Theorem 4001prm 17106

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17070	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12267	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12659	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12659	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12443	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12650	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12650	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12440	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11087	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11325	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12666	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2765	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11401	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12448	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12451	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2739	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12753	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12260	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11326	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12699	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12699	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2765	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12444	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12650	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12440	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11393	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 698	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2748	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12446	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12245	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12655	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12251	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12445	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12309	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14133	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12738	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12247	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12735	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11145	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11325	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12695	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12700	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17039	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12449	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12650	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12450	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2739	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12332	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12312	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12269	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12715	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12693	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12315	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12331	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12263	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12257	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12707	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11329	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2762	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12693	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12688	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12314	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12253	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12736	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11145	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12666	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12700	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12701	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2765	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12773	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12176	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12772	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12673	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12664	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5099	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17104	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17105	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16869	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7356  ℂcc 11027  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032   · cmul 11034   < clt 11170   − cmin 11368  2c2 12227  3c3 12228  4c4 12229  5c5 12230  6c6 12231  7c7 12232  8c8 12233  ℕ₀cn0 12428  ;cdc 12635  ↑cexp 14014  ℙcprime 16631

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-dju 9816  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-xnn0 12502  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-mod 13820  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16213  df-gcd 16455  df-prm 16632  df-odz 16726  df-phi 16727  df-pc 16799

This theorem is referenced by: (None)