Theorem expcl 14078

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14083. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3949	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11143	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11117	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14071	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2132  (class class class)co 7381  ℂcc 11057  ℕ₀cn0 12467  ↑cexp 14060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-n0 12468  df-z 12555  df-uz 12826  df-seq 14001  df-exp 14061

This theorem is referenced by:  expeq0  14091  expnegz  14095  mulexp  14100  mulexpz  14101  expadd  14103  expaddzlem  14104  expaddz  14105  expmul  14106  expmulz  14107  expdiv  14112  expcld  14145  binom3  14223  digit2  14235  digit1  14236  faclbnd2  14290  faclbnd4lem4  14295  faclbnd6  14298  cjexp  15149  absexp  15303  ackbijnn  15830  binomlem  15831  binom1p  15833  binom1dif  15835  expcnv  15866  geolim  15872  geolim2  15873  geo2sum  15875  geomulcvg  15878  geoisum  15879  geoisumr  15880  geoisum1  15881  geoisum1c  15882  0.999...  15883  fallrisefac  16027  0risefac  16040  binomrisefac  16044  bpolysum  16055  bpolydiflem  16056  fsumkthpow  16058  bpoly3  16060  bpoly4  16061  fsumcube  16062  eftcl  16075  eftabs  16077  efcllem  16079  efcj  16094  efaddlem  16095  eflegeo  16125  efi4p  16141  prmreclem6  16929  karatsuba  17091  expmhm  21457  expcn  24903  mbfi1fseqlem6  25751  itg0  25811  itgz  25812  itgcl  25815  itgcnlem  25821  itgsplit  25867  dvexp  25984  dvexp3  26009  plyf  26227  ply1termlem  26232  plypow  26234  plyeq0lem  26239  plypf1  26241  plyaddlem1  26242  plymullem1  26243  coeeulem  26253  coeidlem  26266  coeid3  26269  plyco  26270  dgrcolem2  26303  plycjlem  26305  plyrecj  26310  vieta1  26342  elqaalem3  26351  aareccl  26356  aalioulem1  26362  geolim3  26369  psergf  26441  dvradcnv  26450  psercn2  26452  pserdvlem2  26457  pserdv2  26459  abelthlem4  26463  abelthlem5  26464  abelthlem6  26465  abelthlem7  26467  abelthlem9  26469  advlogexp  26686  logtayllem  26690  logtayl  26691  logtaylsum  26692  logtayl2  26693  cxpeq  26788  dcubic1lem  26874  dcubic2  26875  dcubic1  26876  dcubic  26877  mcubic  26878  cubic2  26879  cubic  26880  binom4  26881  dquartlem2  26883  dquart  26884  quart1cl  26885  quart1lem  26886  quart1  26887  quartlem1  26888  quartlem2  26889  quart  26892  atantayl  26968  atantayl2  26969  atantayl3  26970  leibpi  26973  log2cnv  26975  log2tlbnd  26976  log2ublem3  26979  ftalem1  27103  ftalem4  27106  ftalem5  27107  basellem3  27113  musum  27221  1sgmprm  27229  perfect  27261  lgsquadlem1  27410  rplogsumlem2  27515  ostth2lem2  27664  numclwwlk3lem1  30519  ipval2  30845  dipcl  30850  dipcn  30858  cos9thpiminplylem5  34027  subfacval2  35475  lcmineqlem1  42584  lcmineqlem2  42585  lcmineqlem8  42591  lcmineqlem10  42593  jm2.23  43511  lhe4.4ex1a  44843  goldratmolem2  47418  perfectALTV  48283  altgsumbc  48912  altgsumbcALT  48913  nn0digval  49160  ackval42  49256