Theorem 4001prm 17240

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17203	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12363	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12768	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12768	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12550	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12546	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12754	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12754	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12754	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12543	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11185	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11425	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12775	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2786	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11501	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12551	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12554	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12862	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12356	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11426	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12808	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12808	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12547	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12754	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2856	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12543	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11493	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2769	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12549	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12341	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12763	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12347	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12548	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12409	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14247	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12847	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12343	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12844	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11245	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11425	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12804	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12809	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17172	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12552	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12754	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12553	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12362	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12416	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11429	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2856	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12432	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12412	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12430	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7426	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12365	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12824	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11429	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12802	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12433	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12415	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12431	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7424	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12359	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12353	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12816	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11429	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2783	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12802	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12797	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12414	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12349	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12845	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11245	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12775	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12809	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12810	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2786	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12883	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12271	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12882	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12782	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12773	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5132	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17238	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17239	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 17002	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7414  ℂcc 11125  0cc0 11127  1c1 11128   + caddc 11130   · cmul 11132   < clt 11270   − cmin 11468  2c2 12322  3c3 12323  4c4 12324  5c5 12325  6c6 12326  7c7 12327  8c8 12328  ℕ₀cn0 12531  ;cdc 12739  ↑cexp 14128  ℙcprime 16764

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-2o 8459  df-oadd 8462  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-dju 9909  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-q 13001  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fzo 13713  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-hash 14398  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-gcd 16588  df-prm 16765  df-odz 16859  df-phi 16860  df-pc 16932

This theorem is used by: (None)