Theorem expcl 14130

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14135. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4031	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11268	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11242	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14123	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  ℕ₀cn0 12553  ↑cexp 14112

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-seq 14053  df-exp 14113

This theorem is referenced by:  expeq0  14143  expnegz  14147  mulexp  14152  mulexpz  14153  expadd  14155  expaddzlem  14156  expaddz  14157  expmul  14158  expmulz  14159  expdiv  14164  expcld  14196  binom3  14273  digit2  14285  digit1  14286  faclbnd2  14340  faclbnd4lem4  14345  faclbnd6  14348  cjexp  15199  absexp  15353  ackbijnn  15876  binomlem  15877  binom1p  15879  binom1dif  15881  expcnv  15912  geolim  15918  geolim2  15919  geo2sum  15921  geomulcvg  15924  geoisum  15925  geoisumr  15926  geoisum1  15927  geoisum1c  15928  0.999...  15929  fallrisefac  16073  0risefac  16086  binomrisefac  16090  bpolysum  16101  bpolydiflem  16102  fsumkthpow  16104  bpoly3  16106  bpoly4  16107  fsumcube  16108  eftcl  16121  eftabs  16123  efcllem  16125  efcj  16140  efaddlem  16141  eflegeo  16169  efi4p  16185  prmreclem6  16968  karatsuba  17131  expmhm  21477  expcn  24915  mbfi1fseqlem6  25775  itg0  25835  itgz  25836  itgcl  25839  itgcnlem  25845  itgsplit  25891  dvexp  26011  dvexp3  26036  plyf  26257  ply1termlem  26262  plypow  26264  plyeq0lem  26269  plypf1  26271  plyaddlem1  26272  plymullem1  26273  coeeulem  26283  coeidlem  26296  coeid3  26299  plyco  26300  dgrcolem2  26334  plycjlem  26336  plyrecj  26339  vieta1  26372  elqaalem3  26381  aareccl  26386  aalioulem1  26392  geolim3  26399  psergf  26473  dvradcnv  26482  psercn2  26484  psercn2OLD  26485  pserdvlem2  26490  pserdv2  26492  abelthlem4  26496  abelthlem5  26497  abelthlem6  26498  abelthlem7  26500  abelthlem9  26502  advlogexp  26715  logtayllem  26719  logtayl  26720  logtaylsum  26721  logtayl2  26722  cxpeq  26818  dcubic1lem  26904  dcubic2  26905  dcubic1  26906  dcubic  26907  mcubic  26908  cubic2  26909  cubic  26910  binom4  26911  dquartlem2  26913  dquart  26914  quart1cl  26915  quart1lem  26916  quart1  26917  quartlem1  26918  quartlem2  26919  quart  26922  atantayl  26998  atantayl2  26999  atantayl3  27000  leibpi  27003  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ublem3  27009  ftalem1  27134  ftalem4  27137  ftalem5  27138  basellem3  27144  musum  27252  1sgmprm  27261  perfect  27293  lgsquadlem1  27442  rplogsumlem2  27547  ostth2lem2  27696  numclwwlk3lem1  30414  ipval2  30739  dipcl  30744  dipcn  30752  subfacval2  35155  lcmineqlem1  41986  lcmineqlem2  41987  lcmineqlem8  41993  lcmineqlem10  41995  jm2.23  42953  lhe4.4ex1a  44298  perfectALTV  47597  altgsumbc  48077  altgsumbcALT  48078  nn0digval  48334  ackval42  48430