Theorem 4001prm 17182

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17146	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12361	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12757	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12757	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12545	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12541	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12748	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12748	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12538	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11449	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12764	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2768	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11525	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12546	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12549	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12851	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12354	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11450	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12797	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12797	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2768	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12542	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12748	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2837	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12538	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11517	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2746	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12544	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12339	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12753	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12345	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12543	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12408	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14219	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12836	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12833	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11270	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11449	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12793	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12798	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17115	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12547	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12748	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2837	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12411	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7443	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12363	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12813	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12791	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12414	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7441	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12357	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12805	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11453	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2765	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12791	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12786	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12413	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12347	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12834	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11270	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12764	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12798	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12799	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2768	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12871	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12277	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12870	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12771	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12762	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5170	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17180	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17181	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16945	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7431  ℂcc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295   − cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  ℕ₀cn0 12526  ;cdc 12733  ↑cexp 14102  ℙcprime 16708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875

This theorem is referenced by: (None)