Theorem 4001prm 16827

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16791	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12051	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12443	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12443	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12235	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12231	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12434	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12434	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12434	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12228	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10913	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 11146	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12450	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2770	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11221	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12236	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12239	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12434	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12537	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12044	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11147	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12483	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12483	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2770	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12232	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12434	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2836	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12228	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11213	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2748	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12234	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12029	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12439	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12035	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12233	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12434	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12434	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12098	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 13878	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12522	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12031	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12519	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10968	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 11146	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12479	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12484	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16760	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12237	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12434	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12238	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12050	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12105	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11150	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2836	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12121	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7278	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12101	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12119	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7280	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12053	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12499	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11150	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12477	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12122	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7278	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12104	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12120	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7278	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12047	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12041	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11150	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2767	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12477	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12472	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12103	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12037	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12520	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10968	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12450	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12484	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12485	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2770	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12557	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11967	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12556	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12457	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12448	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5105	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16825	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16826	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16589	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7268  ℂcc 10853  0cc0 10855  1c1 10856   + caddc 10858   · cmul 10860   < clt 10993   − cmin 11188  2c2 12011  3c3 12012  4c4 12013  5c5 12014  6c6 12015  7c7 12016  8c8 12017  ℕ₀cn0 12216  ;cdc 12419  ↑cexp 13763  ℙcprime 16357

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-int 4885  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-2o 8282  df-oadd 8285  df-er 8472  df-map 8591  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-sup 9162  df-inf 9163  df-dju 9643  df-card 9681  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-xnn0 12289  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-q 12671  df-rp 12713  df-fz 13222  df-fzo 13365  df-fl 13493  df-mod 13571  df-seq 13703  df-exp 13764  df-hash 14026  df-cj 14791  df-re 14792  df-im 14793  df-sqrt 14927  df-abs 14928  df-dvds 15945  df-gcd 16183  df-prm 16358  df-odz 16447  df-phi 16448  df-pc 16519

This theorem is referenced by: (None)