Theorem 4001prm 16846

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16810	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12068	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12461	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12461	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12252	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12452	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12452	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12245	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10929	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 11163	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12468	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11238	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12253	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12256	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12555	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12061	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11164	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12501	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12501	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12249	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12452	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12245	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11230	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 689	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2747	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12251	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12046	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12457	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12052	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12250	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12115	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 13897	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12540	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12048	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12537	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10984	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 11163	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12497	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12502	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16779	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12254	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12452	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12255	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12067	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12122	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11167	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12138	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12118	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12136	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7287	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12070	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11167	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12495	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12139	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12121	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12137	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7285	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12064	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12058	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12509	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11167	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12495	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12490	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12120	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12054	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12538	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10984	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12468	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12502	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12503	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12575	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11984	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12574	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12475	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12466	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5101	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16844	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16845	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16608	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876   < clt 11009   − cmin 11205  2c2 12028  3c3 12029  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  ℕ₀cn0 12233  ;cdc 12437  ↑cexp 13782  ℙcprime 16376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-sup 9201  df-inf 9202  df-dju 9659  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-hash 14045  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-dvds 15964  df-gcd 16202  df-prm 16377  df-odz 16466  df-phi 16467  df-pc 16538

This theorem is referenced by: (None)