Theorem expcl 14147

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14152. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3956	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11212	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11186	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14140	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℕ₀cn0 12532  ↑cexp 14129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-seq 14070  df-exp 14130

This theorem is used by:  expeq0  14160  expnegz  14164  mulexp  14169  mulexpz  14170  expadd  14172  expaddzlem  14173  expaddz  14174  expmul  14175  expmulz  14176  expdiv  14181  expcld  14214  binom3  14292  digit2  14304  digit1  14305  faclbnd2  14359  faclbnd4lem4  14364  faclbnd6  14367  cjexp  15241  absexp  15395  ackbijnn  15921  binomlem  15922  binom1p  15924  binom1dif  15926  expcnv  15957  geolim  15963  geolim2  15964  geo2sum  15966  geomulcvg  15969  geoisum  15970  geoisumr  15971  geoisum1  15972  geoisum1c  15973  0.999...  15974  fallrisefac  16118  0risefac  16130  binomrisefac  16134  bpolysum  16145  bpolydiflem  16146  fsumkthpow  16148  bpoly3  16150  bpoly4  16151  fsumcube  16152  eftcl  16165  eftabs  16167  efcllem  16169  efcj  16184  efaddlem  16185  eflegeo  16215  efi4p  16231  prmreclem6  17019  karatsuba  17181  expmhm  21655  expcn  25106  mbfi1fseqlem6  25954  itg0  26014  itgz  26015  itgcl  26018  itgcnlem  26024  itgsplit  26070  dvexp  26187  dvexp3  26212  plyf  26430  ply1termlem  26435  plypow  26437  plyeq0lem  26443  plypf1  26445  plyaddlem1  26446  plymullem1  26447  coeeulem  26457  coeidlem  26470  coeid3  26473  plyco  26474  dgrcolem2  26507  plycjlem  26509  plyrecj  26514  vieta1  26551  elqaalem3  26560  aareccl  26569  aalioulem1  26575  geolim3  26582  psergf  26655  dvradcnv  26664  psercn2  26666  pserdvlem2  26671  pserdv2  26673  abelthlem4  26677  abelthlem5  26678  abelthlem6  26679  abelthlem7  26681  abelthlem9  26683  advlogexp  26900  logtayllem  26904  logtayl  26905  logtaylsum  26906  logtayl2  26907  cxpeq  27002  dcubic1lem  27088  dcubic2  27089  dcubic1  27090  dcubic  27091  mcubic  27092  cubic2  27093  cubic  27094  binom4  27095  dquartlem2  27097  dquart  27098  quart1cl  27099  quart1lem  27100  quart1  27101  quartlem1  27102  quartlem2  27103  quart  27106  atantayl  27182  atantayl2  27183  atantayl3  27184  leibpi  27187  log2cnv  27189  log2tlbnd  27190  log2ublem3  27193  ftalem1  27317  ftalem4  27320  ftalem5  27321  basellem3  27327  musum  27435  1sgmprm  27443  perfect  27475  lgsquadlem1  27624  rplogsumlem2  27729  ostth2lem2  27878  numclwwlk3lem1  30870  ipval2  31196  dipcl  31201  dipcn  31209  cos9thpiminplylem5  34304  subfacval2  35774  lcmineqlem1  42903  lcmineqlem2  42904  lcmineqlem8  42910  lcmineqlem10  42912  jm2.23  43845  lhe4.4ex1a  45161  goldpolyfactor  47753  goldratmolem2  47759  goldratmolem3  47760  perfectALTV  48647  altgsumbc  49290  altgsumbcALT  49291  nn0digval  49538  ackval42  49634