Theorem expcl 14135

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14140. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3962	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11202	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11176	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7423  ℂcc 11116  ℕ₀cn0 12522  ↑cexp 14117

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-n0 12523  df-z 12610  df-uz 12881  df-seq 14058  df-exp 14118

This theorem is used by:  expeq0  14148  expnegz  14152  mulexp  14157  mulexpz  14158  expadd  14160  expaddzlem  14161  expaddz  14162  expmul  14163  expmulz  14164  expdiv  14169  expcld  14202  binom3  14280  digit2  14292  digit1  14293  faclbnd2  14347  faclbnd4lem4  14352  faclbnd6  14355  cjexp  15227  absexp  15381  ackbijnn  15908  binomlem  15909  binom1p  15911  binom1dif  15913  expcnv  15944  geolim  15950  geolim2  15951  geo2sum  15953  geomulcvg  15956  geoisum  15957  geoisumr  15958  geoisum1  15959  geoisum1c  15960  0.999...  15961  fallrisefac  16105  0risefac  16117  binomrisefac  16121  bpolysum  16132  bpolydiflem  16133  fsumkthpow  16135  bpoly3  16137  bpoly4  16138  fsumcube  16139  eftcl  16152  eftabs  16154  efcllem  16156  efcj  16171  efaddlem  16172  eflegeo  16202  efi4p  16218  prmreclem6  17006  karatsuba  17168  expmhm  21623  expcn  25068  mbfi1fseqlem6  25916  itg0  25976  itgz  25977  itgcl  25980  itgcnlem  25986  itgsplit  26032  dvexp  26149  dvexp3  26174  plyf  26392  ply1termlem  26397  plypow  26399  plyeq0lem  26404  plypf1  26406  plyaddlem1  26407  plymullem1  26408  coeeulem  26418  coeidlem  26431  coeid3  26434  plyco  26435  dgrcolem2  26468  plycjlem  26470  plyrecj  26475  vieta1  26510  elqaalem3  26519  aareccl  26526  aalioulem1  26532  geolim3  26539  psergf  26612  dvradcnv  26621  psercn2  26623  pserdvlem2  26628  pserdv2  26630  abelthlem4  26634  abelthlem5  26635  abelthlem6  26636  abelthlem7  26638  abelthlem9  26640  advlogexp  26857  logtayllem  26861  logtayl  26862  logtaylsum  26863  logtayl2  26864  cxpeq  26959  dcubic1lem  27045  dcubic2  27046  dcubic1  27047  dcubic  27048  mcubic  27049  cubic2  27050  cubic  27051  binom4  27052  dquartlem2  27054  dquart  27055  quart1cl  27056  quart1lem  27057  quart1  27058  quartlem1  27059  quartlem2  27060  quart  27063  atantayl  27139  atantayl2  27140  atantayl3  27141  leibpi  27144  log2cnv  27146  log2tlbnd  27147  log2ublem3  27150  ftalem1  27274  ftalem4  27277  ftalem5  27278  basellem3  27284  musum  27392  1sgmprm  27400  perfect  27432  lgsquadlem1  27581  rplogsumlem2  27686  ostth2lem2  27835  numclwwlk3lem1  30770  ipval2  31096  dipcl  31101  dipcn  31109  cos9thpiminplylem5  34207  subfacval2  35700  lcmineqlem1  42837  lcmineqlem2  42838  lcmineqlem8  42844  lcmineqlem10  42846  jm2.23  43764  lhe4.4ex1a  45080  goldratmolem2  47664  perfectALTV  48529  altgsumbc  49173  altgsumbcALT  49174  nn0digval  49421  ackval42  49517