Theorem 4001prm 17193

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17156	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12324	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12728	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12728	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12511	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12507	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12714	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12714	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12714	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12504	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11146	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11386	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12735	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2791	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11462	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12512	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12515	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2765	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12822	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12317	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11387	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12768	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12768	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12508	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12714	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2861	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12504	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11454	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 704	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2774	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12510	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12302	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12723	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12308	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12509	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12370	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14204	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12807	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12304	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12804	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11206	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11386	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12764	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12769	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17125	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12513	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12714	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12514	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12323	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11390	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2861	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12393	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12373	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12391	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7412	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12326	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12784	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11390	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12762	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12394	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12376	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12392	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7410	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12320	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12314	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12776	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11390	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2788	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12762	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12757	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12375	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12310	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12805	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11206	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12735	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12769	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12770	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2791	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12843	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12232	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12842	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12742	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12733	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5131	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17191	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17192	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16955	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  0cc0 11088  1c1 11089   + caddc 11091   · cmul 11093   < clt 11231   − cmin 11429  2c2 12283  3c3 12284  4c4 12285  5c5 12286  6c6 12287  7c7 12288  8c8 12289  ℕ₀cn0 12492  ;cdc 12699  ↑cexp 14085  ℙcprime 16717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-oadd 8445  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-sup 9390  df-inf 9391  df-dju 9875  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-xnn0 12566  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-mod 13891  df-seq 14026  df-exp 14086  df-hash 14355  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16299  df-gcd 16541  df-prm 16718  df-odz 16812  df-phi 16813  df-pc 16885

This theorem is referenced by: (None)