Theorem expcl 14082

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14087. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4002	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11228	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11202	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14075	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7424  ℂcc 11142  ℕ₀cn0 12508  ↑cexp 14064

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859  df-seq 14005  df-exp 14065

This theorem is referenced by:  expeq0  14095  expnegz  14099  mulexp  14104  mulexpz  14105  expadd  14107  expaddzlem  14108  expaddz  14109  expmul  14110  expmulz  14111  expdiv  14116  expcld  14148  binom3  14224  digit2  14236  digit1  14237  faclbnd2  14288  faclbnd4lem4  14293  faclbnd6  14296  cjexp  15135  absexp  15289  ackbijnn  15812  binomlem  15813  binom1p  15815  binom1dif  15817  expcnv  15848  geolim  15854  geolim2  15855  geo2sum  15857  geomulcvg  15860  geoisum  15861  geoisumr  15862  geoisum1  15863  geoisum1c  15864  0.999...  15865  fallrisefac  16007  0risefac  16020  binomrisefac  16024  bpolysum  16035  bpolydiflem  16036  fsumkthpow  16038  bpoly3  16040  bpoly4  16041  fsumcube  16042  eftcl  16055  eftabs  16057  efcllem  16059  efcj  16074  efaddlem  16075  eflegeo  16103  efi4p  16119  prmreclem6  16895  karatsuba  17058  expmhm  21374  expcn  24808  mbfi1fseqlem6  25668  itg0  25727  itgz  25728  itgcl  25731  itgcnlem  25737  itgsplit  25783  dvexp  25903  dvexp3  25928  plyf  26150  ply1termlem  26155  plypow  26157  plyeq0lem  26162  plypf1  26164  plyaddlem1  26165  plymullem1  26166  coeeulem  26176  coeidlem  26189  coeid3  26192  plyco  26193  dgrcolem2  26227  plycjlem  26229  plyrecj  26232  vieta1  26265  elqaalem3  26274  aareccl  26279  aalioulem1  26285  geolim3  26292  psergf  26366  dvradcnv  26375  psercn2  26377  psercn2OLD  26378  pserdvlem2  26383  pserdv2  26385  abelthlem4  26389  abelthlem5  26390  abelthlem6  26391  abelthlem7  26393  abelthlem9  26395  advlogexp  26607  logtayllem  26611  logtayl  26612  logtaylsum  26613  logtayl2  26614  cxpeq  26710  dcubic1lem  26793  dcubic2  26794  dcubic1  26795  dcubic  26796  mcubic  26797  cubic2  26798  cubic  26799  binom4  26800  dquartlem2  26802  dquart  26803  quart1cl  26804  quart1lem  26805  quart1  26806  quartlem1  26807  quartlem2  26808  quart  26811  atantayl  26887  atantayl2  26888  atantayl3  26889  leibpi  26892  log2cnv  26894  log2tlbnd  26895  log2ublem3  26898  ftalem1  27023  ftalem4  27026  ftalem5  27027  basellem3  27033  musum  27141  1sgmprm  27150  perfect  27182  lgsquadlem1  27331  rplogsumlem2  27436  ostth2lem2  27585  numclwwlk3lem1  30210  ipval2  30535  dipcl  30540  dipcn  30548  subfacval2  34802  lcmineqlem1  41504  lcmineqlem2  41505  lcmineqlem8  41511  lcmineqlem10  41513  jm2.23  42420  lhe4.4ex1a  43769  perfectALTV  47065  altgsumbc  47467  altgsumbcALT  47468  nn0digval  47724  ackval42  47820