Theorem numexpp1 17260

Description: Calculate an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numexp.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numexpp1.2	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
numexpp1.3	⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
numexpp1.4	⊢ ((𝐴↑𝑀) · 𝐴) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
numexpp1	⊢ (𝐴↑𝑁) = 𝐶

Proof of Theorem numexpp1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numexp.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2	1	nn0cni 12621	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
3		numexpp1.2	. . 3 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
4		expp1 14214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 1)) = ((𝐴↑𝑀) · 𝐴))
5	2, 3, 4	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴↑(𝑀 + 1)) = ((𝐴↑𝑀) · 𝐴)
6		numexpp1.3	. . 3 ⊢ (𝑀 + 1) = 𝑁
7	6	oveq2i 7431	. 2 ⊢ (𝐴↑(𝑀 + 1)) = (𝐴↑𝑁)
8		numexpp1.4	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝑀) · 𝐴) = 𝐶
9	5, 7, 8	3eqtr3i 2791	1 ⊢ (𝐴↑𝑁) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  1c1 11204   + caddc 11206   · cmul 11208  ℕ₀cn0 12609  ↑cexp 14207

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-seq 14148  df-exp 14208

This theorem is used by:  decsplit  17265  3exp3  17274  2503lem1  17320  4001prm  17328  log2ublem3  27281  log2ub  27282  3exp7  43196