Theorem 4001prm 16952

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16916	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12182	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12575	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12575	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12366	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12362	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12566	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12566	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12566	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12359	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11043	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 11277	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12582	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2769	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11352	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12367	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12370	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12566	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12669	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12175	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11278	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12615	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12615	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12363	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12566	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2835	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12359	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11344	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 691	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2747	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12365	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12160	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12571	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12166	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12364	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12566	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12566	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12229	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14011	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12654	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12162	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12651	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11098	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 11277	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12611	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12616	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16885	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12368	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12566	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12369	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12181	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12236	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11281	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2835	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12252	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7360	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12232	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12250	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7362	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12184	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12631	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11281	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12609	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12253	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7360	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12235	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12251	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7360	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12178	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12172	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12623	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11281	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2766	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12609	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12604	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12234	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12168	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12652	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11098	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12582	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12616	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12617	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2769	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12689	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12098	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12688	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12589	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12580	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5131	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16950	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16951	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16714	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7350  ℂcc 10983  0cc0 10985  1c1 10986   + caddc 10988   · cmul 10990   < clt 11123   − cmin 11319  2c2 12142  3c3 12143  4c4 12144  5c5 12145  6c6 12146  7c7 12147  8c8 12148  ℕ₀cn0 12347  ;cdc 12551  ↑cexp 13896  ℙcprime 16482

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-sup 9312  df-inf 9313  df-dju 9771  df-card 9809  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-xnn0 12420  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-dvds 16072  df-gcd 16310  df-prm 16483  df-odz 16572  df-phi 16573  df-pc 16644

This theorem is referenced by: (None)