Theorem 4001prm 17091

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17055	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12257	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12649	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12649	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12437	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12433	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12640	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12640	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12430	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11102	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11338	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12656	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11414	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12438	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12441	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12743	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12250	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11339	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12689	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12689	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12434	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12640	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12430	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11406	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2738	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12436	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12235	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12645	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12241	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12299	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14121	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12728	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12725	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11159	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11338	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12685	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12690	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17024	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12439	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12640	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12440	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12256	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12306	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11342	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12322	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12302	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12320	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7381	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12259	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11342	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12683	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12323	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12305	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12321	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7379	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12253	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12697	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11342	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12683	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12678	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12304	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12243	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12726	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11159	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12656	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12690	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12691	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12763	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12173	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12762	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12663	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12654	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5129	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17089	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17090	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16854	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7369  ℂcc 11042  0cc0 11044  1c1 11045   + caddc 11047   · cmul 11049   < clt 11184   − cmin 11381  2c2 12217  3c3 12218  4c4 12219  5c5 12220  6c6 12221  7c7 12222  8c8 12223  ℕ₀cn0 12418  ;cdc 12625  ↑cexp 14002  ℙcprime 16617

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-dju 9830  df-card 9868  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-xnn0 12492  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-mod 13808  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16199  df-gcd 16441  df-prm 16618  df-odz 16711  df-phi 16712  df-pc 16784

This theorem is referenced by: (None)