MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expcl 13435
Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. (Contributed by NM, 26-May-2005.)
Assertion
Ref Expression
expcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssid 3986 . 2 ℂ ⊆ ℂ
2 mulcl 10609 . 2 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3 ax-1cn 10583 . 2 1 ∈ ℂ
41, 2, 3expcllem 13428 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑁) ∈ ℂ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2105  (class class class)co 7145  cc 10523  0cn0 11885  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  expeq0  13447  expnegz  13451  mulexp  13456  mulexpz  13457  expadd  13459  expaddzlem  13460  expaddz  13461  expmul  13462  expmulz  13463  expdiv  13468  expcld  13498  binom3  13573  digit2  13585  digit1  13586  faclbnd2  13639  faclbnd4lem4  13644  faclbnd6  13647  cjexp  14497  absexp  14652  ackbijnn  15171  binomlem  15172  binom1p  15174  binom1dif  15176  expcnv  15207  geolim  15214  geolim2  15215  geo2sum  15217  geomulcvg  15220  geoisum  15221  geoisumr  15222  geoisum1  15223  geoisum1c  15224  0.999...  15225  fallrisefac  15367  0risefac  15380  binomrisefac  15384  bpolysum  15395  bpolydiflem  15396  fsumkthpow  15398  bpoly3  15400  bpoly4  15401  fsumcube  15402  eftcl  15415  eftabs  15417  efcllem  15419  efcj  15433  efaddlem  15434  eflegeo  15462  efi4p  15478  prmreclem6  16245  karatsuba  16408  expmhm  20542  mbfi1fseqlem6  24248  itg0  24307  itgz  24308  itgcl  24311  itgcnlem  24317  itgsplit  24363  dvexp  24477  dvexp3  24502  plyf  24715  ply1termlem  24720  plypow  24722  plyeq0lem  24727  plypf1  24729  plyaddlem1  24730  plymullem1  24731  coeeulem  24741  coeidlem  24754  coeid3  24757  plyco  24758  dgrcolem2  24791  plycjlem  24793  plyrecj  24796  vieta1  24828  elqaalem3  24837  aareccl  24842  aalioulem1  24848  geolim3  24855  psergf  24927  dvradcnv  24936  psercn2  24938  pserdvlem2  24943  pserdv2  24945  abelthlem4  24949  abelthlem5  24950  abelthlem6  24951  abelthlem7  24953  abelthlem9  24955  advlogexp  25165  logtayllem  25169  logtayl  25170  logtaylsum  25171  logtayl2  25172  cxpeq  25265  dcubic1lem  25348  dcubic2  25349  dcubic1  25350  dcubic  25351  mcubic  25352  cubic2  25353  cubic  25354  binom4  25355  dquartlem2  25357  dquart  25358  quart1cl  25359  quart1lem  25360  quart1  25361  quartlem1  25362  quartlem2  25363  quart  25366  atantayl  25442  atantayl2  25443  atantayl3  25444  leibpi  25447  log2cnv  25449  log2tlbnd  25450  log2ublem3  25453  ftalem1  25577  ftalem4  25580  ftalem5  25581  basellem3  25587  musum  25695  1sgmprm  25702  perfect  25734  lgsquadlem1  25883  rplogsumlem2  25988  ostth2lem2  26137  numclwwlk3lem1  28088  ipval2  28411  dipcl  28416  dipcn  28424  subfacval2  32331  jm2.23  39471  lhe4.4ex1a  40538  perfectALTV  43765  altgsumbc  44328  altgsumbcALT  44329  nn0digval  44588
  Copyright terms: Public domain W3C validator