Theorem 4001prm 17070

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17034	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12238	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12629	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12629	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12418	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12414	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12620	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12620	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12620	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12411	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11082	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11319	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12636	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2760	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11395	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12419	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12422	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12620	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2734	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12723	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12231	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11320	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12669	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12669	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2760	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12415	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12620	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2830	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12411	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11387	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2743	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12417	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12216	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12625	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12222	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12416	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12620	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12620	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12280	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14101	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12708	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12218	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12705	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11139	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11319	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12665	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12670	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17003	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12420	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12620	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12421	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12237	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12287	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11323	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2830	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12303	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12283	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7368	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12240	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12685	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11323	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12663	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12304	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12286	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12302	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7366	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12234	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12228	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12677	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11323	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2757	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12663	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12658	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12285	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12224	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12706	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11139	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12636	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12670	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12671	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2760	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12743	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12154	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12742	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12643	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12634	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5123	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17068	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17069	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16833	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7356  ℂcc 11022  0cc0 11024  1c1 11025   + caddc 11027   · cmul 11029   < clt 11164   − cmin 11362  2c2 12198  3c3 12199  4c4 12200  5c5 12201  6c6 12202  7c7 12203  8c8 12204  ℕ₀cn0 12399  ;cdc 12605  ↑cexp 13982  ℙcprime 16596

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101  ax-pre-sup 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-int 4901  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-oadd 8399  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-fin 8885  df-sup 9343  df-inf 9344  df-dju 9811  df-card 9849  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-div 11793  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-4 12208  df-5 12209  df-6 12210  df-7 12211  df-8 12212  df-9 12213  df-n0 12400  df-xnn0 12473  df-z 12487  df-dec 12606  df-uz 12750  df-q 12860  df-rp 12904  df-fz 13422  df-fzo 13569  df-fl 13710  df-mod 13788  df-seq 13923  df-exp 13983  df-hash 14252  df-cj 15020  df-re 15021  df-im 15022  df-sqrt 15156  df-abs 15157  df-dvds 16178  df-gcd 16420  df-prm 16597  df-odz 16690  df-phi 16691  df-pc 16763

This theorem is referenced by: (None)