Theorem expcl 14014

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14019. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3958	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11122	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11096	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14007	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  ℕ₀cn0 12413  ↑cexp 13996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-seq 13937  df-exp 13997

This theorem is referenced by:  expeq0  14027  expnegz  14031  mulexp  14036  mulexpz  14037  expadd  14039  expaddzlem  14040  expaddz  14041  expmul  14042  expmulz  14043  expdiv  14048  expcld  14081  binom3  14159  digit2  14171  digit1  14172  faclbnd2  14226  faclbnd4lem4  14231  faclbnd6  14234  cjexp  15085  absexp  15239  ackbijnn  15763  binomlem  15764  binom1p  15766  binom1dif  15768  expcnv  15799  geolim  15805  geolim2  15806  geo2sum  15808  geomulcvg  15811  geoisum  15812  geoisumr  15813  geoisum1  15814  geoisum1c  15815  0.999...  15816  fallrisefac  15960  0risefac  15973  binomrisefac  15977  bpolysum  15988  bpolydiflem  15989  fsumkthpow  15991  bpoly3  15993  bpoly4  15994  fsumcube  15995  eftcl  16008  eftabs  16010  efcllem  16012  efcj  16027  efaddlem  16028  eflegeo  16058  efi4p  16074  prmreclem6  16861  karatsuba  17023  expmhm  21403  expcn  24831  mbfi1fseqlem6  25689  itg0  25749  itgz  25750  itgcl  25753  itgcnlem  25759  itgsplit  25805  dvexp  25925  dvexp3  25950  plyf  26171  ply1termlem  26176  plypow  26178  plyeq0lem  26183  plypf1  26185  plyaddlem1  26186  plymullem1  26187  coeeulem  26197  coeidlem  26210  coeid3  26213  plyco  26214  dgrcolem2  26248  plycjlem  26250  plyrecj  26255  vieta1  26288  elqaalem3  26297  aareccl  26302  aalioulem1  26308  geolim3  26315  psergf  26389  dvradcnv  26398  psercn2  26400  psercn2OLD  26401  pserdvlem2  26406  pserdv2  26408  abelthlem4  26412  abelthlem5  26413  abelthlem6  26414  abelthlem7  26416  abelthlem9  26418  advlogexp  26632  logtayllem  26636  logtayl  26637  logtaylsum  26638  logtayl2  26639  cxpeq  26735  dcubic1lem  26821  dcubic2  26822  dcubic1  26823  dcubic  26824  mcubic  26825  cubic2  26826  cubic  26827  binom4  26828  dquartlem2  26830  dquart  26831  quart1cl  26832  quart1lem  26833  quart1  26834  quartlem1  26835  quartlem2  26836  quart  26839  atantayl  26915  atantayl2  26916  atantayl3  26917  leibpi  26920  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  log2ublem3  26926  ftalem1  27051  ftalem4  27054  ftalem5  27055  basellem3  27061  musum  27169  1sgmprm  27178  perfect  27210  lgsquadlem1  27359  rplogsumlem2  27464  ostth2lem2  27613  numclwwlk3lem1  30469  ipval2  30794  dipcl  30799  dipcn  30807  cos9thpiminplylem5  33963  subfacval2  35400  lcmineqlem1  42393  lcmineqlem2  42394  lcmineqlem8  42400  lcmineqlem10  42402  jm2.23  43347  lhe4.4ex1a  44679  perfectALTV  48077  altgsumbc  48706  altgsumbcALT  48707  nn0digval  48954  ackval42  49050