Theorem expcl 13800

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3943	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10955	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10929	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13793	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13782

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-seq 13722  df-exp 13783

This theorem is referenced by:  expeq0  13813  expnegz  13817  mulexp  13822  mulexpz  13823  expadd  13825  expaddzlem  13826  expaddz  13827  expmul  13828  expmulz  13829  expdiv  13834  expcld  13864  binom3  13939  digit2  13951  digit1  13952  faclbnd2  14005  faclbnd4lem4  14010  faclbnd6  14013  cjexp  14861  absexp  15016  ackbijnn  15540  binomlem  15541  binom1p  15543  binom1dif  15545  expcnv  15576  geolim  15582  geolim2  15583  geo2sum  15585  geomulcvg  15588  geoisum  15589  geoisumr  15590  geoisum1  15591  geoisum1c  15592  0.999...  15593  fallrisefac  15735  0risefac  15748  binomrisefac  15752  bpolysum  15763  bpolydiflem  15764  fsumkthpow  15766  bpoly3  15768  bpoly4  15769  fsumcube  15770  eftcl  15783  eftabs  15785  efcllem  15787  efcj  15801  efaddlem  15802  eflegeo  15830  efi4p  15846  prmreclem6  16622  karatsuba  16785  expmhm  20667  mbfi1fseqlem6  24885  itg0  24944  itgz  24945  itgcl  24948  itgcnlem  24954  itgsplit  25000  dvexp  25117  dvexp3  25142  plyf  25359  ply1termlem  25364  plypow  25366  plyeq0lem  25371  plypf1  25373  plyaddlem1  25374  plymullem1  25375  coeeulem  25385  coeidlem  25398  coeid3  25401  plyco  25402  dgrcolem2  25435  plycjlem  25437  plyrecj  25440  vieta1  25472  elqaalem3  25481  aareccl  25486  aalioulem1  25492  geolim3  25499  psergf  25571  dvradcnv  25580  psercn2  25582  pserdvlem2  25587  pserdv2  25589  abelthlem4  25593  abelthlem5  25594  abelthlem6  25595  abelthlem7  25597  abelthlem9  25599  advlogexp  25810  logtayllem  25814  logtayl  25815  logtaylsum  25816  logtayl2  25817  cxpeq  25910  dcubic1lem  25993  dcubic2  25994  dcubic1  25995  dcubic  25996  mcubic  25997  cubic2  25998  cubic  25999  binom4  26000  dquartlem2  26002  dquart  26003  quart1cl  26004  quart1lem  26005  quart1  26006  quartlem1  26007  quartlem2  26008  quart  26011  atantayl  26087  atantayl2  26088  atantayl3  26089  leibpi  26092  log2cnv  26094  log2tlbnd  26095  log2ublem3  26098  ftalem1  26222  ftalem4  26225  ftalem5  26226  basellem3  26232  musum  26340  1sgmprm  26347  perfect  26379  lgsquadlem1  26528  rplogsumlem2  26633  ostth2lem2  26782  numclwwlk3lem1  28746  ipval2  29069  dipcl  29074  dipcn  29082  subfacval2  33149  lcmineqlem1  40037  lcmineqlem2  40038  lcmineqlem8  40044  lcmineqlem10  40046  jm2.23  40818  lhe4.4ex1a  41947  perfectALTV  45175  altgsumbc  45688  altgsumbcALT  45689  nn0digval  45946  ackval42  46042