Theorem expcl 14106

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14111. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 3961	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11172	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11146	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14099	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℕ₀cn0 12495  ↑cexp 14088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-n0 12496  df-z 12583  df-uz 12854  df-seq 14029  df-exp 14089

This theorem is referenced by:  expeq0  14119  expnegz  14123  mulexp  14128  mulexpz  14129  expadd  14131  expaddzlem  14132  expaddz  14133  expmul  14134  expmulz  14135  expdiv  14140  expcld  14173  binom3  14251  digit2  14263  digit1  14264  faclbnd2  14318  faclbnd4lem4  14323  faclbnd6  14326  cjexp  15191  absexp  15345  ackbijnn  15872  binomlem  15873  binom1p  15875  binom1dif  15877  expcnv  15908  geolim  15914  geolim2  15915  geo2sum  15917  geomulcvg  15920  geoisum  15921  geoisumr  15922  geoisum1  15923  geoisum1c  15924  0.999...  15925  fallrisefac  16069  0risefac  16082  binomrisefac  16086  bpolysum  16097  bpolydiflem  16098  fsumkthpow  16100  bpoly3  16102  bpoly4  16103  fsumcube  16104  eftcl  16117  eftabs  16119  efcllem  16121  efcj  16136  efaddlem  16137  eflegeo  16167  efi4p  16183  prmreclem6  16971  karatsuba  17133  expmhm  21546  expcn  24992  mbfi1fseqlem6  25840  itg0  25900  itgz  25901  itgcl  25904  itgcnlem  25910  itgsplit  25956  dvexp  26073  dvexp3  26098  plyf  26316  ply1termlem  26321  plypow  26323  plyeq0lem  26328  plypf1  26330  plyaddlem1  26331  plymullem1  26332  coeeulem  26342  coeidlem  26355  coeid3  26358  plyco  26359  dgrcolem2  26392  plycjlem  26394  plyrecj  26399  vieta1  26434  elqaalem3  26443  aareccl  26448  aalioulem1  26454  geolim3  26461  psergf  26533  dvradcnv  26542  psercn2  26544  pserdvlem2  26549  pserdv2  26551  abelthlem4  26555  abelthlem5  26556  abelthlem6  26557  abelthlem7  26559  abelthlem9  26561  advlogexp  26778  logtayllem  26782  logtayl  26783  logtaylsum  26784  logtayl2  26785  cxpeq  26880  dcubic1lem  26966  dcubic2  26967  dcubic1  26968  dcubic  26969  mcubic  26970  cubic2  26971  cubic  26972  binom4  26973  dquartlem2  26975  dquart  26976  quart1cl  26977  quart1lem  26978  quart1  26979  quartlem1  26980  quartlem2  26981  quart  26984  atantayl  27060  atantayl2  27061  atantayl3  27062  leibpi  27065  log2cnv  27067  log2tlbnd  27068  log2ublem3  27071  ftalem1  27195  ftalem4  27198  ftalem5  27199  basellem3  27205  musum  27313  1sgmprm  27321  perfect  27353  lgsquadlem1  27502  rplogsumlem2  27607  ostth2lem2  27756  numclwwlk3lem1  30642  ipval2  30968  dipcl  30973  dipcn  30981  cos9thpiminplylem5  34093  subfacval2  35550  lcmineqlem1  42658  lcmineqlem2  42659  lcmineqlem8  42665  lcmineqlem10  42667  jm2.23  43585  lhe4.4ex1a  44903  goldratmolem2  47478  perfectALTV  48343  altgsumbc  48983  altgsumbcALT  48984  nn0digval  49231  ackval42  49327