Theorem 4001prm 17200

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17163	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12331	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12735	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12735	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12518	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12514	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12721	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12721	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12721	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12511	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11153	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11393	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12742	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11469	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12519	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12522	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12829	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12324	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11394	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12775	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12775	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12515	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12721	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12511	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11461	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2772	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12517	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12309	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12730	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12315	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12516	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12377	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14212	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12814	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12811	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11213	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11393	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12771	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12776	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17132	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12520	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12721	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12521	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12330	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12384	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11397	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2859	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12400	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12380	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12398	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7422	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12333	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12791	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11397	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12769	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12401	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12383	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12399	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12327	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12321	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12783	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11397	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12769	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12764	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12382	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12317	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12812	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11213	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12742	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12776	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12777	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12850	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12239	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12849	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12749	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12740	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5138	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17198	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17199	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16962	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   · cmul 11100   < clt 11238   − cmin 11436  2c2 12290  3c3 12291  4c4 12292  5c5 12293  6c6 12294  7c7 12295  8c8 12296  ℕ₀cn0 12499  ;cdc 12706  ↑cexp 14093  ℙcprime 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172  ax-pre-sup 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-oadd 8453  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-dju 9883  df-card 9921  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-div 11867  df-nn 12229  df-2 12298  df-3 12299  df-4 12300  df-5 12301  df-6 12302  df-7 12303  df-8 12304  df-9 12305  df-n0 12500  df-xnn0 12573  df-z 12587  df-dec 12707  df-uz 12858  df-q 12968  df-rp 13012  df-fz 13531  df-fzo 13679  df-fl 13821  df-mod 13899  df-seq 14034  df-exp 14094  df-hash 14363  df-cj 15146  df-re 15147  df-im 15148  df-sqrt 15282  df-abs 15283  df-dvds 16306  df-gcd 16548  df-prm 16725  df-odz 16819  df-phi 16820  df-pc 16892

This theorem is referenced by: (None)