Theorem expcl 13983

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 13988. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3957	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11087	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11061	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13976	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11001  ℕ₀cn0 12378  ↑cexp 13965

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-n0 12379  df-z 12466  df-uz 12730  df-seq 13906  df-exp 13966

This theorem is referenced by:  expeq0  13996  expnegz  14000  mulexp  14005  mulexpz  14006  expadd  14008  expaddzlem  14009  expaddz  14010  expmul  14011  expmulz  14012  expdiv  14017  expcld  14050  binom3  14128  digit2  14140  digit1  14141  faclbnd2  14195  faclbnd4lem4  14200  faclbnd6  14203  cjexp  15054  absexp  15208  ackbijnn  15732  binomlem  15733  binom1p  15735  binom1dif  15737  expcnv  15768  geolim  15774  geolim2  15775  geo2sum  15777  geomulcvg  15780  geoisum  15781  geoisumr  15782  geoisum1  15783  geoisum1c  15784  0.999...  15785  fallrisefac  15929  0risefac  15942  binomrisefac  15946  bpolysum  15957  bpolydiflem  15958  fsumkthpow  15960  bpoly3  15962  bpoly4  15963  fsumcube  15964  eftcl  15977  eftabs  15979  efcllem  15981  efcj  15996  efaddlem  15997  eflegeo  16027  efi4p  16043  prmreclem6  16830  karatsuba  16992  expmhm  21371  expcn  24788  mbfi1fseqlem6  25646  itg0  25706  itgz  25707  itgcl  25710  itgcnlem  25716  itgsplit  25762  dvexp  25882  dvexp3  25907  plyf  26128  ply1termlem  26133  plypow  26135  plyeq0lem  26140  plypf1  26142  plyaddlem1  26143  plymullem1  26144  coeeulem  26154  coeidlem  26167  coeid3  26170  plyco  26171  dgrcolem2  26205  plycjlem  26207  plyrecj  26212  vieta1  26245  elqaalem3  26254  aareccl  26259  aalioulem1  26265  geolim3  26272  psergf  26346  dvradcnv  26355  psercn2  26357  psercn2OLD  26358  pserdvlem2  26363  pserdv2  26365  abelthlem4  26369  abelthlem5  26370  abelthlem6  26371  abelthlem7  26373  abelthlem9  26375  advlogexp  26589  logtayllem  26593  logtayl  26594  logtaylsum  26595  logtayl2  26596  cxpeq  26692  dcubic1lem  26778  dcubic2  26779  dcubic1  26780  dcubic  26781  mcubic  26782  cubic2  26783  cubic  26784  binom4  26785  dquartlem2  26787  dquart  26788  quart1cl  26789  quart1lem  26790  quart1  26791  quartlem1  26792  quartlem2  26793  quart  26796  atantayl  26872  atantayl2  26873  atantayl3  26874  leibpi  26877  log2cnv  26879  log2tlbnd  26880  log2ublem3  26883  ftalem1  27008  ftalem4  27011  ftalem5  27012  basellem3  27018  musum  27126  1sgmprm  27135  perfect  27167  lgsquadlem1  27316  rplogsumlem2  27421  ostth2lem2  27570  numclwwlk3lem1  30357  ipval2  30682  dipcl  30687  dipcn  30695  cos9thpiminplylem5  33794  subfacval2  35219  lcmineqlem1  42061  lcmineqlem2  42062  lcmineqlem8  42068  lcmineqlem10  42070  jm2.23  43028  lhe4.4ex1a  44361  perfectALTV  47753  altgsumbc  48382  altgsumbcALT  48383  nn0digval  48631  ackval42  48727