Theorem expcl 14117

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14122. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3960	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11185	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11159	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7412  ℂcc 11099  ℕ₀cn0 12505  ↑cexp 14099

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-seq 14040  df-exp 14100

This theorem is referenced by:  expeq0  14130  expnegz  14134  mulexp  14139  mulexpz  14140  expadd  14142  expaddzlem  14143  expaddz  14144  expmul  14145  expmulz  14146  expdiv  14151  expcld  14184  binom3  14262  digit2  14274  digit1  14275  faclbnd2  14329  faclbnd4lem4  14334  faclbnd6  14337  cjexp  15203  absexp  15357  ackbijnn  15884  binomlem  15885  binom1p  15887  binom1dif  15889  expcnv  15920  geolim  15926  geolim2  15927  geo2sum  15929  geomulcvg  15932  geoisum  15933  geoisumr  15934  geoisum1  15935  geoisum1c  15936  0.999...  15937  fallrisefac  16081  0risefac  16093  binomrisefac  16097  bpolysum  16108  bpolydiflem  16109  fsumkthpow  16111  bpoly3  16113  bpoly4  16114  fsumcube  16115  eftcl  16128  eftabs  16130  efcllem  16132  efcj  16147  efaddlem  16148  eflegeo  16178  efi4p  16194  prmreclem6  16982  karatsuba  17144  expmhm  21567  expcn  25012  mbfi1fseqlem6  25860  itg0  25920  itgz  25921  itgcl  25924  itgcnlem  25930  itgsplit  25976  dvexp  26093  dvexp3  26118  plyf  26336  ply1termlem  26341  plypow  26343  plyeq0lem  26348  plypf1  26350  plyaddlem1  26351  plymullem1  26352  coeeulem  26362  coeidlem  26375  coeid3  26378  plyco  26379  dgrcolem2  26412  plycjlem  26414  plyrecj  26419  vieta1  26454  elqaalem3  26463  aareccl  26470  aalioulem1  26476  geolim3  26483  psergf  26556  dvradcnv  26565  psercn2  26567  pserdvlem2  26572  pserdv2  26574  abelthlem4  26578  abelthlem5  26579  abelthlem6  26580  abelthlem7  26582  abelthlem9  26584  advlogexp  26801  logtayllem  26805  logtayl  26806  logtaylsum  26807  logtayl2  26808  cxpeq  26903  dcubic1lem  26989  dcubic2  26990  dcubic1  26991  dcubic  26992  mcubic  26993  cubic2  26994  cubic  26995  binom4  26996  dquartlem2  26998  dquart  26999  quart1cl  27000  quart1lem  27001  quart1  27002  quartlem1  27003  quartlem2  27004  quart  27007  atantayl  27083  atantayl2  27084  atantayl3  27085  leibpi  27088  log2cnv  27090  log2tlbnd  27091  log2ublem3  27094  ftalem1  27218  ftalem4  27221  ftalem5  27222  basellem3  27228  musum  27336  1sgmprm  27344  perfect  27376  lgsquadlem1  27525  rplogsumlem2  27630  ostth2lem2  27779  numclwwlk3lem1  30714  ipval2  31040  dipcl  31045  dipcn  31053  cos9thpiminplylem5  34157  subfacval2  35660  lcmineqlem1  42777  lcmineqlem2  42778  lcmineqlem8  42784  lcmineqlem10  42786  jm2.23  43706  lhe4.4ex1a  45022  goldratmolem2  47606  perfectALTV  48471  altgsumbc  49115  altgsumbcALT  49116  nn0digval  49363  ackval42  49459