Theorem 4001prm 17178

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17142	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12358	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12754	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12754	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12542	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12538	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12745	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12745	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12745	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12535	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11210	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11446	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12761	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11522	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12543	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12546	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12745	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12848	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12351	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11447	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12794	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12794	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2765	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12539	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12745	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2834	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12535	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11514	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2743	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12541	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12336	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12750	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12342	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12745	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12745	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12405	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14215	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12833	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12338	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12830	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11267	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11446	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12790	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12795	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17111	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12544	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12745	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12545	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12357	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11450	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2834	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12428	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12408	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12426	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7442	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12810	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11450	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12788	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12429	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12411	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12427	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7440	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12802	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11450	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12788	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12783	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12410	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12344	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12831	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11267	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12761	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12795	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12796	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2765	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12868	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12274	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12867	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12768	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12759	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5174	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17176	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17177	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16940	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7430  ℂcc 11150  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157   < clt 11292   − cmin 11489  2c2 12318  3c3 12319  4c4 12320  5c5 12321  6c6 12322  7c7 12323  8c8 12324  ℕ₀cn0 12523  ;cdc 12730  ↑cexp 14098  ℙcprime 16704

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-dju 9938  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-xnn0 12597  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-prm 16705  df-odz 16798  df-phi 16799  df-pc 16870

This theorem is referenced by: (None)