Theorem 4001prm 17141

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17105	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12352	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12746	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12746	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12536	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12532	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12737	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12737	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12529	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11206	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11442	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12753	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2757	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11517	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12537	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12540	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2726	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12840	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12345	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11443	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12786	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12786	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12533	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12737	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2822	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12529	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11509	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2735	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12535	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12330	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12742	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12336	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12534	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12399	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14191	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12825	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12332	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12822	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11263	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11442	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12782	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12787	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17074	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12538	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12737	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12539	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12351	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12406	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11446	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2822	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12422	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12402	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12420	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7427	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12354	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12802	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11446	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12780	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12423	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12405	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12421	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7425	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12348	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12342	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12794	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11446	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12780	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12775	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12404	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12338	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12823	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11263	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12753	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12787	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12788	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2757	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12860	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12268	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12859	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12760	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12751	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5172	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17139	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17140	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16903	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  (class class class)co 7415  ℂcc 11146  0cc0 11148  1c1 11149   + caddc 11151   · cmul 11153   < clt 11288   − cmin 11484  2c2 12312  3c3 12313  4c4 12314  5c5 12315  6c6 12316  7c7 12317  8c8 12318  ℕ₀cn0 12517  ;cdc 12722  ↑cexp 14074  ℙcprime 16666

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7737  ax-cnex 11204  ax-resscn 11205  ax-1cn 11206  ax-icn 11207  ax-addcl 11208  ax-addrcl 11209  ax-mulcl 11210  ax-mulrcl 11211  ax-mulcom 11212  ax-addass 11213  ax-mulass 11214  ax-distr 11215  ax-i2m1 11216  ax-1ne0 11217  ax-1rid 11218  ax-rnegex 11219  ax-rrecex 11220  ax-cnre 11221  ax-pre-lttri 11222  ax-pre-lttrn 11223  ax-pre-ltadd 11224  ax-pre-mulgt0 11225  ax-pre-sup 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3968  df-nul 4325  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4908  df-int 4949  df-iun 4997  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-tr 5263  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6304  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6497  df-fun 6547  df-fn 6548  df-f 6549  df-f1 6550  df-fo 6551  df-f1o 6552  df-fv 6553  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8725  df-en 8966  df-dom 8967  df-sdom 8968  df-fin 8969  df-sup 9477  df-inf 9478  df-dju 9936  df-card 9974  df-pnf 11290  df-mnf 11291  df-xr 11292  df-ltxr 11293  df-le 11294  df-sub 11486  df-neg 11487  df-div 11912  df-nn 12258  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-7 12325  df-8 12326  df-9 12327  df-n0 12518  df-xnn0 12590  df-z 12604  df-dec 12723  df-uz 12868  df-q 12978  df-rp 13022  df-fz 13532  df-fzo 13675  df-fl 13805  df-mod 13883  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14342  df-cj 15098  df-re 15099  df-im 15100  df-sqrt 15234  df-abs 15235  df-dvds 16251  df-gcd 16489  df-prm 16667  df-odz 16761  df-phi 16762  df-pc 16833

This theorem is referenced by: (None)