Theorem expcl 13728

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3939	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10886	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10860	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13721	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  ℕ₀cn0 12163  ↑cexp 13710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  expeq0  13741  expnegz  13745  mulexp  13750  mulexpz  13751  expadd  13753  expaddzlem  13754  expaddz  13755  expmul  13756  expmulz  13757  expdiv  13762  expcld  13792  binom3  13867  digit2  13879  digit1  13880  faclbnd2  13933  faclbnd4lem4  13938  faclbnd6  13941  cjexp  14789  absexp  14944  ackbijnn  15468  binomlem  15469  binom1p  15471  binom1dif  15473  expcnv  15504  geolim  15510  geolim2  15511  geo2sum  15513  geomulcvg  15516  geoisum  15517  geoisumr  15518  geoisum1  15519  geoisum1c  15520  0.999...  15521  fallrisefac  15663  0risefac  15676  binomrisefac  15680  bpolysum  15691  bpolydiflem  15692  fsumkthpow  15694  bpoly3  15696  bpoly4  15697  fsumcube  15698  eftcl  15711  eftabs  15713  efcllem  15715  efcj  15729  efaddlem  15730  eflegeo  15758  efi4p  15774  prmreclem6  16550  karatsuba  16713  expmhm  20579  mbfi1fseqlem6  24790  itg0  24849  itgz  24850  itgcl  24853  itgcnlem  24859  itgsplit  24905  dvexp  25022  dvexp3  25047  plyf  25264  ply1termlem  25269  plypow  25271  plyeq0lem  25276  plypf1  25278  plyaddlem1  25279  plymullem1  25280  coeeulem  25290  coeidlem  25303  coeid3  25306  plyco  25307  dgrcolem2  25340  plycjlem  25342  plyrecj  25345  vieta1  25377  elqaalem3  25386  aareccl  25391  aalioulem1  25397  geolim3  25404  psergf  25476  dvradcnv  25485  psercn2  25487  pserdvlem2  25492  pserdv2  25494  abelthlem4  25498  abelthlem5  25499  abelthlem6  25500  abelthlem7  25502  abelthlem9  25504  advlogexp  25715  logtayllem  25719  logtayl  25720  logtaylsum  25721  logtayl2  25722  cxpeq  25815  dcubic1lem  25898  dcubic2  25899  dcubic1  25900  dcubic  25901  mcubic  25902  cubic2  25903  cubic  25904  binom4  25905  dquartlem2  25907  dquart  25908  quart1cl  25909  quart1lem  25910  quart1  25911  quartlem1  25912  quartlem2  25913  quart  25916  atantayl  25992  atantayl2  25993  atantayl3  25994  leibpi  25997  log2cnv  25999  log2tlbnd  26000  log2ublem3  26003  ftalem1  26127  ftalem4  26130  ftalem5  26131  basellem3  26137  musum  26245  1sgmprm  26252  perfect  26284  lgsquadlem1  26433  rplogsumlem2  26538  ostth2lem2  26687  numclwwlk3lem1  28647  ipval2  28970  dipcl  28975  dipcn  28983  subfacval2  33049  lcmineqlem1  39965  lcmineqlem2  39966  lcmineqlem8  39972  lcmineqlem10  39974  jm2.23  40734  lhe4.4ex1a  41836  perfectALTV  45063  altgsumbc  45576  altgsumbcALT  45577  nn0digval  45834  ackval42  45930