Theorem 4001prm 17078

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17042	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12307	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12701	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12701	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12491	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12487	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12692	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12692	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12484	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11168	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11402	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12708	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2764	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11477	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12492	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12495	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2733	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12795	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12300	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11403	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12741	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12741	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12488	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12692	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12484	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11469	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2742	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12490	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12285	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12697	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12291	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12489	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12354	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14144	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12780	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12287	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12777	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11223	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11402	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12737	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12742	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17011	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12493	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12692	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12494	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12306	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12361	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11406	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12377	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12357	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12375	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7421	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12757	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11406	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12735	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12378	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12360	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12376	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7419	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12303	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12297	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12749	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11406	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12735	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12730	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12359	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12293	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12778	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11223	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12708	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12742	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12743	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2764	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12815	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12223	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12814	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12715	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12706	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5176	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17076	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17077	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16840	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409  ℂcc 11108  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115   < clt 11248   − cmin 11444  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  ℕ₀cn0 12472  ;cdc 12677  ↑cexp 14027  ℙcprime 16608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-dju 9896  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-gcd 16436  df-prm 16609  df-odz 16698  df-phi 16699  df-pc 16770

This theorem is referenced by: (None)