MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  4001prm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 4001prm 17182
Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
4001prm.1 𝑁 = 4001
Assertion
Ref Expression
4001prm 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm
StepHypRef Expression
1 5prm 17146 . 2 5 ∈ ℙ
2 8nn 12361 . . . 4 8 ∈ ℕ
32decnncl2 12757 . . 3 80 ∈ ℕ
43decnncl2 12757 . 2 800 ∈ ℕ
5 4nn0 12545 . . . . . . . 8 4 ∈ ℕ0
6 0nn0 12541 . . . . . . . 8 0 ∈ ℕ0
75, 6deccl 12748 . . . . . . 7 40 ∈ ℕ0
87, 6deccl 12748 . . . . . 6 400 ∈ ℕ0
98, 6deccl 12748 . . . . 5 4000 ∈ ℕ0
109nn0cni 12538 . . . 4 4000 ∈ ℂ
11 ax-1cn 11213 . . . 4 1 ∈ ℂ
12 4001prm.1 . . . . 5 𝑁 = 4001
1311addlidi 11449 . . . . . 6 (0 + 1) = 1
14 eqid 2737 . . . . . 6 4000 = 4000
158, 6, 13, 14decsuc 12764 . . . . 5 (4000 + 1) = 4001
1612, 15eqtr4i 2768 . . . 4 𝑁 = (4000 + 1)
1710, 11, 16mvrraddi 11525 . . 3 (𝑁 − 1) = 4000
18 5nn0 12546 . . . 4 5 ∈ ℕ0
19 8nn0 12549 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2019, 6deccl 12748 . . . 4 80 ∈ ℕ0
21 eqid 2737 . . . 4 800 = 800
22 eqid 2737 . . . . 5 80 = 80
23 8t5e40 12851 . . . . 5 (8 · 5) = 40
24 5cn 12354 . . . . . 6 5 ∈ ℂ
2524mul02i 11450 . . . . 5 (0 · 5) = 0
2618, 19, 6, 22, 23, 25decmul1 12797 . . . 4 (80 · 5) = 400
2718, 20, 6, 21, 26, 25decmul1 12797 . . 3 (800 · 5) = 4000
2817, 27eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (800 · 5)
29 1nn0 12542 . . . . . . 7 1 ∈ ℕ0
308, 29deccl 12748 . . . . . 6 4001 ∈ ℕ0
3112, 30eqeltri 2837 . . . . 5 𝑁 ∈ ℕ0
3231nn0cni 12538 . . . 4 𝑁 ∈ ℂ
33 npcan 11517 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
3432, 11, 33mp2an 692 . . 3 ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
3534eqcomi 2746 . 2 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36 3nn0 12544 . . 3 3 ∈ ℕ0
37 2nn 12339 . . 3 2 ∈ ℕ
3836, 37decnncl 12753 . 2 32 ∈ ℕ
39 3nn 12345 . 2 3 ∈ ℕ
40 2nn0 12543 . . . . 5 2 ∈ ℕ0
4136, 40deccl 12748 . . . 4 32 ∈ ℕ0
4229, 40deccl 12748 . . . 4 12 ∈ ℕ0
43 2p1e3 12408 . . . . 5 (2 + 1) = 3
4424sqvali 14219 . . . . . . 7 (5↑2) = (5 · 5)
45 5t5e25 12836 . . . . . . 7 (5 · 5) = 25
4644, 45eqtri 2765 . . . . . 6 (5↑2) = 25
47 2cn 12341 . . . . . . . 8 2 ∈ ℂ
48 5t2e10 12833 . . . . . . . 8 (5 · 2) = 10
4924, 47, 48mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
5047addlidi 11449 . . . . . . 7 (0 + 2) = 2
5129, 6, 40, 49, 50decaddi 12793 . . . . . 6 ((2 · 5) + 2) = 12
5218, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45decmul1c 12798 . . . . 5 ((5↑2) · 5) = 125
5318, 40, 43, 52numexpp1 17115 . . . 4 (5↑3) = 125
54 6nn0 12547 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
5529, 54deccl 12748 . . . 4 16 ∈ ℕ0
56 eqid 2737 . . . . 5 12 = 12
57 eqid 2737 . . . . 5 16 = 16
58 7nn0 12548 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
59 7cn 12360 . . . . . . . 8 7 ∈ ℂ
60 7p1e8 12415 . . . . . . . 8 (7 + 1) = 8
6159, 11, 60addcomli 11453 . . . . . . 7 (1 + 7) = 8
6261, 19eqeltri 2837 . . . . . 6 (1 + 7) ∈ ℕ0
