Theorem 4001prm 17084

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17048	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12252	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12643	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12643	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12432	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12634	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12634	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12425	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11096	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11333	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12650	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2763	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11409	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12433	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12436	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12737	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12245	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11334	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12683	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12683	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12429	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12634	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2833	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12425	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11401	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 693	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2746	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12431	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12230	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12639	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12236	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12430	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12294	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14115	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12722	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12232	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12719	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11153	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11333	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12679	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12684	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17017	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12434	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12634	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12435	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12251	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12301	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11337	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2833	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12317	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12297	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12315	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7380	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12254	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12699	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11337	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12677	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12318	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12300	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12316	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7378	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12248	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12242	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12691	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11337	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12677	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12672	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12299	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12238	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12720	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11153	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12650	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12684	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12685	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2763	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12757	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12168	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12756	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12657	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12648	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5127	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17082	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17083	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16847	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   · cmul 11043   < clt 11178   − cmin 11376  2c2 12212  3c3 12213  4c4 12214  5c5 12215  6c6 12216  7c7 12217  8c8 12218  ℕ₀cn0 12413  ;cdc 12619  ↑cexp 13996  ℙcprime 16610

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-pre-sup 11116

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-oadd 8411  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9357  df-inf 9358  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-div 11807  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12918  df-fz 13436  df-fzo 13583  df-fl 13724  df-mod 13802  df-seq 13937  df-exp 13997  df-hash 14266  df-cj 15034  df-re 15035  df-im 15036  df-sqrt 15170  df-abs 15171  df-dvds 16192  df-gcd 16434  df-prm 16611  df-odz 16704  df-phi 16705  df-pc 16777

This theorem is referenced by: (None)