Theorem 4001prm 17323

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17286	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12438	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12843	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12843	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12625	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12621	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12829	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12829	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12829	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12618	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11258	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11498	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12850	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2787	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11574	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12626	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12629	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12829	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12937	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12431	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11499	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12883	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12883	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12622	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12829	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2857	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12618	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11566	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2770	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12624	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12416	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12838	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12422	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12623	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12829	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12829	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12484	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14323	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12922	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12919	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11318	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11498	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12879	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12884	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17255	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12627	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12829	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12628	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12491	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11502	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2857	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12507	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12487	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12505	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7432	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12440	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12899	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11502	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12877	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12508	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12490	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12506	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12434	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12891	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11502	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2784	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12877	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12872	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12489	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12424	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12920	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11318	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12850	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12884	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12885	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2787	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12958	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12346	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12957	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12857	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12848	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5132	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17321	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17322	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 17085	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7420  ℂcc 11198  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   · cmul 11205   < clt 11343   − cmin 11541  2c2 12397  3c3 12398  4c4 12399  5c5 12400  6c6 12401  7c7 12402  8c8 12403  ℕ₀cn0 12606  ;cdc 12814  ↑cexp 14204  ℙcprime 16846

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-oadd 8480  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-sup 9434  df-inf 9435  df-dju 9982  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-xnn0 12680  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-fl 13932  df-mod 14010  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-dvds 16423  df-gcd 16665  df-prm 16847  df-odz 16942  df-phi 16943  df-pc 17015

This theorem is used by: (None)