Theorem expcl 14002

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14007. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11110	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11084	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13995	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ℕ₀cn0 12401  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  expeq0  14015  expnegz  14019  mulexp  14024  mulexpz  14025  expadd  14027  expaddzlem  14028  expaddz  14029  expmul  14030  expmulz  14031  expdiv  14036  expcld  14069  binom3  14147  digit2  14159  digit1  14160  faclbnd2  14214  faclbnd4lem4  14219  faclbnd6  14222  cjexp  15073  absexp  15227  ackbijnn  15751  binomlem  15752  binom1p  15754  binom1dif  15756  expcnv  15787  geolim  15793  geolim2  15794  geo2sum  15796  geomulcvg  15799  geoisum  15800  geoisumr  15801  geoisum1  15802  geoisum1c  15803  0.999...  15804  fallrisefac  15948  0risefac  15961  binomrisefac  15965  bpolysum  15976  bpolydiflem  15977  fsumkthpow  15979  bpoly3  15981  bpoly4  15982  fsumcube  15983  eftcl  15996  eftabs  15998  efcllem  16000  efcj  16015  efaddlem  16016  eflegeo  16046  efi4p  16062  prmreclem6  16849  karatsuba  17011  expmhm  21391  expcn  24819  mbfi1fseqlem6  25677  itg0  25737  itgz  25738  itgcl  25741  itgcnlem  25747  itgsplit  25793  dvexp  25913  dvexp3  25938  plyf  26159  ply1termlem  26164  plypow  26166  plyeq0lem  26171  plypf1  26173  plyaddlem1  26174  plymullem1  26175  coeeulem  26185  coeidlem  26198  coeid3  26201  plyco  26202  dgrcolem2  26236  plycjlem  26238  plyrecj  26243  vieta1  26276  elqaalem3  26285  aareccl  26290  aalioulem1  26296  geolim3  26303  psergf  26377  dvradcnv  26386  psercn2  26388  psercn2OLD  26389  pserdvlem2  26394  pserdv2  26396  abelthlem4  26400  abelthlem5  26401  abelthlem6  26402  abelthlem7  26404  abelthlem9  26406  advlogexp  26620  logtayllem  26624  logtayl  26625  logtaylsum  26626  logtayl2  26627  cxpeq  26723  dcubic1lem  26809  dcubic2  26810  dcubic1  26811  dcubic  26812  mcubic  26813  cubic2  26814  cubic  26815  binom4  26816  dquartlem2  26818  dquart  26819  quart1cl  26820  quart1lem  26821  quart1  26822  quartlem1  26823  quartlem2  26824  quart  26827  atantayl  26903  atantayl2  26904  atantayl3  26905  leibpi  26908  log2cnv  26910  log2tlbnd  26911  log2ublem3  26914  ftalem1  27039  ftalem4  27042  ftalem5  27043  basellem3  27049  musum  27157  1sgmprm  27166  perfect  27198  lgsquadlem1  27347  rplogsumlem2  27452  ostth2lem2  27601  numclwwlk3lem1  30457  ipval2  30782  dipcl  30787  dipcn  30795  cos9thpiminplylem5  33943  subfacval2  35381  lcmineqlem1  42279  lcmineqlem2  42280  lcmineqlem8  42286  lcmineqlem10  42288  jm2.23  43234  lhe4.4ex1a  44566  perfectALTV  47965  altgsumbc  48594  altgsumbcALT  48595  nn0digval  48842  ackval42  48938