Theorem expcl 14044

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14049. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3969	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11152	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11126	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14037	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  ℕ₀cn0 12442  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-seq 13967  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  expeq0  14057  expnegz  14061  mulexp  14066  mulexpz  14067  expadd  14069  expaddzlem  14070  expaddz  14071  expmul  14072  expmulz  14073  expdiv  14078  expcld  14111  binom3  14189  digit2  14201  digit1  14202  faclbnd2  14256  faclbnd4lem4  14261  faclbnd6  14264  cjexp  15116  absexp  15270  ackbijnn  15794  binomlem  15795  binom1p  15797  binom1dif  15799  expcnv  15830  geolim  15836  geolim2  15837  geo2sum  15839  geomulcvg  15842  geoisum  15843  geoisumr  15844  geoisum1  15845  geoisum1c  15846  0.999...  15847  fallrisefac  15991  0risefac  16004  binomrisefac  16008  bpolysum  16019  bpolydiflem  16020  fsumkthpow  16022  bpoly3  16024  bpoly4  16025  fsumcube  16026  eftcl  16039  eftabs  16041  efcllem  16043  efcj  16058  efaddlem  16059  eflegeo  16089  efi4p  16105  prmreclem6  16892  karatsuba  17054  expmhm  21353  expcn  24763  mbfi1fseqlem6  25621  itg0  25681  itgz  25682  itgcl  25685  itgcnlem  25691  itgsplit  25737  dvexp  25857  dvexp3  25882  plyf  26103  ply1termlem  26108  plypow  26110  plyeq0lem  26115  plypf1  26117  plyaddlem1  26118  plymullem1  26119  coeeulem  26129  coeidlem  26142  coeid3  26145  plyco  26146  dgrcolem2  26180  plycjlem  26182  plyrecj  26187  vieta1  26220  elqaalem3  26229  aareccl  26234  aalioulem1  26240  geolim3  26247  psergf  26321  dvradcnv  26330  psercn2  26332  psercn2OLD  26333  pserdvlem2  26338  pserdv2  26340  abelthlem4  26344  abelthlem5  26345  abelthlem6  26346  abelthlem7  26348  abelthlem9  26350  advlogexp  26564  logtayllem  26568  logtayl  26569  logtaylsum  26570  logtayl2  26571  cxpeq  26667  dcubic1lem  26753  dcubic2  26754  dcubic1  26755  dcubic  26756  mcubic  26757  cubic2  26758  cubic  26759  binom4  26760  dquartlem2  26762  dquart  26763  quart1cl  26764  quart1lem  26765  quart1  26766  quartlem1  26767  quartlem2  26768  quart  26771  atantayl  26847  atantayl2  26848  atantayl3  26849  leibpi  26852  log2cnv  26854  log2tlbnd  26855  log2ublem3  26858  ftalem1  26983  ftalem4  26986  ftalem5  26987  basellem3  26993  musum  27101  1sgmprm  27110  perfect  27142  lgsquadlem1  27291  rplogsumlem2  27396  ostth2lem2  27545  numclwwlk3lem1  30311  ipval2  30636  dipcl  30641  dipcn  30649  cos9thpiminplylem5  33776  subfacval2  35174  lcmineqlem1  42017  lcmineqlem2  42018  lcmineqlem8  42024  lcmineqlem10  42026  jm2.23  42985  lhe4.4ex1a  44318  perfectALTV  47724  altgsumbc  48340  altgsumbcALT  48341  nn0digval  48589  ackval42  48685