Theorem 4001prm 17122

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17086	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12288	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12680	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12680	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12464	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12671	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12671	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12671	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12461	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11133	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11369	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12687	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2756	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11445	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12469	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12472	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12774	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12281	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11370	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12720	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12720	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2756	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12465	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12671	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12461	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11437	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2739	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12467	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12266	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12676	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12272	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12466	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12330	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14152	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12759	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12268	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12756	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11190	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11369	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12716	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12721	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17055	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12470	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12671	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12471	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12337	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2825	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12353	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12333	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12351	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7402	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12290	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12736	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12714	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12354	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12336	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12352	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12284	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12278	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12728	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11373	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2753	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12714	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12709	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12335	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12274	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12757	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11190	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12687	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12721	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12722	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2756	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12794	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12204	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12793	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12694	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12685	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5137	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17120	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17121	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16885	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  0cc0 11075  1c1 11076   + caddc 11078   · cmul 11080   < clt 11215   − cmin 11412  2c2 12248  3c3 12249  4c4 12250  5c5 12251  6c6 12252  7c7 12253  8c8 12254  ℕ₀cn0 12449  ;cdc 12656  ↑cexp 14033  ℙcprime 16648

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-xnn0 12523  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-dvds 16230  df-gcd 16472  df-prm 16649  df-odz 16742  df-phi 16743  df-pc 16815

This theorem is referenced by: (None)