Theorem expcl 14225

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14230. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3930	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11287	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11261	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14218	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℕ₀cn0 12609  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  expeq0  14238  expnegz  14242  mulexp  14247  mulexpz  14248  expadd  14250  expaddzlem  14251  expaddz  14252  expmul  14253  expmulz  14254  expdiv  14259  expcld  14292  binom3  14371  digit2  14383  digit1  14384  faclbnd2  14438  faclbnd4lem4  14443  faclbnd6  14446  cjexp  15322  absexp  15476  ackbijnn  16002  binomlem  16003  binom1p  16005  binom1dif  16007  expcnv  16038  geolim  16044  geolim2  16045  geo2sum  16047  geomulcvg  16050  geoisum  16051  geoisumr  16052  geoisum1  16053  geoisum1c  16054  0.999...  16055  fallrisefac  16197  0risefac  16209  binomrisefac  16213  bpolysum  16224  bpolydiflem  16225  fsumkthpow  16227  bpoly3  16229  bpoly4  16230  fsumcube  16231  eftcl  16244  eftabs  16246  efcllem  16248  efcj  16263  efaddlem  16264  eflegeo  16294  efi4p  16310  prmreclem6  17104  karatsuba  17266  expmhm  21747  expcn  25198  mbfi1fseqlem6  26046  itg0  26105  itgz  26106  itgcl  26109  itgcnlem  26115  itgsplit  26161  dvexp  26278  dvexp3  26303  plyf  26521  ply1termlem  26526  plypow  26528  plyeq0lem  26534  plypf1  26536  plyaddlem1  26537  plymullem1  26538  coeeulem  26548  coeidlem  26561  coeid3  26564  plyco  26565  dgrcolem2  26598  plycjlem  26600  plyrecj  26603  vieta1  26640  elqaalem3  26649  aareccl  26658  aalioulem1  26664  geolim3  26671  psergf  26744  dvradcnv  26753  psercn2  26755  pserdvlem2  26760  pserdv2  26762  abelthlem4  26766  abelthlem5  26767  abelthlem6  26768  abelthlem7  26770  abelthlem9  26772  advlogexp  26988  logtayllem  26992  logtayl  26993  logtaylsum  26994  logtayl2  26995  cxpeq  27090  dcubic1lem  27176  dcubic2  27177  dcubic1  27178  dcubic  27179  mcubic  27180  cubic2  27181  cubic  27182  binom4  27183  dquartlem2  27185  dquart  27186  quart1cl  27187  quart1lem  27188  quart1  27189  quartlem1  27190  quartlem2  27191  quart  27194  atantayl  27270  atantayl2  27271  atantayl3  27272  leibpi  27275  log2cnv  27277  log2tlbnd  27278  log2ublem3  27281  ftalem1  27405  ftalem4  27408  ftalem5  27409  basellem3  27415  musum  27523  1sgmprm  27531  perfect  27563  lgsquadlem1  27712  rplogsumlem2  27817  ostth2lem2  27966  numclwwlk3lem1  30988  ipval2  31314  dipcl  31319  dipcn  31327  cos9thpiminplylem5  34464  subfacval2  36038  lcmineqlem1  43172  lcmineqlem2  43173  lcmineqlem8  43179  lcmineqlem10  43181  jm2.23  44096  lhe4.4ex1a  45406  goldpolyfactor  48020  goldratmolem2  48026  goldratmolem3  48027  perfectALTV  48914  altgsumbc  49557  altgsumbcALT  49558  nn0digval  49805  ackval42  49901