Theorem expcl 13988

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 13993. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3953	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11097	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11071	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13981	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352  ℂcc 11011  ℕ₀cn0 12388  ↑cexp 13970

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-seq 13911  df-exp 13971

This theorem is referenced by:  expeq0  14001  expnegz  14005  mulexp  14010  mulexpz  14011  expadd  14013  expaddzlem  14014  expaddz  14015  expmul  14016  expmulz  14017  expdiv  14022  expcld  14055  binom3  14133  digit2  14145  digit1  14146  faclbnd2  14200  faclbnd4lem4  14205  faclbnd6  14208  cjexp  15059  absexp  15213  ackbijnn  15737  binomlem  15738  binom1p  15740  binom1dif  15742  expcnv  15773  geolim  15779  geolim2  15780  geo2sum  15782  geomulcvg  15785  geoisum  15786  geoisumr  15787  geoisum1  15788  geoisum1c  15789  0.999...  15790  fallrisefac  15934  0risefac  15947  binomrisefac  15951  bpolysum  15962  bpolydiflem  15963  fsumkthpow  15965  bpoly3  15967  bpoly4  15968  fsumcube  15969  eftcl  15982  eftabs  15984  efcllem  15986  efcj  16001  efaddlem  16002  eflegeo  16032  efi4p  16048  prmreclem6  16835  karatsuba  16997  expmhm  21375  expcn  24791  mbfi1fseqlem6  25649  itg0  25709  itgz  25710  itgcl  25713  itgcnlem  25719  itgsplit  25765  dvexp  25885  dvexp3  25910  plyf  26131  ply1termlem  26136  plypow  26138  plyeq0lem  26143  plypf1  26145  plyaddlem1  26146  plymullem1  26147  coeeulem  26157  coeidlem  26170  coeid3  26173  plyco  26174  dgrcolem2  26208  plycjlem  26210  plyrecj  26215  vieta1  26248  elqaalem3  26257  aareccl  26262  aalioulem1  26268  geolim3  26275  psergf  26349  dvradcnv  26358  psercn2  26360  psercn2OLD  26361  pserdvlem2  26366  pserdv2  26368  abelthlem4  26372  abelthlem5  26373  abelthlem6  26374  abelthlem7  26376  abelthlem9  26378  advlogexp  26592  logtayllem  26596  logtayl  26597  logtaylsum  26598  logtayl2  26599  cxpeq  26695  dcubic1lem  26781  dcubic2  26782  dcubic1  26783  dcubic  26784  mcubic  26785  cubic2  26786  cubic  26787  binom4  26788  dquartlem2  26790  dquart  26791  quart1cl  26792  quart1lem  26793  quart1  26794  quartlem1  26795  quartlem2  26796  quart  26799  atantayl  26875  atantayl2  26876  atantayl3  26877  leibpi  26880  log2cnv  26882  log2tlbnd  26883  log2ublem3  26886  ftalem1  27011  ftalem4  27014  ftalem5  27015  basellem3  27021  musum  27129  1sgmprm  27138  perfect  27170  lgsquadlem1  27319  rplogsumlem2  27424  ostth2lem2  27573  numclwwlk3lem1  30364  ipval2  30689  dipcl  30694  dipcn  30702  cos9thpiminplylem5  33820  subfacval2  35252  lcmineqlem1  42142  lcmineqlem2  42143  lcmineqlem8  42149  lcmineqlem10  42151  jm2.23  43113  lhe4.4ex1a  44446  perfectALTV  47847  altgsumbc  48476  altgsumbcALT  48477  nn0digval  48725  ackval42  48821