Theorem 4001prm 16472

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16436	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 11726	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12116	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12116	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 11910	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 11906	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12107	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12107	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12107	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11903	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10589	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 10822	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12123	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2847	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 10897	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 11911	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 11914	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12107	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2821	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12210	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 11719	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 10823	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12156	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12156	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2847	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 11907	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12107	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2909	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11903	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 10889	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 690	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2830	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 11909	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 11704	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12112	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 11710	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 11908	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12107	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12107	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 11773	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 13537	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12195	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 11706	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12192	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10644	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 10822	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12152	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12157	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16408	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 11912	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12107	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2821	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 11913	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 11725	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 11780	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 10826	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2909	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 11796	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 11776	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 11794	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7162	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 11728	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12172	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 10826	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12150	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 11797	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 11779	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 11795	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7160	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 11722	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 11716	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12164	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 10826	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2844	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12150	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12145	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 11778	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 11712	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12193	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10644	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12123	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12157	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12158	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2847	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12230	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11643	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12229	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12130	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12121	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5085	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16470	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16471	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16237	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  0cc0 10531  1c1 10532   + caddc 10534   · cmul 10536   < clt 10669   − cmin 10864  2c2 11686  3c3 11687  4c4 11688  5c5 11689  6c6 11690  7c7 11691  8c8 11692  ℕ₀cn0 11891  ;cdc 12092  ↑cexp 13423  ℙcprime 16009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-dju 9324  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-xnn0 11962  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fzo 13028  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-hash 13685  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-prm 16010  df-odz 16096  df-phi 16097  df-pc 16168

This theorem is referenced by: (None)