Theorem 4001prm 17181

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17144	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12313	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12717	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12717	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12500	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12496	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12703	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12703	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12703	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12493	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11131	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11371	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12724	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2788	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11447	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12501	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12504	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12811	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12306	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11372	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12757	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12757	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2788	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12497	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12703	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2858	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12493	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11439	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 702	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2771	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12499	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12291	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12712	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12297	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12498	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12359	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14193	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12796	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12293	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12793	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11191	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11371	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12753	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12758	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17113	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12502	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12703	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12503	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12366	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11375	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2858	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12382	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12362	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12380	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7408	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12315	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12773	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11375	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12751	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12383	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12365	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12381	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7406	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12309	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12303	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12765	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11375	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2785	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12751	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12746	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12364	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12299	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12794	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11191	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12724	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12758	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12759	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2788	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12832	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12221	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12831	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12731	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12722	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5127	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17179	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17180	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16943	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  (class class class)co 7396  ℂcc 11071  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   · cmul 11078   < clt 11216   − cmin 11414  2c2 12272  3c3 12273  4c4 12274  5c5 12275  6c6 12276  7c7 12277  8c8 12278  ℕ₀cn0 12481  ;cdc 12688  ↑cexp 14074  ℙcprime 16705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4906  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-dju 9859  df-card 9897  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-xnn0 12555  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fzo 13660  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-hash 14344  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-prm 16706  df-odz 16800  df-phi 16801  df-pc 16873

This theorem is referenced by: (None)