Theorem 4001prm 17192

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17156	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12388	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12782	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12782	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12572	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12568	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12773	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12773	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11242	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11478	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12789	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2771	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11553	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12573	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12576	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2740	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12876	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12381	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11479	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12822	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12822	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2771	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12569	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12773	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2840	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12565	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11545	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2749	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12571	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12366	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12778	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12372	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12570	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12435	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14229	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12861	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12368	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12858	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11299	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11478	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12818	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12823	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17125	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12574	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12773	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12575	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12442	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2840	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12458	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12438	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12456	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7460	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12390	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12838	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12816	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12459	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12441	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12457	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7458	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12384	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12378	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12830	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11482	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2768	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12816	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12811	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12440	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12374	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12859	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11299	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12789	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12823	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12824	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2771	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12896	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12304	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12895	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12796	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12787	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5193	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17190	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17191	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16954	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7448  ℂcc 11182  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187   · cmul 11189   < clt 11324   − cmin 11520  2c2 12348  3c3 12349  4c4 12350  5c5 12351  6c6 12352  7c7 12353  8c8 12354  ℕ₀cn0 12553  ;cdc 12758  ↑cexp 14112  ℙcprime 16718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-dju 9970  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-xnn0 12626  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-mod 13921  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-dvds 16303  df-gcd 16541  df-prm 16719  df-odz 16812  df-phi 16813  df-pc 16884

This theorem is referenced by: (None)