Theorem 4001prm 16083

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16047	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 11413	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 11803	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 11803	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 11598	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 11594	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11794	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 11794	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 11794	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11591	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10289	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 10519	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2817	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 11810	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2842	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 10593	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 11599	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 11602	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 11794	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2817	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2817	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 11897	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 11403	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 10520	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 6, 23, 25	decmul1 11843	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 6, 26, 25	decmul1 11843	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2842	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 11595	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 11794	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2892	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11591	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 10585	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 675	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2826	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 11597	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 11386	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 11799	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 11392	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 11596	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 11794	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 11794	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 11462	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 13186	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 11882	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2839	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 11388	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 11879	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10344	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 10519	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 11839	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 11844	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16019	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 11600	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 11794	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2817	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2817	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 11601	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 11411	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 11468	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 10523	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2892	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2817	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 11484	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 11464	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2839	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 11482	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 6896	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 11415	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 11859	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 10523	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2839	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 11837	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 11485	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 11467	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2839	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 11483	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 6894	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 11407	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 11399	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 11851	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 10523	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2839	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 11837	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 11832	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 11466	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 11394	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 11880	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10344	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 11810	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 11844	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 11845	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2842	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 11917	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11328	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 11916	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 11817	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 11808	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 4882	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16081	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16082	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 15848	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1637   ∈ wcel 2157  (class class class)co 6884  ℂcc 10229  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236   < clt 10369   − cmin 10561  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  ℕ₀cn0 11579  ;cdc 11779  ↑cexp 13103  ℙcprime 15623

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309

This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-er 7989  df-map 8104  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-sup 8597  df-inf 8598  df-card 9058  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-xnn0 11650  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-hash 13358  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-dvds 15224  df-gcd 15456  df-prm 15624  df-odz 15707  df-phi 15708  df-pc 15779

This theorem is referenced by: (None)