Theorem 4001prm 17367

Description: 4001 is a prime number. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)

Hypothesis

Ref	Expression
4001prm.1	⊢ 𝑁 = ;;;4001

Assertion

Ref	Expression
4001prm	⊢ 𝑁 ∈ ℙ

Proof of Theorem 4001prm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		5prm 17330	. 2 ⊢ 5 ∈ ℙ
2		8nn 12478	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℕ
3	2	decnncl2 12883	. . 3 ⊢ ;80 ∈ ℕ
4	3	decnncl2 12883	. 2 ⊢ ;;800 ∈ ℕ
5		4nn0 12665	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℕ0
6		0nn0 12661	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ ℕ0
7	5, 6	deccl 12869	. . . . . . 7 ⊢ ;40 ∈ ℕ0
8	7, 6	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;400 ∈ ℕ0
9	8, 6	deccl 12869	. . . . 5 ⊢ ;;;4000 ∈ ℕ0
10	9	nn0cni 12658	. . . 4 ⊢ ;;;4000 ∈ ℂ
11		ax-1cn 11297	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
12		4001prm.1	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = ;;;4001
13	11	addlidi 11537	. . . . . 6 ⊢ (0 + 1) = 1
14		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;;;4000 = ;;;4000
15	8, 6, 13, 14	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ (;;;4000 + 1) = ;;;4001
16	12, 15	eqtr4i 2789	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (;;;4000 + 1)
17	10, 11, 16	mvrraddi 11613	. . 3 ⊢ (𝑁 − 1) = ;;;4000
18		5nn0 12666	. . . 4 ⊢ 5 ∈ ℕ0
19		8nn0 12669	. . . . 5 ⊢ 8 ∈ ℕ0
20	19, 6	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;80 ∈ ℕ0
21		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ;;800 = ;;800
22		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;80 = ;80
23		8t5e40 12977	. . . . 5 ⊢ (8 · 5) = ;40
24		5cn 12471	. . . . . 6 ⊢ 5 ∈ ℂ
25	24	mul02i 11538	. . . . 5 ⊢ (0 · 5) = 0
26	18, 19, 6, 22, 23, 25	decmul1 12923	. . . 4 ⊢ (;80 · 5) = ;;400
27	18, 20, 6, 21, 26, 25	decmul1 12923	. . 3 ⊢ (;;800 · 5) = ;;;4000
28	17, 27	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;;800 · 5)
29		1nn0 12662	. . . . . . 7 ⊢ 1 ∈ ℕ0
30	8, 29	deccl 12869	. . . . . 6 ⊢ ;;;4001 ∈ ℕ0
31	12, 30	eqeltri 2860	. . . . 5 ⊢ 𝑁 ∈ ℕ0
32	31	nn0cni 12658	. . . 4 ⊢ 𝑁 ∈ ℂ
33		npcan 11605	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ) → ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁)
34	32, 11, 33	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) + 1) = 𝑁
35	34	eqcomi 2772	. 2 ⊢ 𝑁 = ((𝑁 − 1) + 1)
36		3nn0 12664	. . 3 ⊢ 3 ∈ ℕ0
37		2nn 12456	. . 3 ⊢ 2 ∈ ℕ
38	36, 37	decnncl 12878	. 2 ⊢ ;32 ∈ ℕ
39		3nn 12462	. 2 ⊢ 3 ∈ ℕ
40		2nn0 12663	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℕ0
41	36, 40	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;32 ∈ ℕ0
42	29, 40	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
43		2p1e3 12524	. . . . 5 ⊢ (2 + 1) = 3
44	24	sqvali 14363	. . . . . . 7 ⊢ (5↑2) = (5 · 5)
45		5t5e25 12962	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 5) = ;25
46	44, 45	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ (5↑2) = ;25
47		2cn 12458	. . . . . . . 8 ⊢ 2 ∈ ℂ
48		5t2e10 12959	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 2) = ;10
49	24, 47, 48	mulcomli 11357	. . . . . . 7 ⊢ (2 · 5) = ;10
50	47	addlidi 11537	. . . . . . 7 ⊢ (0 + 2) = 2
51	29, 6, 40, 49, 50	decaddi 12919	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 5) + 2) = ;12
52	18, 40, 18, 46, 18, 40, 51, 45	decmul1c 12924	. . . . 5 ⊢ ((5↑2) · 5) = ;;125
53	18, 40, 43, 52	numexpp1 17299	. . . 4 ⊢ (5↑3) = ;;125
54		6nn0 12667	. . . . 5 ⊢ 6 ∈ ℕ0
55	29, 54	deccl 12869	. . . 4 ⊢ ;16 ∈ ℕ0
56		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;12 = ;12
57		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ;16 = ;16
