Theorem expcl 14004

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14009. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3960	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11112	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11086	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13997	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353  ℂcc 11026  ℕ₀cn0 12402  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by:  expeq0  14017  expnegz  14021  mulexp  14026  mulexpz  14027  expadd  14029  expaddzlem  14030  expaddz  14031  expmul  14032  expmulz  14033  expdiv  14038  expcld  14071  binom3  14149  digit2  14161  digit1  14162  faclbnd2  14216  faclbnd4lem4  14221  faclbnd6  14224  cjexp  15075  absexp  15229  ackbijnn  15753  binomlem  15754  binom1p  15756  binom1dif  15758  expcnv  15789  geolim  15795  geolim2  15796  geo2sum  15798  geomulcvg  15801  geoisum  15802  geoisumr  15803  geoisum1  15804  geoisum1c  15805  0.999...  15806  fallrisefac  15950  0risefac  15963  binomrisefac  15967  bpolysum  15978  bpolydiflem  15979  fsumkthpow  15981  bpoly3  15983  bpoly4  15984  fsumcube  15985  eftcl  15998  eftabs  16000  efcllem  16002  efcj  16017  efaddlem  16018  eflegeo  16048  efi4p  16064  prmreclem6  16851  karatsuba  17013  expmhm  21361  expcn  24779  mbfi1fseqlem6  25637  itg0  25697  itgz  25698  itgcl  25701  itgcnlem  25707  itgsplit  25753  dvexp  25873  dvexp3  25898  plyf  26119  ply1termlem  26124  plypow  26126  plyeq0lem  26131  plypf1  26133  plyaddlem1  26134  plymullem1  26135  coeeulem  26145  coeidlem  26158  coeid3  26161  plyco  26162  dgrcolem2  26196  plycjlem  26198  plyrecj  26203  vieta1  26236  elqaalem3  26245  aareccl  26250  aalioulem1  26256  geolim3  26263  psergf  26337  dvradcnv  26346  psercn2  26348  psercn2OLD  26349  pserdvlem2  26354  pserdv2  26356  abelthlem4  26360  abelthlem5  26361  abelthlem6  26362  abelthlem7  26364  abelthlem9  26366  advlogexp  26580  logtayllem  26584  logtayl  26585  logtaylsum  26586  logtayl2  26587  cxpeq  26683  dcubic1lem  26769  dcubic2  26770  dcubic1  26771  dcubic  26772  mcubic  26773  cubic2  26774  cubic  26775  binom4  26776  dquartlem2  26778  dquart  26779  quart1cl  26780  quart1lem  26781  quart1  26782  quartlem1  26783  quartlem2  26784  quart  26787  atantayl  26863  atantayl2  26864  atantayl3  26865  leibpi  26868  log2cnv  26870  log2tlbnd  26871  log2ublem3  26874  ftalem1  26999  ftalem4  27002  ftalem5  27003  basellem3  27009  musum  27117  1sgmprm  27126  perfect  27158  lgsquadlem1  27307  rplogsumlem2  27412  ostth2lem2  27561  numclwwlk3lem1  30344  ipval2  30669  dipcl  30674  dipcn  30682  cos9thpiminplylem5  33752  subfacval2  35159  lcmineqlem1  42002  lcmineqlem2  42003  lcmineqlem8  42009  lcmineqlem10  42011  jm2.23  42969  lhe4.4ex1a  44302  perfectALTV  47708  altgsumbc  48337  altgsumbcALT  48338  nn0digval  48586  ackval42  48682