63 eqid 2737 . . . . . 6 32 = 32
64 3t1e3 12431 . . . . . . . 8 (3 · 1) = 3
6564oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66 3p1e4 12411 . . . . . . 7 (3 + 1) = 4
6765, 66eqtri 2765 . . . . . 6 ((3 · 1) + 1) = 4
68 2t1e2 12429 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
6968, 61oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70 8cn 12363 . . . . . . . 8 8 ∈ ℂ
71 8p2e10 12813 . . . . . . . 8 (8 + 2) = 10
7270, 47, 71addcomli 11453 . . . . . . 7 (2 + 8) = 10
7369, 72eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 1) + (1 + 7)) = 10
7436, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73decrmac 12791 . . . . 5 ((32 · 1) + (1 + 7)) = 40
75 3t2e6 12432 . . . . . . . 8 (3 · 2) = 6
7675oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77 6p1e7 12414 . . . . . . 7 (6 + 1) = 7
7876, 77eqtri 2765 . . . . . 6 ((3 · 2) + 1) = 7
79 2t2e4 12430 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
8079oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81 6cn 12357 . . . . . . . 8 6 ∈ ℂ
82 4cn 12351 . . . . . . . 8 4 ∈ ℂ
83 6p4e10 12805 . . . . . . . 8 (6 + 4) = 10
8481, 82, 83addcomli 11453 . . . . . . 7 (4 + 6) = 10
8580, 84eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + 6) = 10
8636, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85decrmac 12791 . . . . 5 ((32 · 2) + 6) = 70
8729, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86decma2c 12786 . . . 4 ((32 · 12) + 16) = 400
88 5p1e6 12413 . . . . . 6 (5 + 1) = 6
89 3cn 12347 . . . . . . 7 3 ∈ ℂ
90 5t3e15 12834 . . . . . . 7 (5 · 3) = 15
9124, 89, 90mulcomli 11270 . . . . . 6 (3 · 5) = 15
9229, 18, 88, 91decsuc 12764 . . . . 5 ((3 · 5) + 1) = 16
9318, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49decmul1c 12798 . . . 4 (32 · 5) = 160
9441, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93decmul2c 12799 . . 3 (32 · (5↑3)) = 4000
9517, 94eqtr4i 2768 . 2 (𝑁 − 1) = (32 · (5↑3))
96 2lt10 12871 . . . 4 2 < 10
97 1nn 12277 . . . . 5 1 ∈ ℕ
98 3lt10 12870 . . . . 5 3 < 10
9997, 40, 36, 98declti 12771 . . . 4 3 < 12
10036, 42, 40, 18, 96, 99decltc 12762 . . 3 32 < 125
101100, 53breqtrri 5170 . 2 32 < (5↑3)
102124001lem3 17180 . 2 ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103124001lem4 17181 . 2 (((2↑800) − 1) gcd 𝑁) = 1
1041, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103pockthi 16945 1 𝑁 ∈ ℙ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2108  (class class class)co 7431  cc 11153  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160   < clt 11295  cmin 11492  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  0cn0 12526  cdc 12733  cexp 14102  cprime 16708
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-oadd 8510  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-xnn0 12600  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-dvds 16291  df-gcd 16532  df-prm 16709  df-odz 16802  df-phi 16803  df-pc 16875
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator