Theorem expcl 14116

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14121. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4017	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11236	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11210	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14109	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  ℕ₀cn0 12523  ↑cexp 14098

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-seq 14039  df-exp 14099

This theorem is referenced by:  expeq0  14129  expnegz  14133  mulexp  14138  mulexpz  14139  expadd  14141  expaddzlem  14142  expaddz  14143  expmul  14144  expmulz  14145  expdiv  14150  expcld  14182  binom3  14259  digit2  14271  digit1  14272  faclbnd2  14326  faclbnd4lem4  14331  faclbnd6  14334  cjexp  15185  absexp  15339  ackbijnn  15860  binomlem  15861  binom1p  15863  binom1dif  15865  expcnv  15896  geolim  15902  geolim2  15903  geo2sum  15905  geomulcvg  15908  geoisum  15909  geoisumr  15910  geoisum1  15911  geoisum1c  15912  0.999...  15913  fallrisefac  16057  0risefac  16070  binomrisefac  16074  bpolysum  16085  bpolydiflem  16086  fsumkthpow  16088  bpoly3  16090  bpoly4  16091  fsumcube  16092  eftcl  16105  eftabs  16107  efcllem  16109  efcj  16124  efaddlem  16125  eflegeo  16153  efi4p  16169  prmreclem6  16954  karatsuba  17117  expmhm  21471  expcn  24909  mbfi1fseqlem6  25769  itg0  25829  itgz  25830  itgcl  25833  itgcnlem  25839  itgsplit  25885  dvexp  26005  dvexp3  26030  plyf  26251  ply1termlem  26256  plypow  26258  plyeq0lem  26263  plypf1  26265  plyaddlem1  26266  plymullem1  26267  coeeulem  26277  coeidlem  26290  coeid3  26293  plyco  26294  dgrcolem2  26328  plycjlem  26330  plyrecj  26335  vieta1  26368  elqaalem3  26377  aareccl  26382  aalioulem1  26388  geolim3  26395  psergf  26469  dvradcnv  26478  psercn2  26480  psercn2OLD  26481  pserdvlem2  26486  pserdv2  26488  abelthlem4  26492  abelthlem5  26493  abelthlem6  26494  abelthlem7  26496  abelthlem9  26498  advlogexp  26711  logtayllem  26715  logtayl  26716  logtaylsum  26717  logtayl2  26718  cxpeq  26814  dcubic1lem  26900  dcubic2  26901  dcubic1  26902  dcubic  26903  mcubic  26904  cubic2  26905  cubic  26906  binom4  26907  dquartlem2  26909  dquart  26910  quart1cl  26911  quart1lem  26912  quart1  26913  quartlem1  26914  quartlem2  26915  quart  26918  atantayl  26994  atantayl2  26995  atantayl3  26996  leibpi  26999  log2cnv  27001  log2tlbnd  27002  log2ublem3  27005  ftalem1  27130  ftalem4  27133  ftalem5  27134  basellem3  27140  musum  27248  1sgmprm  27257  perfect  27289  lgsquadlem1  27438  rplogsumlem2  27543  ostth2lem2  27692  numclwwlk3lem1  30410  ipval2  30735  dipcl  30740  dipcn  30748  subfacval2  35171  lcmineqlem1  42010  lcmineqlem2  42011  lcmineqlem8  42017  lcmineqlem10  42019  jm2.23  42984  lhe4.4ex1a  44324  perfectALTV  47647  altgsumbc  48196  altgsumbcALT  48197  nn0digval  48449  ackval42  48545