Theorem 4001prm 16295

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 16259	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 11569	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 11960	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 11960	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 11753	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 11749	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 11951	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 11951	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 11951	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 11746	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 10430	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addid2i 10664	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2793	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 11967	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2820	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 10740	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 11754	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 11757	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 11951	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2793	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2793	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12055	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 11562	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 10665	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12000	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12000	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2820	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 11750	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 11951	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2877	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 11746	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 10732	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 688	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2802	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 11752	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 11547	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 11956	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 11553	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 11751	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 11951	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 11951	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 11616	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 13381	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12040	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2817	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 11549	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12037	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 10485	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addid2i 10664	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 11996	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12002	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 16231	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 11755	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 11951	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2793	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2793	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 11756	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 11568	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 11623	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 10668	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2877	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2793	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 11639	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 11619	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2817	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 11637	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7019	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 11571	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12017	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 10668	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2817	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 11994	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 11640	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 11622	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2817	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 11638	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7017	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 11565	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 11559	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12009	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 10668	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2817	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 11994	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 11989	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 11621	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 11555	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12038	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 10485	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 11967	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12002	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12003	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2820	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12075	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 11486	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12074	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 11974	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 11965	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 4983	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 16293	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 16294	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 16060	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Syntax hints:   = wceq 1520   ∈ wcel 2079  (class class class)co 7007  ℂcc 10370  0cc0 10372  1c1 10373   + caddc 10375   · cmul 10377   < clt 10510   − cmin 10706  2c2 11529  3c3 11530  4c4 11531  5c5 11532  6c6 11533  7c7 11534  8c8 11535  ℕ₀cn0 11734  ;cdc 11936  ↑cexp 13267  ℙcprime 15832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1775  ax-4 1789  ax-5 1886  ax-6 1945  ax-7 1990  ax-8 2081  ax-9 2089  ax-10 2110  ax-11 2124  ax-12 2139  ax-13 2342  ax-ext 2767  ax-rep 5075  ax-sep 5088  ax-nul 5095  ax-pow 5150  ax-pr 5214  ax-un 7310  ax-cnex 10428  ax-resscn 10429  ax-1cn 10430  ax-icn 10431  ax-addcl 10432  ax-addrcl 10433  ax-mulcl 10434  ax-mulrcl 10435  ax-mulcom 10436  ax-addass 10437  ax-mulass 10438  ax-distr 10439  ax-i2m1 10440  ax-1ne0 10441  ax-1rid 10442  ax-rnegex 10443  ax-rrecex 10444  ax-cnre 10445  ax-pre-lttri 10446  ax-pre-lttrn 10447  ax-pre-ltadd 10448  ax-pre-mulgt0 10449  ax-pre-sup 10450

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1079  df-3an 1080  df-tru 1523  df-ex 1760  df-nf 1764  df-sb 2041  df-mo 2574  df-eu 2610  df-clab 2774  df-cleq 2786  df-clel 2861  df-nfc 2933  df-ne 2983  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3434  df-sbc 3702  df-csb 3807  df-dif 3857  df-un 3859  df-in 3861  df-ss 3869  df-pss 3871  df-nul 4207  df-if 4376  df-pw 4449  df-sn 4467  df-pr 4469  df-tp 4471  df-op 4473  df-uni 4740  df-int 4777  df-iun 4821  df-br 4957  df-opab 5019  df-mpt 5036  df-tr 5058  df-id 5340  df-eprel 5345  df-po 5354  df-so 5355  df-fr 5394  df-we 5396  df-xp 5441  df-rel 5442  df-cnv 5443  df-co 5444  df-dm 5445  df-rn 5446  df-res 5447  df-ima 5448  df-pred 6015  df-ord 6061  df-on 6062  df-lim 6063  df-suc 6064  df-iota 6181  df-fun 6219  df-fn 6220  df-f 6221  df-f1 6222  df-fo 6223  df-f1o 6224  df-fv 6225  df-riota 6968  df-ov 7010  df-oprab 7011  df-mpo 7012  df-om 7428  df-1st 7536  df-2nd 7537  df-wrecs 7789  df-recs 7851  df-rdg 7889  df-1o 7944  df-2o 7945  df-oadd 7948  df-er 8130  df-map 8249  df-en 8348  df-dom 8349  df-sdom 8350  df-fin 8351  df-sup 8742  df-inf 8743  df-dju 9165  df-card 9203  df-pnf 10512  df-mnf 10513  df-xr 10514  df-ltxr 10515  df-le 10516  df-sub 10708  df-neg 10709  df-div 11135  df-nn 11476  df-2 11537  df-3 11538  df-4 11539  df-5 11540  df-6 11541  df-7 11542  df-8 11543  df-9 11544  df-n0 11735  df-xnn0 11805  df-z 11819  df-dec 11937  df-uz 12083  df-q 12187  df-rp 12229  df-fz 12732  df-fzo 12873  df-fl 13000  df-mod 13076  df-seq 13208  df-exp 13268  df-hash 13529  df-cj 14280  df-re 14281  df-im 14282  df-sqrt 14416  df-abs 14417  df-dvds 15429  df-gcd 15665  df-prm 15833  df-odz 15919  df-phi 15920  df-pc 15991

This theorem is referenced by: (None)