MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl 13431
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3965 . 2 ℂ ⊆ ℂ
2 mulcl 10598 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10572 . 2 1 ∈ ℂ
41, 2, 3expcllem 13424 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2115  (class class class)co 7130  cc 10512  0cn0 11875  cexp 13413
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-2nd 7665  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-n0 11876  df-z 11960  df-uz 12222  df-seq 13353  df-exp 13414
This theorem is referenced by:  expeq0  13443  expnegz  13447  mulexp  13452  mulexpz  13453  expadd  13455  expaddzlem  13456  expaddz  13457  expmul  13458  expmulz  13459  expdiv  13464  expcld  13494  binom3  13569  digit2  13581  digit1  13582  faclbnd2  13635  faclbnd4lem4  13640  faclbnd6  13643  cjexp  14488  absexp  14643  ackbijnn  15162  binomlem  15163  binom1p  15165  binom1dif  15167  expcnv  15198  geolim  15205  geolim2  15206  geo2sum  15208  geomulcvg  15211  geoisum  15212  geoisumr  15213  geoisum1  15214  geoisum1c  15215  0.999...  15216  fallrisefac  15358  0risefac  15371  binomrisefac  15375  bpolysum  15386  bpolydiflem  15387  fsumkthpow  15389  bpoly3  15391  bpoly4  15392  fsumcube  15393  eftcl  15406  eftabs  15408  efcllem  15410  efcj  15424  efaddlem  15425  eflegeo  15453  efi4p  15469  prmreclem6  16234  karatsuba  16397  expmhm  20589  mbfi1fseqlem6  24302  itg0  24361  itgz  24362  itgcl  24365  itgcnlem  24371  itgsplit  24417  dvexp  24534  dvexp3  24559  plyf  24773  ply1termlem  24778  plypow  24780  plyeq0lem  24785  plypf1  24787  plyaddlem1  24788  plymullem1  24789  coeeulem  24799  coeidlem  24812  coeid3  24815  plyco  24816  dgrcolem2  24849  plycjlem  24851  plyrecj  24854  vieta1  24886  elqaalem3  24895  aareccl  24900  aalioulem1  24906  geolim3  24913  psergf  24985  dvradcnv  24994  psercn2  24996  pserdvlem2  25001  pserdv2  25003  abelthlem4  25007  abelthlem5  25008  abelthlem6  25009  abelthlem7  25011  abelthlem9  25013  advlogexp  25224  logtayllem  25228  logtayl  25229  logtaylsum  25230  logtayl2  25231  cxpeq  25324  dcubic1lem  25407  dcubic2  25408  dcubic1  25409  dcubic  25410  mcubic  25411  cubic2  25412  cubic  25413  binom4  25414  dquartlem2  25416  dquart  25417  quart1cl  25418  quart1lem  25419  quart1  25420  quartlem1  25421  quartlem2  25422  quart  25425  atantayl  25501  atantayl2  25502  atantayl3  25503  leibpi  25506  log2cnv  25508  log2tlbnd  25509  log2ublem3  25512  ftalem1  25636  ftalem4  25639  ftalem5  25640  basellem3  25646  musum  25754  1sgmprm  25761  perfect  25793  lgsquadlem1  25942  rplogsumlem2  26047  ostth2lem2  26196  numclwwlk3lem1  28145  ipval2  28468  dipcl  28473  dipcn  28481  subfacval2  32441  lcmineqlem1  39183  lcmineqlem2  39184  lcmineqlem8  39190  lcmineqlem10  39192  jm2.23  39732  lhe4.4ex1a  40816  perfectALTV  44033  altgsumbc  44545  altgsumbcALT  44546  nn0digval  44805  ackval42  44870
  Copyright terms: Public domain W3C validator