Theorem expcl 13443

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3937	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 10610	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 10584	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 13436	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℕ₀cn0 11885  ↑cexp 13425

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426

This theorem is referenced by:  expeq0  13455  expnegz  13459  mulexp  13464  mulexpz  13465  expadd  13467  expaddzlem  13468  expaddz  13469  expmul  13470  expmulz  13471  expdiv  13476  expcld  13506  binom3  13581  digit2  13593  digit1  13594  faclbnd2  13647  faclbnd4lem4  13652  faclbnd6  13655  cjexp  14501  absexp  14656  ackbijnn  15175  binomlem  15176  binom1p  15178  binom1dif  15180  expcnv  15211  geolim  15218  geolim2  15219  geo2sum  15221  geomulcvg  15224  geoisum  15225  geoisumr  15226  geoisum1  15227  geoisum1c  15228  0.999...  15229  fallrisefac  15371  0risefac  15384  binomrisefac  15388  bpolysum  15399  bpolydiflem  15400  fsumkthpow  15402  bpoly3  15404  bpoly4  15405  fsumcube  15406  eftcl  15419  eftabs  15421  efcllem  15423  efcj  15437  efaddlem  15438  eflegeo  15466  efi4p  15482  prmreclem6  16247  karatsuba  16410  expmhm  20160  mbfi1fseqlem6  24324  itg0  24383  itgz  24384  itgcl  24387  itgcnlem  24393  itgsplit  24439  dvexp  24556  dvexp3  24581  plyf  24795  ply1termlem  24800  plypow  24802  plyeq0lem  24807  plypf1  24809  plyaddlem1  24810  plymullem1  24811  coeeulem  24821  coeidlem  24834  coeid3  24837  plyco  24838  dgrcolem2  24871  plycjlem  24873  plyrecj  24876  vieta1  24908  elqaalem3  24917  aareccl  24922  aalioulem1  24928  geolim3  24935  psergf  25007  dvradcnv  25016  psercn2  25018  pserdvlem2  25023  pserdv2  25025  abelthlem4  25029  abelthlem5  25030  abelthlem6  25031  abelthlem7  25033  abelthlem9  25035  advlogexp  25246  logtayllem  25250  logtayl  25251  logtaylsum  25252  logtayl2  25253  cxpeq  25346  dcubic1lem  25429  dcubic2  25430  dcubic1  25431  dcubic  25432  mcubic  25433  cubic2  25434  cubic  25435  binom4  25436  dquartlem2  25438  dquart  25439  quart1cl  25440  quart1lem  25441  quart1  25442  quartlem1  25443  quartlem2  25444  quart  25447  atantayl  25523  atantayl2  25524  atantayl3  25525  leibpi  25528  log2cnv  25530  log2tlbnd  25531  log2ublem3  25534  ftalem1  25658  ftalem4  25661  ftalem5  25662  basellem3  25668  musum  25776  1sgmprm  25783  perfect  25815  lgsquadlem1  25964  rplogsumlem2  26069  ostth2lem2  26218  numclwwlk3lem1  28167  ipval2  28490  dipcl  28495  dipcn  28503  subfacval2  32547  lcmineqlem1  39317  lcmineqlem2  39318  lcmineqlem8  39324  lcmineqlem10  39326  jm2.23  39937  lhe4.4ex1a  41033  perfectALTV  44241  altgsumbc  44754  altgsumbcALT  44755  nn0digval  45014  ackval42  45110