Theorem 4001prm 17072

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17036	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12240	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12631	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12631	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12420	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12416	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12622	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12622	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12413	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11084	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11321	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12638	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2762	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11397	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12421	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12424	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2736	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12725	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12233	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11322	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12671	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12671	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12417	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12622	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2832	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12413	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11389	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2745	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12419	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12218	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12627	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12224	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12282	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14103	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12710	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12220	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12707	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11141	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11321	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12667	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12672	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17005	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12422	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12622	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12423	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12239	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2832	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12305	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12285	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7370	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12687	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12665	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12288	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12236	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12230	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12679	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11325	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2759	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12665	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12660	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12287	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12226	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12708	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11141	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12638	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12672	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12673	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2762	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12745	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12156	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12744	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12645	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12636	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5125	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17070	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17071	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16835	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166   − cmin 11364  2c2 12200  3c3 12201  4c4 12202  5c5 12203  6c6 12204  7c7 12205  8c8 12206  ℕ₀cn0 12401  ;cdc 12607  ↑cexp 13984  ℙcprime 16598

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-xnn0 12475  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-mod 13790  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-dvds 16180  df-gcd 16422  df-prm 16599  df-odz 16692  df-phi 16693  df-pc 16765

This theorem is referenced by: (None)