Theorem expcl 13798

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3948	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10956	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10930	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13791	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℕ₀cn0 12233  ↑cexp 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-exp 13781

This theorem is referenced by:  expeq0  13811  expnegz  13815  mulexp  13820  mulexpz  13821  expadd  13823  expaddzlem  13824  expaddz  13825  expmul  13826  expmulz  13827  expdiv  13832  expcld  13862  binom3  13937  digit2  13949  digit1  13950  faclbnd2  14003  faclbnd4lem4  14008  faclbnd6  14011  cjexp  14859  absexp  15014  ackbijnn  15538  binomlem  15539  binom1p  15541  binom1dif  15543  expcnv  15574  geolim  15580  geolim2  15581  geo2sum  15583  geomulcvg  15586  geoisum  15587  geoisumr  15588  geoisum1  15589  geoisum1c  15590  0.999...  15591  fallrisefac  15733  0risefac  15746  binomrisefac  15750  bpolysum  15761  bpolydiflem  15762  fsumkthpow  15764  bpoly3  15766  bpoly4  15767  fsumcube  15768  eftcl  15781  eftabs  15783  efcllem  15785  efcj  15799  efaddlem  15800  eflegeo  15828  efi4p  15844  prmreclem6  16620  karatsuba  16783  expmhm  20665  mbfi1fseqlem6  24883  itg0  24942  itgz  24943  itgcl  24946  itgcnlem  24952  itgsplit  24998  dvexp  25115  dvexp3  25140  plyf  25357  ply1termlem  25362  plypow  25364  plyeq0lem  25369  plypf1  25371  plyaddlem1  25372  plymullem1  25373  coeeulem  25383  coeidlem  25396  coeid3  25399  plyco  25400  dgrcolem2  25433  plycjlem  25435  plyrecj  25438  vieta1  25470  elqaalem3  25479  aareccl  25484  aalioulem1  25490  geolim3  25497  psergf  25569  dvradcnv  25578  psercn2  25580  pserdvlem2  25585  pserdv2  25587  abelthlem4  25591  abelthlem5  25592  abelthlem6  25593  abelthlem7  25595  abelthlem9  25597  advlogexp  25808  logtayllem  25812  logtayl  25813  logtaylsum  25814  logtayl2  25815  cxpeq  25908  dcubic1lem  25991  dcubic2  25992  dcubic1  25993  dcubic  25994  mcubic  25995  cubic2  25996  cubic  25997  binom4  25998  dquartlem2  26000  dquart  26001  quart1cl  26002  quart1lem  26003  quart1  26004  quartlem1  26005  quartlem2  26006  quart  26009  atantayl  26085  atantayl2  26086  atantayl3  26087  leibpi  26090  log2cnv  26092  log2tlbnd  26093  log2ublem3  26096  ftalem1  26220  ftalem4  26223  ftalem5  26224  basellem3  26230  musum  26338  1sgmprm  26345  perfect  26377  lgsquadlem1  26526  rplogsumlem2  26631  ostth2lem2  26780  numclwwlk3lem1  28742  ipval2  29065  dipcl  29070  dipcn  29078  subfacval2  33145  lcmineqlem1  40034  lcmineqlem2  40035  lcmineqlem8  40041  lcmineqlem10  40043  jm2.23  40815  lhe4.4ex1a  41917  perfectALTV  45144  altgsumbc  45657  altgsumbcALT  45658  nn0digval  45915  ackval42  46011