Theorem 4001prm 17121

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17085	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12345	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12739	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12739	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12529	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12525	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12730	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12730	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12522	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11204	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11440	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12746	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2759	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11515	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12530	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12533	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2728	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12833	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12338	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11441	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12779	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12779	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12526	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12730	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2825	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12522	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11507	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2737	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12528	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12323	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12735	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12329	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12527	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12392	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14183	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12818	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12325	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12815	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11261	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11440	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12775	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12780	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17054	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12531	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12730	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12532	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12399	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11444	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2825	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2728	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12415	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12395	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12413	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12347	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12795	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11444	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12773	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12416	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12398	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12414	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7436	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12335	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12787	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11444	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2756	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12773	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12768	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12397	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12331	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12816	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11261	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12746	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12780	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12781	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2759	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12853	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12261	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12852	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12753	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12744	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5179	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17119	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17120	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16883	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7426  ℂcc 11144  0cc0 11146  1c1 11147   + caddc 11149   · cmul 11151   < clt 11286   − cmin 11482  2c2 12305  3c3 12306  4c4 12307  5c5 12308  6c6 12309  7c7 12310  8c8 12311  ℕ₀cn0 12510  ;cdc 12715  ↑cexp 14066  ℙcprime 16649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-pre-sup 11224

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-2o 8494  df-oadd 8497  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-sup 9473  df-inf 9474  df-dju 9932  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-div 11910  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-xnn0 12583  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-q 12971  df-rp 13015  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-fl 13797  df-mod 13875  df-seq 14007  df-exp 14067  df-hash 14330  df-cj 15086  df-re 15087  df-im 15088  df-sqrt 15222  df-abs 15223  df-dvds 16239  df-gcd 16477  df-prm 16650  df-odz 16741  df-phi 16742  df-pc 16813

This theorem is referenced by: (None)