Theorem 4001prm 17335

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17298	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12448	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12853	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12853	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12635	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12631	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12839	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12839	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12839	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12628	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11268	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11508	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12860	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11584	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12636	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12639	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12839	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12947	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12441	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11509	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12893	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12893	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12632	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12839	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2859	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12628	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11576	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2772	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12634	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12426	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12848	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12432	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12633	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12839	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12839	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12494	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14333	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12932	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12428	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12929	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11328	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11508	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12889	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12894	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17267	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12637	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12839	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12638	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12447	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12501	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11512	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2859	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12497	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12515	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7439	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12450	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12909	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11512	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12887	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12518	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12500	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12516	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7437	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12444	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12438	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12901	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11512	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12887	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12882	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12499	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12434	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12930	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11328	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12860	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12894	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12895	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12968	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12356	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12967	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12867	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12858	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5134	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17333	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17334	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 17097	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7427  ℂcc 11208  0cc0 11210  1c1 11211   + caddc 11213   · cmul 11215   < clt 11353   − cmin 11551  2c2 12407  3c3 12408  4c4 12409  5c5 12410  6c6 12411  7c7 12412  8c8 12413  ℕ₀cn0 12616  ;cdc 12824  ↑cexp 14214  ℙcprime 16858

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287  ax-pre-sup 11288

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9444  df-inf 9445  df-dju 9992  df-card 10030  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-div 11984  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-4 12417  df-5 12418  df-6 12419  df-7 12420  df-8 12421  df-9 12422  df-n0 12617  df-xnn0 12690  df-z 12704  df-dec 12825  df-uz 12976  df-q 13086  df-rp 13131  df-fz 13650  df-fzo 13799  df-fl 13942  df-mod 14020  df-seq 14155  df-exp 14215  df-hash 14485  df-cj 15278  df-re 15279  df-im 15280  df-sqrt 15414  df-abs 15415  df-dvds 16435  df-gcd 16677  df-prm 16859  df-odz 16954  df-phi 16955  df-pc 17027

This theorem is used by: (None)