Theorem 4001prm 16059

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16022	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 11393	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 11727	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 11727	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 11513	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 11509	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11714	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 11714	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 11714	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11506	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10196	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 10426	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 11737	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2796	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 10500	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 11514	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 11517	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 11714	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2771	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 11858	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 11302	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 10427	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 6, 23, 25	decmul1 11786	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 6, 26, 25	decmul1 11786	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2796	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 11510	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 11714	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2846	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11506	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 10492	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 672	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2780	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 11512	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 11387	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 11720	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 11388	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 11511	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 11714	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 11714	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 11353	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 13150	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 11840	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 11293	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 11835	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10249	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 10426	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 11780	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 11788	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 15989	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 11515	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 11714	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2771	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 11516	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 11306	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 11359	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 10430	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2846	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2771	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 11380	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 6803	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 11355	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 11378	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 6805	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 11308	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 11811	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 10430	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 11778	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 11381	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 6803	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 11358	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 11379	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 6803	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 11304	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 11300	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 11799	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 10430	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2793	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 11778	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 11769	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 11357	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 11297	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 11836	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10249	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 11737	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 11788	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 11790	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2796	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 11881	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11233	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 11880	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 11748	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 11734	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 4813	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16057	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16058	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 15818	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1631   ∈ wcel 2145  (class class class)co 6793  ℂcc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276   − cmin 10468  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  ℕ₀cn0 11494  ;cdc 11695  ↑cexp 13067  ℙcprime 15592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-odz 15677  df-phi 15678  df-pc 15749

This theorem is referenced by: (None)