Theorem 4001prm 17164

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17128	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12335	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12732	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12732	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12520	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12516	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12723	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12723	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11187	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11423	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12739	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2761	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11499	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12521	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12524	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2735	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12826	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12328	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11424	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12772	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12772	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2761	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12517	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12723	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12513	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11491	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2744	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12519	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12313	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12728	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12319	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12518	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12382	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14198	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12811	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12808	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11244	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11423	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12768	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12773	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17097	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12723	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12523	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12334	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12389	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11427	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12405	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12385	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7417	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12337	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12788	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11427	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12766	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12388	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12404	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7415	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12331	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12780	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11427	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12766	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12761	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12387	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12321	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12809	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11244	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12739	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12773	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12774	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2761	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12846	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12251	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12845	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12746	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12737	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5146	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17162	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17163	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16927	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134   < clt 11269   − cmin 11466  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  ℕ₀cn0 12501  ;cdc 12708  ↑cexp 14079  ℙcprime 16690

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-xnn0 12575  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-prm 16691  df-odz 16784  df-phi 16785  df-pc 16857

This theorem is referenced by: (None)