Theorem numexp2x 17170

Description: Double an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numexp.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numexpp1.2	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
numexp2x.3	⊢ (2 · 𝑀) = 𝑁
numexp2x.4	⊢ (𝐴↑𝑀) = 𝐷
numexp2x.5	⊢ (𝐷 · 𝐷) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
numexp2x	⊢ (𝐴↑𝑁) = 𝐶

Proof of Theorem numexp2x

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numexp2x.3	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑀) = 𝑁
2		numexpp1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 12540	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
4	3	2timesi 12402	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀)
5	1, 4	eqtr3i 2785	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 𝑀)
6	5	oveq2i 7424	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑀))
7		numexp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 12540	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		expadd 14168	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑀)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀)))
10	8, 2, 2, 9	mp3an 1490	. . 3 ⊢ (𝐴↑(𝑀 + 𝑀)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀))
11	6, 10	eqtri 2783	. 2 ⊢ (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀))
12		numexp2x.4	. . . 4 ⊢ (𝐴↑𝑀) = 𝐷
13	12, 12	oveq12i 7425	. . 3 ⊢ ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀)) = (𝐷 · 𝐷)
14		numexp2x.5	. . 3 ⊢ (𝐷 · 𝐷) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2783	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀)) = 𝐶
16	11, 15	eqtri 2783	1 ⊢ (𝐴↑𝑁) = 𝐶

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   + caddc 11127   · cmul 11129  2c2 12319  ℕ₀cn0 12528  ↑cexp 14125

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11467  df-neg 11468  df-nn 12258  df-2 12327  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12888  df-seq 14066  df-exp 14126

This theorem is used by:  2exp4  17176  2exp6  17178  2exp8  17180  2exp16  17182  1259lem1  17223  log2ub  27186  3exp7  42919  wallispi2lem2  46900