MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001prm 16059
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 16022 . 2 5 ∈ ℙ
2 8nn 11393 . . . 4 8 ∈ ℕ
32decnncl2 11727 . . 3 80 ∈ ℕ
43decnncl2 11727 . 2 800 ∈ ℕ
5 4nn0 11513 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
6 0nn0 11509 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
75, 6deccl 11714 . . . . . . 7 40 ∈ ℕ0
87, 6deccl 11714 . . . . . 6 400 ∈ ℕ0
98, 6deccl 11714 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
109nn0cni 11506 . . . 4 4000 ∈ ℂ
11 ax-1cn 10196 . . . 4 1 ∈ ℂ
12 4001prm.1 . . . . 5 𝑁 = 4001
1311addid2i 10426 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 eqid 2771 . . . . . 6 4000 = 4000
158, 6, 13, 14decsuc 11737 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1612, 15eqtr4i 2796 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
1710, 11, 16mvrraddi 10500 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
18 5nn0 11514 . . . 4 5 ∈ ℕ0
19 8nn0 11517 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2019, 6deccl 11714 . . . 4 80 ∈ ℕ0
21 eqid 2771 . . . 4 800 = 800
22 eqid 2771 . . . . 5 80 = 80
23 8t5e40 11858 . . . . 5 (8 · 5) = 40
24 5cn 11302 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
2524mul02i 10427 . . . . 5 (0 · 5) = 0
2618, 19, 6, 22, 6, 23, 25decmul1 11786 . . . 4 (80 · 5) = 400
2718, 20, 6, 21, 6, 26, 25decmul1 11786 . . 3 (800 · 5) = 4000
2817, 27eqtr4i 2796 . 2 (𝑁 − 1) = (800 · 5)
29 1nn0 11510 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
308, 29deccl 11714 . . . . . 6 4001 ∈ ℕ0
3112, 30eqeltri 2846 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3231nn0cni 11506 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
33 npcan 10492 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3432, 11, 33mp2an 672 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
3534eqcomi 2780 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36 3nn0 11512 . . 3 3 ∈ ℕ0
37 2nn 11387 . . 3 2 ∈ ℕ
3836, 37decnncl 11720 . 2 32 ∈ ℕ
39 3nn 11388 . 2 3 ∈ ℕ
40 2nn0 11511 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4136, 40deccl 11714 . . . 4 32 ∈ ℕ0
4229, 40deccl 11714 . . . 4 12 ∈ ℕ0
43 2p1e3 11353 . . . . 5 (2 + 1) = 3
4424sqvali 13150 . . . . . . 7 (5↑2) = (5 · 5)
45 5t5e25 11840 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
4644, 45eqtri 2793 . . . . . 6 (5↑2) = 25
47 2cn 11293 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
48 5t2e10 11835 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
4924, 47, 48mulcomli 10249 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
5047addid2i 10426 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
5129, 6, 40, 49, 50decaddi 11780 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = 12
5218, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45decmul1c 11788 . . . . 5 ((5↑2) · 5) = 125
5318, 40, 43, 52numexpp1 15989 . . . 4 (5↑3) = 125
54 6nn0 11515 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
5529, 54deccl 11714 . . . 4 16 ∈ ℕ0
56 eqid 2771 . . . . 5 12 = 12
57 eqid 2771 . . . . 5 16 = 16
58 7nn0 11516 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
59 7cn 11306 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
60 7p1e8 11359 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6159, 11, 60addcomli 10430 . . . . . . 7 (1 + 7) = 8
6261, 19eqeltri 2846 . . . . . 6 (1 + 7) ∈ ℕ0
63 eqid 2771 . . . . . 6 32 = 32
64 3t1e3 11380 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
6564oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66 3p1e4 11355 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
6765, 66eqtri 2793 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
68 2t1e2 11378 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
6968, 61oveq12i 6805 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70 8cn 11308 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
71 8p2e10 11811 . . . . . . . 8 (8 + 2) = 10
7270, 47, 71addcomli 10430 . . . . . . 7 (2 + 8) = 10
7369, 72eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 1) + (1 + 7)) = 10
7436, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73decrmac 11778 . . . . 5 ((32 · 1) + (1 + 7)) = 40
75 3t2e6 11381 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
7675oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77 6p1e7 11358 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
7876, 77eqtri 2793 . . . . . 6 ((3 · 2) + 1) = 7
79 2t2e4 11379 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
8079oveq1i 6803 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81 6cn 11304 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
82 4cn 11300 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
83 6p4e10 11799 . . . . . . . 8 (6 + 4) = 10
8481, 82, 83addcomli 10430 . . . . . . 7 (4 + 6) = 10
8580, 84eqtri 2793 . . . . . 6 ((2 · 2) + 6) = 10
8636, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85decrmac 11778 . . . . 5 ((32 · 2) + 6) = 70
8729, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86decma2c 11769 . . . 4 ((32 · 12) + 16) = 400
88 5p1e6 11357 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
89 3cn 11297 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
90 5t3e15 11836 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
9124, 89, 90mulcomli 10249 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
9229, 18, 88, 91decsuc 11737 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
9318, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49decmul1c 11788 . . . 4 (32 · 5) = 160
9441, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93decmul2c 11790 . . 3 (32 · (5↑3)) = 4000
9517, 94eqtr4i 2796 . 2 (𝑁 − 1) = (32 · (5↑3))
96 2lt10 11881 . . . 4 2 < 10
97 1nn 11233 . . . . 5 1 ∈ ℕ
98 3lt10 11880 . . . . 5 3 < 10
9997, 40, 36, 98declti 11748 . . . 4 3 < 12
10036, 42, 40, 18, 96, 99decltc 11734 . . 3 32 < 125
101100, 53breqtrri 4813 . 2 32 < (5↑3)
102124001lem3 16057 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103124001lem4 16058 . 2 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
1041, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103pockthi 15818 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1631  wcel 2145  (class class class)co 6793  cc 10136  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cmin 10468  2c2 11272  3c3 11273  4c4 11274  5c5 11275  6c6 11276  7c7 11277  8c8 11278  0cn0 11494  cdc 11695  cexp 13067  cprime 15592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-xnn0 11566  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-dvds 15190  df-gcd 15425  df-prm 15593  df-odz 15677  df-phi 15678  df-pc 15749
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator