Theorem expcl 14120

Description: Closure law for nonnegative integer exponentiation. For integer exponents, see expclz 14125. (Contributed by NM, 26-May-2005.)

Assertion

Ref	Expression
expcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Proof of Theorem expcl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 4006	. 2 ⊢ ℂ ⊆ ℂ
2		mulcl 11239	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ℂ)
3		ax-1cn 11213	. 2 ⊢ 1 ∈ ℂ
4	1, 2, 3	expcllem 14113	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℕ0) → (𝐴↑𝑁) ∈ ℂ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  ℕ₀cn0 12526  ↑cexp 14102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-seq 14043  df-exp 14103

This theorem is referenced by:  expeq0  14133  expnegz  14137  mulexp  14142  mulexpz  14143  expadd  14145  expaddzlem  14146  expaddz  14147  expmul  14148  expmulz  14149  expdiv  14154  expcld  14186  binom3  14263  digit2  14275  digit1  14276  faclbnd2  14330  faclbnd4lem4  14335  faclbnd6  14338  cjexp  15189  absexp  15343  ackbijnn  15864  binomlem  15865  binom1p  15867  binom1dif  15869  expcnv  15900  geolim  15906  geolim2  15907  geo2sum  15909  geomulcvg  15912  geoisum  15913  geoisumr  15914  geoisum1  15915  geoisum1c  15916  0.999...  15917  fallrisefac  16061  0risefac  16074  binomrisefac  16078  bpolysum  16089  bpolydiflem  16090  fsumkthpow  16092  bpoly3  16094  bpoly4  16095  fsumcube  16096  eftcl  16109  eftabs  16111  efcllem  16113  efcj  16128  efaddlem  16129  eflegeo  16157  efi4p  16173  prmreclem6  16959  karatsuba  17121  expmhm  21454  expcn  24896  mbfi1fseqlem6  25755  itg0  25815  itgz  25816  itgcl  25819  itgcnlem  25825  itgsplit  25871  dvexp  25991  dvexp3  26016  plyf  26237  ply1termlem  26242  plypow  26244  plyeq0lem  26249  plypf1  26251  plyaddlem1  26252  plymullem1  26253  coeeulem  26263  coeidlem  26276  coeid3  26279  plyco  26280  dgrcolem2  26314  plycjlem  26316  plyrecj  26321  vieta1  26354  elqaalem3  26363  aareccl  26368  aalioulem1  26374  geolim3  26381  psergf  26455  dvradcnv  26464  psercn2  26466  psercn2OLD  26467  pserdvlem2  26472  pserdv2  26474  abelthlem4  26478  abelthlem5  26479  abelthlem6  26480  abelthlem7  26482  abelthlem9  26484  advlogexp  26697  logtayllem  26701  logtayl  26702  logtaylsum  26703  logtayl2  26704  cxpeq  26800  dcubic1lem  26886  dcubic2  26887  dcubic1  26888  dcubic  26889  mcubic  26890  cubic2  26891  cubic  26892  binom4  26893  dquartlem2  26895  dquart  26896  quart1cl  26897  quart1lem  26898  quart1  26899  quartlem1  26900  quartlem2  26901  quart  26904  atantayl  26980  atantayl2  26981  atantayl3  26982  leibpi  26985  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  log2ublem3  26991  ftalem1  27116  ftalem4  27119  ftalem5  27120  basellem3  27126  musum  27234  1sgmprm  27243  perfect  27275  lgsquadlem1  27424  rplogsumlem2  27529  ostth2lem2  27678  numclwwlk3lem1  30401  ipval2  30726  dipcl  30731  dipcn  30739  subfacval2  35192  lcmineqlem1  42030  lcmineqlem2  42031  lcmineqlem8  42037  lcmineqlem10  42039  jm2.23  43008  lhe4.4ex1a  44348  perfectALTV  47710  altgsumbc  48268  altgsumbcALT  48269  nn0digval  48521  ackval42  48617