Theorem expcl 14089

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14094. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11154	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11128	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14082	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7392  ℂcc 11068  ℕ₀cn0 12478  ↑cexp 14071

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-2nd 7967  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-er 8673  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-seq 14012  df-exp 14072

This theorem is referenced by:  expeq0  14102  expnegz  14106  mulexp  14111  mulexpz  14112  expadd  14114  expaddzlem  14115  expaddz  14116  expmul  14117  expmulz  14118  expdiv  14123  expcld  14156  binom3  14234  digit2  14246  digit1  14247  faclbnd2  14301  faclbnd4lem4  14306  faclbnd6  14309  cjexp  15160  absexp  15314  ackbijnn  15841  binomlem  15842  binom1p  15844  binom1dif  15846  expcnv  15877  geolim  15883  geolim2  15884  geo2sum  15886  geomulcvg  15889  geoisum  15890  geoisumr  15891  geoisum1  15892  geoisum1c  15893  0.999...  15894  fallrisefac  16038  0risefac  16051  binomrisefac  16055  bpolysum  16066  bpolydiflem  16067  fsumkthpow  16069  bpoly3  16071  bpoly4  16072  fsumcube  16073  eftcl  16086  eftabs  16088  efcllem  16090  efcj  16105  efaddlem  16106  eflegeo  16136  efi4p  16152  prmreclem6  16940  karatsuba  17102  expmhm  21468  expcn  24914  mbfi1fseqlem6  25762  itg0  25822  itgz  25823  itgcl  25826  itgcnlem  25832  itgsplit  25878  dvexp  25995  dvexp3  26020  plyf  26238  ply1termlem  26243  plypow  26245  plyeq0lem  26250  plypf1  26252  plyaddlem1  26253  plymullem1  26254  coeeulem  26264  coeidlem  26277  coeid3  26280  plyco  26281  dgrcolem2  26314  plycjlem  26316  plyrecj  26321  vieta1  26353  elqaalem3  26362  aareccl  26367  aalioulem1  26373  geolim3  26380  psergf  26452  dvradcnv  26461  psercn2  26463  pserdvlem2  26468  pserdv2  26470  abelthlem4  26474  abelthlem5  26475  abelthlem6  26476  abelthlem7  26478  abelthlem9  26480  advlogexp  26697  logtayllem  26701  logtayl  26702  logtaylsum  26703  logtayl2  26704  cxpeq  26799  dcubic1lem  26885  dcubic2  26886  dcubic1  26887  dcubic  26888  mcubic  26889  cubic2  26890  cubic  26891  binom4  26892  dquartlem2  26894  dquart  26895  quart1cl  26896  quart1lem  26897  quart1  26898  quartlem1  26899  quartlem2  26900  quart  26903  atantayl  26979  atantayl2  26980  atantayl3  26981  leibpi  26984  log2cnv  26986  log2tlbnd  26987  log2ublem3  26990  ftalem1  27114  ftalem4  27117  ftalem5  27118  basellem3  27124  musum  27232  1sgmprm  27240  perfect  27272  lgsquadlem1  27421  rplogsumlem2  27526  ostth2lem2  27675  numclwwlk3lem1  30530  ipval2  30856  dipcl  30861  dipcn  30869  cos9thpiminplylem5  34044  subfacval2  35501  lcmineqlem1  42610  lcmineqlem2  42611  lcmineqlem8  42617  lcmineqlem10  42619  jm2.23  43537  lhe4.4ex1a  44869  goldratmolem2  47444  perfectALTV  48309  altgsumbc  48938  altgsumbcALT  48939  nn0digval  49186  ackval42  49282