Theorem 4001prm 17109

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17073	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12270	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12662	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12662	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12446	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12653	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12653	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12653	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12443	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11090	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11328	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12669	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11404	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12451	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12454	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12653	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12756	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12263	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11329	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12702	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12702	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12447	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12653	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12443	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11396	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2746	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12449	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12248	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12658	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12254	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12448	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12653	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12653	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12312	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14136	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12741	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12250	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12738	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11148	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11328	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12698	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12703	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17042	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12452	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12653	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12453	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12269	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12319	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11332	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12335	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12315	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12333	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7373	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12272	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12718	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11332	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12696	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12336	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12318	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12334	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7371	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12266	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12260	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12710	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11332	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12696	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12691	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12317	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12256	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12739	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11148	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12669	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12703	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12704	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12776	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12179	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12775	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12676	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12667	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5113	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17107	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17108	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16872	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7361  ℂcc 11030  0cc0 11032  1c1 11033   + caddc 11035   · cmul 11037   < clt 11173   − cmin 11371  2c2 12230  3c3 12231  4c4 12232  5c5 12233  6c6 12234  7c7 12235  8c8 12236  ℕ₀cn0 12431  ;cdc 12638  ↑cexp 14017  ℙcprime 16634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-pre-sup 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-oadd 8403  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-inf 9350  df-dju 9819  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-q 12893  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-fl 13745  df-mod 13823  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-cj 15055  df-re 15056  df-im 15057  df-sqrt 15191  df-abs 15192  df-dvds 16216  df-gcd 16458  df-prm 16635  df-odz 16729  df-phi 16730  df-pc 16802

This theorem is referenced by: (None)