Theorem 4001prm 17056

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17020	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12220	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12612	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12612	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12400	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12396	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12603	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12603	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12603	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12393	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11064	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11301	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12619	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11377	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12401	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12404	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12706	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12213	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11302	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12652	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12652	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12397	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12603	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2827	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12393	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11369	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2740	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12399	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12198	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12608	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12204	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12398	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12262	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14087	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12691	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12200	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12688	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11121	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11301	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12648	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12653	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16989	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12402	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12603	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12403	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12269	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11305	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2827	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12285	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12265	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7358	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12668	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11305	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12646	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12268	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12284	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7356	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12216	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12210	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12660	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11305	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12646	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12641	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12267	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12206	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12689	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11121	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12619	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12653	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12654	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12726	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12136	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12725	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12626	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12617	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5116	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17054	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17055	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16819	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  0cc0 11006  1c1 11007   + caddc 11009   · cmul 11011   < clt 11146   − cmin 11344  2c2 12180  3c3 12181  4c4 12182  5c5 12183  6c6 12184  7c7 12185  8c8 12186  ℕ₀cn0 12381  ;cdc 12588  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-oadd 8389  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-dju 9794  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-xnn0 12455  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-odz 16676  df-phi 16677  df-pc 16749

This theorem is referenced by: (None)