Theorem 4001prm 17115

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17079	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12281	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12673	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12673	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12461	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12457	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12664	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12664	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11126	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11362	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12680	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2755	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11438	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12462	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12465	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12767	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12274	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11363	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12713	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12713	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12458	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12664	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2824	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12454	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11430	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2738	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12460	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12259	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12669	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12265	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12459	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12323	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14145	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12752	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12261	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12749	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11183	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11362	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12709	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12714	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17048	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12463	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12664	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12464	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12280	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12330	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11366	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2824	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12346	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12326	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12344	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7399	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12283	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12729	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11366	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12707	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12347	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12329	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12345	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7397	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12277	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12271	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12721	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11366	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2752	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12707	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12702	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12328	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12267	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12750	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11183	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12680	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12714	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12715	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2755	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12787	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12197	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12786	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12687	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12678	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5134	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17113	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17114	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16878	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   · cmul 11073   < clt 11208   − cmin 11405  2c2 12241  3c3 12242  4c4 12243  5c5 12244  6c6 12245  7c7 12246  8c8 12247  ℕ₀cn0 12442  ;cdc 12649  ↑cexp 14026  ℙcprime 16641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-dju 9854  df-card 9892  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-xnn0 12516  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-gcd 16465  df-prm 16642  df-odz 16735  df-phi 16736  df-pc 16808

This theorem is referenced by: (None)