Theorem 4001prm 17056

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17020	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12223	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12615	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12615	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12403	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12399	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12606	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12606	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12606	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12396	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11067	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11304	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12622	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11380	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12404	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12407	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12606	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12709	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12216	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11305	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12655	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12655	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12400	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12606	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12396	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11372	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2738	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12402	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12201	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12611	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12207	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12401	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12606	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12606	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12265	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14087	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12694	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12203	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12691	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11124	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11304	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12651	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12656	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16989	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12405	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12606	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12406	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12222	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12272	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11308	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12288	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7359	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12268	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12286	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7361	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12225	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12671	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11308	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12649	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12289	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7359	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12271	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7359	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12219	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12213	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12663	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11308	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12649	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12644	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12270	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12209	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12692	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11124	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12622	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12656	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12657	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12729	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12139	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12728	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12629	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12620	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5119	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17054	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17055	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16819	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  0cc0 11009  1c1 11010   + caddc 11012   · cmul 11014   < clt 11149   − cmin 11347  2c2 12183  3c3 12184  4c4 12185  5c5 12186  6c6 12187  7c7 12188  8c8 12189  ℕ₀cn0 12384  ;cdc 12591  ↑cexp 13968  ℙcprime 16582

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-int 4897  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-1o 8388  df-2o 8389  df-oadd 8392  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-inf 9333  df-dju 9797  df-card 9835  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-3 12192  df-4 12193  df-5 12194  df-6 12195  df-7 12196  df-8 12197  df-9 12198  df-n0 12385  df-xnn0 12458  df-z 12472  df-dec 12592  df-uz 12736  df-q 12850  df-rp 12894  df-fz 13411  df-fzo 13558  df-fl 13696  df-mod 13774  df-seq 13909  df-exp 13969  df-hash 14238  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-dvds 16164  df-gcd 16406  df-prm 16583  df-odz 16676  df-phi 16677  df-pc 16749

This theorem is referenced by: (None)