MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001prm 17024
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 16988 . 2 5 ∈ ℙ
2 8nn 12255 . . . 4 8 ∈ ℕ
32decnncl2 12649 . . 3 80 ∈ ℕ
43decnncl2 12649 . 2 800 ∈ ℕ
5 4nn0 12439 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
6 0nn0 12435 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12640 . . . . . . 7 40 ∈ ℕ0
87, 6deccl 12640 . . . . . 6 400 ∈ ℕ0
98, 6deccl 12640 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
109nn0cni 12432 . . . 4 4000 ∈ ℂ
11 ax-1cn 11116 . . . 4 1 ∈ ℂ
12 4001prm.1 . . . . 5 𝑁 = 4001
1311addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 eqid 2737 . . . . . 6 4000 = 4000
158, 6, 13, 14decsuc 12656 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1612, 15eqtr4i 2768 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
1710, 11, 16mvrraddi 11425 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
18 5nn0 12440 . . . 4 5 ∈ ℕ0
19 8nn0 12443 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2019, 6deccl 12640 . . . 4 80 ∈ ℕ0
21 eqid 2737 . . . 4 800 = 800
22 eqid 2737 . . . . 5 80 = 80
23 8t5e40 12743 . . . . 5 (8 · 5) = 40
24 5cn 12248 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
2524mul02i 11351 . . . . 5 (0 · 5) = 0
2618, 19, 6, 22, 23, 25decmul1 12689 . . . 4 (80 · 5) = 400
2718, 20, 6, 21, 26, 25decmul1 12689 . . 3 (800 · 5) = 4000
2817, 27eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (800 · 5)
29 1nn0 12436 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
308, 29deccl 12640 . . . . . 6 4001 ∈ ℕ0
3112, 30eqeltri 2834 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3231nn0cni 12432 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
33 npcan 11417 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3432, 11, 33mp2an 691 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
3534eqcomi 2746 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36 3nn0 12438 . . 3 3 ∈ ℕ0
37 2nn 12233 . . 3 2 ∈ ℕ
3836, 37decnncl 12645 . 2 32 ∈ ℕ
39 3nn 12239 . 2 3 ∈ ℕ
40 2nn0 12437 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4136, 40deccl 12640 . . . 4 32 ∈ ℕ0
4229, 40deccl 12640 . . . 4 12 ∈ ℕ0
43 2p1e3 12302 . . . . 5 (2 + 1) = 3
4424sqvali 14091 . . . . . . 7 (5↑2) = (5 · 5)
45 5t5e25 12728 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
4644, 45eqtri 2765 . . . . . 6 (5↑2) = 25
47 2cn 12235 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
48 5t2e10 12725 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
4924, 47, 48mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
5047addid2i 11350 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
5129, 6, 40, 49, 50decaddi 12685 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = 12
5218, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45decmul1c 12690 . . . . 5 ((5↑2) · 5) = 125
5318, 40, 43, 52numexpp1 16957 . . . 4 (5↑3) = 125
54 6nn0 12441 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
5529, 54deccl 12640 . . . 4 16 ∈ ℕ0
56 eqid 2737 . . . . 5 12 = 12
57 eqid 2737 . . . . 5 16 = 16
58 7nn0 12442 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
59 7cn 12254 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
60 7p1e8 12309 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6159, 11, 60addcomli 11354 . . . . . . 7 (1 + 7) = 8
6261, 19eqeltri 2834 . . . . . 6 (1 + 7) ∈ ℕ0
63 eqid 2737 . . . . . 6 32 = 32
64 3t1e3 12325 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
6564oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66 3p1e4 12305 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
6765, 66eqtri 2765 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
68 2t1e2 12323 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
6968, 61oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70 8cn 12257 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
71 8p2e10 12705 . . . . . . . 8 (8 + 2) = 10
7270, 47, 71addcomli 11354 . . . . . . 7 (2 + 8) = 10
7369, 72eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 1) + (1 + 7)) = 10
7436, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73decrmac 12683 . . . . 5 ((32 · 1) + (1 + 7)) = 40
75 3t2e6 12326 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
7675oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77 6p1e7 12308 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
7876, 77eqtri 2765 . . . . . 6 ((3 · 2) + 1) = 7
79 2t2e4 12324 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
8079oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81 6cn 12251 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
82 4cn 12245 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
83 6p4e10 12697 . . . . . . . 8 (6 + 4) = 10
8481, 82, 83addcomli 11354 . . . . . . 7 (4 + 6) = 10
8580, 84eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + 6) = 10
8636, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85decrmac 12683 . . . . 5 ((32 · 2) + 6) = 70
8729, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86decma2c 12678 . . . 4 ((32 · 12) + 16) = 400
88 5p1e6 12307 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
89 3cn 12241 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
90 5t3e15 12726 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
9124, 89, 90mulcomli 11171 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
9229, 18, 88, 91decsuc 12656 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
9318, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49decmul1c 12690 . . . 4 (32 · 5) = 160
9441, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93decmul2c 12691 . . 3 (32 · (5↑3)) = 4000
9517, 94eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (32 · (5↑3))
96 2lt10 12763 . . . 4 2 < 10
97 1nn 12171 . . . . 5 1 ∈ ℕ
98 3lt10 12762 . . . . 5 3 < 10
9997, 40, 36, 98declti 12663 . . . 4 3 < 12
10036, 42, 40, 18, 96, 99decltc 12654 . . 3 32 < 125
101100, 53breqtrri 5137 . 2 32 < (5↑3)
102124001lem3 17022 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103124001lem4 17023 . 2 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
1041, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103pockthi 16786 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  wcel 2107  (class class class)co 7362  cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063   < clt 11196  cmin 11392  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  0cn0 12420  cdc 12625  cexp 13974  cprime 16554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-prm 16555  df-odz 16644  df-phi 16645  df-pc 16716
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator