Theorem expcl 14041

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14046. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3944	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11122	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11096	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14034	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7367  ℂcc 11036  ℕ₀cn0 12437  ↑cexp 14023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-uz 12789  df-seq 13964  df-exp 14024

This theorem is referenced by:  expeq0  14054  expnegz  14058  mulexp  14063  mulexpz  14064  expadd  14066  expaddzlem  14067  expaddz  14068  expmul  14069  expmulz  14070  expdiv  14075  expcld  14108  binom3  14186  digit2  14198  digit1  14199  faclbnd2  14253  faclbnd4lem4  14258  faclbnd6  14261  cjexp  15112  absexp  15266  ackbijnn  15793  binomlem  15794  binom1p  15796  binom1dif  15798  expcnv  15829  geolim  15835  geolim2  15836  geo2sum  15838  geomulcvg  15841  geoisum  15842  geoisumr  15843  geoisum1  15844  geoisum1c  15845  0.999...  15846  fallrisefac  15990  0risefac  16003  binomrisefac  16007  bpolysum  16018  bpolydiflem  16019  fsumkthpow  16021  bpoly3  16023  bpoly4  16024  fsumcube  16025  eftcl  16038  eftabs  16040  efcllem  16042  efcj  16057  efaddlem  16058  eflegeo  16088  efi4p  16104  prmreclem6  16892  karatsuba  17054  expmhm  21416  expcn  24839  mbfi1fseqlem6  25687  itg0  25747  itgz  25748  itgcl  25751  itgcnlem  25757  itgsplit  25803  dvexp  25920  dvexp3  25945  plyf  26163  ply1termlem  26168  plypow  26170  plyeq0lem  26175  plypf1  26177  plyaddlem1  26178  plymullem1  26179  coeeulem  26189  coeidlem  26202  coeid3  26205  plyco  26206  dgrcolem2  26239  plycjlem  26241  plyrecj  26246  vieta1  26278  elqaalem3  26287  aareccl  26292  aalioulem1  26298  geolim3  26305  psergf  26377  dvradcnv  26386  psercn2  26388  pserdvlem2  26393  pserdv2  26395  abelthlem4  26399  abelthlem5  26400  abelthlem6  26401  abelthlem7  26403  abelthlem9  26405  advlogexp  26619  logtayllem  26623  logtayl  26624  logtaylsum  26625  logtayl2  26626  cxpeq  26721  dcubic1lem  26807  dcubic2  26808  dcubic1  26809  dcubic  26810  mcubic  26811  cubic2  26812  cubic  26813  binom4  26814  dquartlem2  26816  dquart  26817  quart1cl  26818  quart1lem  26819  quart1  26820  quartlem1  26821  quartlem2  26822  quart  26825  atantayl  26901  atantayl2  26902  atantayl3  26903  leibpi  26906  log2cnv  26908  log2tlbnd  26909  log2ublem3  26912  ftalem1  27036  ftalem4  27039  ftalem5  27040  basellem3  27046  musum  27154  1sgmprm  27162  perfect  27194  lgsquadlem1  27343  rplogsumlem2  27448  ostth2lem2  27597  numclwwlk3lem1  30452  ipval2  30778  dipcl  30783  dipcn  30791  cos9thpiminplylem5  33930  subfacval2  35369  lcmineqlem1  42468  lcmineqlem2  42469  lcmineqlem8  42475  lcmineqlem10  42477  jm2.23  43424  lhe4.4ex1a  44756  goldratmolem2  47334  perfectALTV  48199  altgsumbc  48828  altgsumbcALT  48829  nn0digval  49076  ackval42  49172