Theorem 4001prm 17205

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17168	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12336	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12740	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12740	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12523	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12519	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12726	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12726	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12516	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11158	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11398	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12747	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2795	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11474	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12524	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12527	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12726	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2769	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12834	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12329	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11399	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12780	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12780	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2795	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12520	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12726	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2865	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12516	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11466	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2778	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12522	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12314	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12735	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12320	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12726	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12726	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12382	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14216	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12819	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12316	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11218	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11398	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12776	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12781	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17137	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12525	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12726	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12526	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12335	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12389	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11402	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2865	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12405	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12385	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12403	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7423	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12796	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11402	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12774	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12388	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12404	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12332	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12788	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11402	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12774	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12769	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12387	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12322	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12817	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11218	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12747	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12781	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12782	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2795	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12855	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12244	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12854	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12754	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12745	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5142	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17203	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17204	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16967	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  (class class class)co 7411  ℂcc 11098  0cc0 11100  1c1 11101   + caddc 11103   · cmul 11105   < clt 11243   − cmin 11441  2c2 12295  3c3 12296  4c4 12297  5c5 12298  6c6 12299  7c7 12300  8c8 12301  ℕ₀cn0 12504  ;cdc 12711  ↑cexp 14097  ℙcprime 16729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177  ax-pre-sup 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-oadd 8457  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9402  df-inf 9403  df-dju 9887  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-q 12973  df-rp 13017  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-fl 13825  df-mod 13903  df-seq 14038  df-exp 14098  df-hash 14367  df-cj 15150  df-re 15151  df-im 15152  df-sqrt 15286  df-abs 15287  df-dvds 16311  df-gcd 16553  df-prm 16730  df-odz 16824  df-phi 16825  df-pc 16897

This theorem is referenced by: (None)