Theorem 4001prm 17043

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17007	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12211	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12603	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12603	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12391	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12387	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12594	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12594	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12594	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12384	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11055	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11292	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12610	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11368	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12392	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12395	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12594	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12697	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12204	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11293	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12643	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12643	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12388	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12594	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12384	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11360	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2738	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12390	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12189	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12599	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12195	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12389	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12594	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12594	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12253	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14075	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12682	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12191	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12679	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11112	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11292	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12639	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12644	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16976	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12393	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12594	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12394	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12210	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12260	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11296	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12276	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7350	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12256	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12274	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7352	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12213	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12659	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11296	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12637	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12277	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7350	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12259	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12275	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7350	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12207	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12201	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12651	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11296	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12637	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12632	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12258	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12197	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12680	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11112	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12610	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12644	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12645	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12717	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12127	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12716	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12617	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12608	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5115	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17041	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17042	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16806	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7340  ℂcc 10995  0cc0 10997  1c1 10998   + caddc 11000   · cmul 11002   < clt 11137   − cmin 11335  2c2 12171  3c3 12172  4c4 12173  5c5 12174  6c6 12175  7c7 12176  8c8 12177  ℕ₀cn0 12372  ;cdc 12579  ↑cexp 13956  ℙcprime 16569

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074  ax-pre-sup 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4895  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-2o 8380  df-oadd 8383  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-sup 9320  df-inf 9321  df-dju 9785  df-card 9823  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-div 11766  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-xnn0 12446  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-q 12838  df-rp 12882  df-fz 13399  df-fzo 13546  df-fl 13684  df-mod 13762  df-seq 13897  df-exp 13957  df-hash 14226  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-dvds 16151  df-gcd 16393  df-prm 16570  df-odz 16663  df-phi 16664  df-pc 16736

This theorem is referenced by: (None)