Theorem expcl 13196

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3842	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10356	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10330	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13189	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∈ wcel 2107  (class class class)co 6922  ℂcc 10270  ℕ₀cn0 11642  ↑cexp 13178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-seq 13120  df-exp 13179

This theorem is referenced by:  expeq0  13208  expnegz  13212  mulexp  13217  mulexpz  13218  expadd  13220  expaddzlem  13221  expaddz  13222  expmul  13223  expmulz  13224  expdiv  13229  binom3  13304  digit2  13316  digit1  13317  expcld  13327  faclbnd2  13396  faclbnd4lem4  13401  faclbnd6  13404  cjexp  14297  absexp  14451  ackbijnn  14964  binomlem  14965  binom1p  14967  binom1dif  14969  expcnv  15000  geolim  15005  geolim2  15006  geo2sum  15008  geomulcvg  15011  geoisum  15012  geoisumr  15013  geoisum1  15014  geoisum1c  15015  0.999...  15016  fallrisefac  15158  0risefac  15171  binomrisefac  15175  bpolysum  15186  bpolydiflem  15187  fsumkthpow  15189  bpoly3  15191  bpoly4  15192  fsumcube  15193  eftcl  15206  eftabs  15208  efcllem  15210  efcj  15224  efaddlem  15225  eflegeo  15253  efi4p  15269  prmreclem6  16029  karatsuba  16192  expmhm  20211  mbfi1fseqlem6  23924  itg0  23983  itgz  23984  itgcl  23987  itgcnlem  23993  itgsplit  24039  dvexp  24153  dvexp3  24178  plyf  24391  ply1termlem  24396  plypow  24398  plyeq0lem  24403  plypf1  24405  plyaddlem1  24406  plymullem1  24407  coeeulem  24417  coeidlem  24430  coeid3  24433  plyco  24434  dgrcolem2  24467  plycjlem  24469  plyrecj  24472  vieta1  24504  elqaalem3  24513  aareccl  24518  aalioulem1  24524  geolim3  24531  psergf  24603  dvradcnv  24612  psercn2  24614  pserdvlem2  24619  pserdv2  24621  abelthlem4  24625  abelthlem5  24626  abelthlem6  24627  abelthlem7  24629  abelthlem9  24631  advlogexp  24838  logtayllem  24842  logtayl  24843  logtaylsum  24844  logtayl2  24845  cxpeq  24938  dcubic1lem  25021  dcubic2  25022  dcubic1  25023  dcubic  25024  mcubic  25025  cubic2  25026  cubic  25027  binom4  25028  dquartlem2  25030  dquart  25031  quart1cl  25032  quart1lem  25033  quart1  25034  quartlem1  25035  quartlem2  25036  quart  25039  atantayl  25115  atantayl2  25116  atantayl3  25117  leibpi  25121  log2cnv  25123  log2tlbnd  25124  log2ublem3  25127  ftalem1  25251  ftalem4  25254  ftalem5  25255  basellem3  25261  musum  25369  1sgmprm  25376  perfect  25408  lgsquadlem1  25557  rplogsumlem2  25626  ostth2lem2  25775  numclwwlk3lem1  27814  ipval2  28134  dipcl  28139  dipcn  28147  subfacval2  31768  jm2.23  38526  lhe4.4ex1a  39488  perfectALTV  42661  altgsumbc  43149  altgsumbcALT  43150  nn0digval  43413