58		7nn0 12668	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℕ0
59		7cn 12477	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℂ
60		7p1e8 12531	. . . . . . . 8 ⊢ (7 + 1) = 8
61	59, 11, 60	addcomli 11541	. . . . . . 7 ⊢ (1 + 7) = 8
62	61, 19	eqeltri 2860	. . . . . 6 ⊢ (1 + 7) ∈ ℕ0
63		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ;32 = ;32
64		3t1e3 12547	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 1) = 3
65	64	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 1) + 1) = (3 + 1)
66		3p1e4 12527	. . . . . . 7 ⊢ (3 + 1) = 4
67	65, 66	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 1) + 1) = 4
68		2t1e2 12545	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 1) = 2
69	68, 61	oveq12i 7463	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = (2 + 8)
70		8cn 12480	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℂ
71		8p2e10 12939	. . . . . . . 8 ⊢ (8 + 2) = ;10
72	70, 47, 71	addcomli 11541	. . . . . . 7 ⊢ (2 + 8) = ;10
73	69, 72	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 1) + (1 + 7)) = ;10
74	36, 40, 62, 63, 29, 6, 29, 67, 73	decrmac 12917	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 1) + (1 + 7)) = ;40
75		3t2e6 12548	. . . . . . . 8 ⊢ (3 · 2) = 6
76	75	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((3 · 2) + 1) = (6 + 1)
77		6p1e7 12530	. . . . . . 7 ⊢ (6 + 1) = 7
78	76, 77	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((3 · 2) + 1) = 7
79		2t2e4 12546	. . . . . . . 8 ⊢ (2 · 2) = 4
80	79	oveq1i 7461	. . . . . . 7 ⊢ ((2 · 2) + 6) = (4 + 6)
81		6cn 12474	. . . . . . . 8 ⊢ 6 ∈ ℂ
82		4cn 12468	. . . . . . . 8 ⊢ 4 ∈ ℂ
83		6p4e10 12931	. . . . . . . 8 ⊢ (6 + 4) = ;10
84	81, 82, 83	addcomli 11541	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 6) = ;10
85	80, 84	eqtri 2786	. . . . . 6 ⊢ ((2 · 2) + 6) = ;10
86	36, 40, 54, 63, 40, 6, 29, 78, 85	decrmac 12917	. . . . 5 ⊢ ((;32 · 2) + 6) = ;70
87	29, 40, 29, 54, 56, 57, 41, 6, 58, 74, 86	decma2c 12912	. . . 4 ⊢ ((;32 · ;12) + ;16) = ;;400
88		5p1e6 12529	. . . . . 6 ⊢ (5 + 1) = 6
89		3cn 12464	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
90		5t3e15 12960	. . . . . . 7 ⊢ (5 · 3) = ;15
91	24, 89, 90	mulcomli 11357	. . . . . 6 ⊢ (3 · 5) = ;15
92	29, 18, 88, 91	decsuc 12890	. . . . 5 ⊢ ((3 · 5) + 1) = ;16
93	18, 36, 40, 63, 6, 29, 92, 49	decmul1c 12924	. . . 4 ⊢ (;32 · 5) = ;;160
94	41, 42, 18, 53, 6, 55, 87, 93	decmul2c 12925	. . 3 ⊢ (;32 · (5↑3)) = ;;;4000
95	17, 94	eqtr4i 2789	. 2 ⊢ (𝑁 − 1) = (;32 · (5↑3))
96		2lt10 12998	. . . 4 ⊢ 2 < ;10
97		1nn 12386	. . . . 5 ⊢ 1 ∈ ℕ
98		3lt10 12997	. . . . 5 ⊢ 3 < ;10
99	97, 40, 36, 98	declti 12897	. . . 4 ⊢ 3 < ;12
100	36, 42, 40, 18, 96, 99	decltc 12888	. . 3 ⊢ ;32 < ;;125
101	100, 53	breqtrri 5138	. 2 ⊢ ;32 < (5↑3)
102	12	4001lem3 17365	. 2 ⊢ ((2↑(𝑁 − 1)) mod 𝑁) = (1 mod 𝑁)
103	12	4001lem4 17366	. 2 ⊢ (((2↑;;800) − 1) gcd 𝑁) = 1
104	1, 4, 28, 35, 38, 39, 37, 95, 101, 102, 103	pockthi 17129	1 ⊢ 𝑁 ∈ ℙ

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   − cmin 11580  2c2 12437  3c3 12438  4c4 12439  5c5 12440  6c6 12441  7c7 12442  8c8 12443  ℕ₀cn0 12646  ;cdc 12854  ↑cexp 14244  ℙcprime 16890

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-oadd 8518  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-dju 10019  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-xnn0 12720  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-hash 14516  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-dvds 16467  df-gcd 16709  df-prm 16891  df-odz 16986  df-phi 16987  df-pc 17059

This theorem is used by: (None)