16015  fsumcube  16016  eftcl  16029  eftabs  16031  efcllem  16033  efcj  16048  efaddlem  16049  eflegeo  16079  efi4p  16095  prmreclem6  16883  karatsuba  17045  expmhm  21426  expcn  24849  mbfi1fseqlem6  25697  itg0  25757  itgz  25758  itgcl  25761  itgcnlem  25767  itgsplit  25813  dvexp  25930  dvexp3  25955  plyf  26173  ply1termlem  26178  plypow  26180  plyeq0lem  26185  plypf1  26187  plyaddlem1  26188  plymullem1  26189  coeeulem  26199  coeidlem  26212  coeid3  26215  plyco  26216  dgrcolem2  26249  plycjlem  26251  plyrecj  26256  vieta1  26289  elqaalem3  26298  aareccl  26303  aalioulem1  26309  geolim3  26316  psergf  26390  dvradcnv  26399  psercn2  26401  pserdvlem2  26406  pserdv2  26408  abelthlem4  26412  abelthlem5  26413  abelthlem6  26414  abelthlem7  26416  abelthlem9  26418  advlogexp  26632  logtayllem  26636  logtayl  26637  logtaylsum  26638  logtayl2  26639  cxpeq  26734  dcubic1lem  26820  dcubic2  26821  dcubic1  26822  dcubic  26823  mcubic  26824  cubic2  26825  cubic  26826  binom4  26827  dquartlem2  26829  dquart  26830  quart1cl  26831  quart1lem  26832  quart1  26833  quartlem1  26834  quartlem2  26835  quart  26838  atantayl  26914  atantayl2  26915  atantayl3  26916  leibpi  26919  log2cnv  26921  log2tlbnd  26922  log2ublem3  26925  ftalem1  27050  ftalem4  27053  ftalem5  27054  basellem3  27060  musum  27168  1sgmprm  27176  perfect  27208  lgsquadlem1  27357  rplogsumlem2  27462  ostth2lem2  27611  numclwwlk3lem1  30467  ipval2  30793  dipcl  30798  dipcn  30806  cos9thpiminplylem5  33946  subfacval2  35385  lcmineqlem1  42482  lcmineqlem2  42483  lcmineqlem8  42489  lcmineqlem10  42491  jm2.23  43442  lhe4.4ex1a  44774  perfectALTV  48211  altgsumbc  48840  altgsumbcALT  48841  nn0digval  49088  ackval42  49184