Theorem expcl 14051

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14056. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3972	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11159	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11133	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14044	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  ℕ₀cn0 12449  ↑cexp 14033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-seq 13974  df-exp 14034

This theorem is referenced by:  expeq0  14064  expnegz  14068  mulexp  14073  mulexpz  14074  expadd  14076  expaddzlem  14077  expaddz  14078  expmul  14079  expmulz  14080  expdiv  14085  expcld  14118  binom3  14196  digit2  14208  digit1  14209  faclbnd2  14263  faclbnd4lem4  14268  faclbnd6  14271  cjexp  15123  absexp  15277  ackbijnn  15801  binomlem  15802  binom1p  15804  binom1dif  15806  expcnv  15837  geolim  15843  geolim2  15844  geo2sum  15846  geomulcvg  15849  geoisum  15850  geoisumr  15851  geoisum1  15852  geoisum1c  15853  0.999...  15854  fallrisefac  15998  0risefac  16011  binomrisefac  16015  bpolysum  16026  bpolydiflem  16027  fsumkthpow  16029  bpoly3  16031  bpoly4  16032  fsumcube  16033  eftcl  16046  eftabs  16048  efcllem  16050  efcj  16065  efaddlem  16066  eflegeo  16096  efi4p  16112  prmreclem6  16899  karatsuba  17061  expmhm  21360  expcn  24770  mbfi1fseqlem6  25628  itg0  25688  itgz  25689  itgcl  25692  itgcnlem  25698  itgsplit  25744  dvexp  25864  dvexp3  25889  plyf  26110  ply1termlem  26115  plypow  26117  plyeq0lem  26122  plypf1  26124  plyaddlem1  26125  plymullem1  26126  coeeulem  26136  coeidlem  26149  coeid3  26152  plyco  26153  dgrcolem2  26187  plycjlem  26189  plyrecj  26194  vieta1  26227  elqaalem3  26236  aareccl  26241  aalioulem1  26247  geolim3  26254  psergf  26328  dvradcnv  26337  psercn2  26339  psercn2OLD  26340  pserdvlem2  26345  pserdv2  26347  abelthlem4  26351  abelthlem5  26352  abelthlem6  26353  abelthlem7  26355  abelthlem9  26357  advlogexp  26571  logtayllem  26575  logtayl  26576  logtaylsum  26577  logtayl2  26578  cxpeq  26674  dcubic1lem  26760  dcubic2  26761  dcubic1  26762  dcubic  26763  mcubic  26764  cubic2  26765  cubic  26766  binom4  26767  dquartlem2  26769  dquart  26770  quart1cl  26771  quart1lem  26772  quart1  26773  quartlem1  26774  quartlem2  26775  quart  26778  atantayl  26854  atantayl2  26855  atantayl3  26856  leibpi  26859  log2cnv  26861  log2tlbnd  26862  log2ublem3  26865  ftalem1  26990  ftalem4  26993  ftalem5  26994  basellem3  27000  musum  27108  1sgmprm  27117  perfect  27149  lgsquadlem1  27298  rplogsumlem2  27403  ostth2lem2  27552  numclwwlk3lem1  30318  ipval2  30643  dipcl  30648  dipcn  30656  cos9thpiminplylem5  33783  subfacval2  35181  lcmineqlem1  42024  lcmineqlem2  42025  lcmineqlem8  42031  lcmineqlem10  42033  jm2.23  42992  lhe4.4ex1a  44325  perfectALTV  47728  altgsumbc  48344  altgsumbcALT  48345  nn0digval  48593  ackval42  48689