Theorem expcl 14202

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14207. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11265	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11239	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14195	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7412  ℂcc 11179  ℕ₀cn0 12587  ↑cexp 14184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-seq 14125  df-exp 14185

This theorem is used by:  expeq0  14215  expnegz  14219  mulexp  14224  mulexpz  14225  expadd  14227  expaddzlem  14228  expaddz  14229  expmul  14230  expmulz  14231  expdiv  14236  expcld  14269  binom3  14348  digit2  14360  digit1  14361  faclbnd2  14415  faclbnd4lem4  14420  faclbnd6  14423  cjexp  15297  absexp  15451  ackbijnn  15977  binomlem  15978  binom1p  15980  binom1dif  15982  expcnv  16013  geolim  16019  geolim2  16020  geo2sum  16022  geomulcvg  16025  geoisum  16026  geoisumr  16027  geoisum1  16028  geoisum1c  16029  0.999...  16030  fallrisefac  16172  0risefac  16184  binomrisefac  16188  bpolysum  16199  bpolydiflem  16200  fsumkthpow  16202  bpoly3  16204  bpoly4  16205  fsumcube  16206  eftcl  16219  eftabs  16221  efcllem  16223  efcj  16238  efaddlem  16239  eflegeo  16269  efi4p  16285  prmreclem6  17079  karatsuba  17241  expmhm  21722  expcn  25173  mbfi1fseqlem6  26021  itg0  26080  itgz  26081  itgcl  26084  itgcnlem  26090  itgsplit  26136  dvexp  26253  dvexp3  26278  plyf  26496  ply1termlem  26501  plypow  26503  plyeq0lem  26509  plypf1  26511  plyaddlem1  26512  plymullem1  26513  coeeulem  26523  coeidlem  26536  coeid3  26539  plyco  26540  dgrcolem2  26573  plycjlem  26575  plyrecj  26580  vieta1  26617  elqaalem3  26626  aareccl  26635  aalioulem1  26641  geolim3  26648  psergf  26721  dvradcnv  26730  psercn2  26732  pserdvlem2  26737  pserdv2  26739  abelthlem4  26743  abelthlem5  26744  abelthlem6  26745  abelthlem7  26747  abelthlem9  26749  advlogexp  26965  logtayllem  26969  logtayl  26970  logtaylsum  26971  logtayl2  26972  cxpeq  27067  dcubic1lem  27153  dcubic2  27154  dcubic1  27155  dcubic  27156  mcubic  27157  cubic2  27158  cubic  27159  binom4  27160  dquartlem2  27162  dquart  27163  quart1cl  27164  quart1lem  27165  quart1  27166  quartlem1  27167  quartlem2  27168  quart  27171  atantayl  27247  atantayl2  27248  atantayl3  27249  leibpi  27252  log2cnv  27254  log2tlbnd  27255  log2ublem3  27258  ftalem1  27382  ftalem4  27385  ftalem5  27386  basellem3  27392  musum  27500  1sgmprm  27508  perfect  27540  lgsquadlem1  27689  rplogsumlem2  27794  ostth2lem2  27943  numclwwlk3lem1  30965  ipval2  31291  dipcl  31296  dipcn  31304  cos9thpiminplylem5  34400  subfacval2  35921  lcmineqlem1  43047  lcmineqlem2  43048  lcmineqlem8  43054  lcmineqlem10  43056  jm2.23  43956  lhe4.4ex1a  45272  goldpolyfactor  47871  goldratmolem2  47877  goldratmolem3  47878  perfectALTV  48765  altgsumbc  49408  altgsumbcALT  49409  nn0digval  49656  ackval42  49752