Theorem expcl 14039

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14044. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11120	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11094	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14032	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034  ℕ₀cn0 12435  ↑cexp 14021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-seq 13962  df-exp 14022

This theorem is referenced by:  expeq0  14052  expnegz  14056  mulexp  14061  mulexpz  14062  expadd  14064  expaddzlem  14065  expaddz  14066  expmul  14067  expmulz  14068  expdiv  14073  expcld  14106  binom3  14184  digit2  14196  digit1  14197  faclbnd2  14251  faclbnd4lem4  14256  faclbnd6  14259  cjexp  15110  absexp  15264  ackbijnn  15791  binomlem  15792  binom1p  15794  binom1dif  15796  expcnv  15827  geolim  15833  geolim2  15834  geo2sum  15836  geomulcvg  15839  geoisum  15840  geoisumr  15841  geoisum1  15842  geoisum1c  15843  0.999...  15844  fallrisefac  15988  0risefac  16001  binomrisefac  16005  bpolysum  16016  bpolydiflem  16017  fsumkthpow  16019  bpoly3  16021  bpoly4  16022  fsumcube  16023  eftcl  16036  eftabs  16038  efcllem  16040  efcj  16055  efaddlem  16056  eflegeo  16086  efi4p  16102  prmreclem6  16890  karatsuba  17052  expmhm  21418  expcn  24864  mbfi1fseqlem6  25712  itg0  25772  itgz  25773  itgcl  25776  itgcnlem  25782  itgsplit  25828  dvexp  25945  dvexp3  25970  plyf  26188  ply1termlem  26193  plypow  26195  plyeq0lem  26200  plypf1  26202  plyaddlem1  26203  plymullem1  26204  coeeulem  26214  coeidlem  26227  coeid3  26230  plyco  26231  dgrcolem2  26264  plycjlem  26266  plyrecj  26271  vieta1  26303  elqaalem3  26312  aareccl  26317  aalioulem1  26323  geolim3  26330  psergf  26402  dvradcnv  26411  psercn2  26413  pserdvlem2  26418  pserdv2  26420  abelthlem4  26424  abelthlem5  26425  abelthlem6  26426  abelthlem7  26428  abelthlem9  26430  advlogexp  26644  logtayllem  26648  logtayl  26649  logtaylsum  26650  logtayl2  26651  cxpeq  26746  dcubic1lem  26832  dcubic2  26833  dcubic1  26834  dcubic  26835  mcubic  26836  cubic2  26837  cubic  26838  binom4  26839  dquartlem2  26841  dquart  26842  quart1cl  26843  quart1lem  26844  quart1  26845  quartlem1  26846  quartlem2  26847  quart  26850  atantayl  26926  atantayl2  26927  atantayl3  26928  leibpi  26931  log2cnv  26933  log2tlbnd  26934  log2ublem3  26937  ftalem1  27061  ftalem4  27064  ftalem5  27065  basellem3  27071  musum  27179  1sgmprm  27187  perfect  27219  lgsquadlem1  27368  rplogsumlem2  27473  ostth2lem2  27622  numclwwlk3lem1  30477  ipval2  30803  dipcl  30808  dipcn  30816  cos9thpiminplylem5  33977  subfacval2  35422  lcmineqlem1  42521  lcmineqlem2  42522  lcmineqlem8  42528  lcmineqlem10  42530  jm2.23  43448  lhe4.4ex1a  44780  goldratmolem2  47356  perfectALTV  48221  altgsumbc  48850  altgsumbcALT  48851  nn0digval  49098  ackval42  49194