Theorem numexp2x 16248

Description: Double an integer power. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
numexp.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numexpp1.2	⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
numexp2x.3	⊢ (2 · 𝑀) = 𝑁
numexp2x.4	⊢ (𝐴↑𝑀) = 𝐷
numexp2x.5	⊢ (𝐷 · 𝐷) = 𝐶

Assertion

Ref	Expression
numexp2x	⊢ (𝐴↑𝑁) = 𝐶

Proof of Theorem numexp2x

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numexp2x.3	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑀) = 𝑁
2		numexpp1.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝑀 ∈ ℕ0
3	2	nn0cni 11763	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 ∈ ℂ
4	3	2timesi 11629	. . . . 5 ⊢ (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀)
5	1, 4	eqtr3i 2823	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (𝑀 + 𝑀)
6	5	oveq2i 7034	. . 3 ⊢ (𝐴↑𝑁) = (𝐴↑(𝑀 + 𝑀))
7		numexp.1	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
8	7	nn0cni 11763	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
9		expadd 13325	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐴↑(𝑀 + 𝑀)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀)))
10	8, 2, 2, 9	mp3an 1453	. . 3 ⊢ (𝐴↑(𝑀 + 𝑀)) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀))
11	6, 10	eqtri 2821	. 2 ⊢ (𝐴↑𝑁) = ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀))
12		numexp2x.4	. . . 4 ⊢ (𝐴↑𝑀) = 𝐷
13	12, 12	oveq12i 7035	. . 3 ⊢ ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀)) = (𝐷 · 𝐷)
14		numexp2x.5	. . 3 ⊢ (𝐷 · 𝐷) = 𝐶
15	13, 14	eqtri 2821	. 2 ⊢ ((𝐴↑𝑀) · (𝐴↑𝑀)) = 𝐶
16	11, 15	eqtri 2821	1 ⊢ (𝐴↑𝑁) = 𝐶

Syntax hints:   = wceq 1525   ∈ wcel 2083  (class class class)co 7023  ℂcc 10388   + caddc 10393   · cmul 10395  2c2 11546  ℕ₀cn0 11751  ↑cexp 13283

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1781  ax-4 1795  ax-5 1892  ax-6 1951  ax-7 1996  ax-8 2085  ax-9 2093  ax-10 2114  ax-11 2128  ax-12 2143  ax-13 2346  ax-ext 2771  ax-sep 5101  ax-nul 5108  ax-pow 5164  ax-pr 5228  ax-un 7326  ax-cnex 10446  ax-resscn 10447  ax-1cn 10448  ax-icn 10449  ax-addcl 10450  ax-addrcl 10451  ax-mulcl 10452  ax-mulrcl 10453  ax-mulcom 10454  ax-addass 10455  ax-mulass 10456  ax-distr 10457  ax-i2m1 10458  ax-1ne0 10459  ax-1rid 10460  ax-rnegex 10461  ax-rrecex 10462  ax-cnre 10463  ax-pre-lttri 10464  ax-pre-lttrn 10465  ax-pre-ltadd 10466  ax-pre-mulgt0 10467

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1528  df-ex 1766  df-nf 1770  df-sb 2045  df-mo 2578  df-eu 2614  df-clab 2778  df-cleq 2790  df-clel 2865  df-nfc 2937  df-ne 2987  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3442  df-sbc 3712  df-csb 3818  df-dif 3868  df-un 3870  df-in 3872  df-ss 3880  df-pss 3882  df-nul 4218  df-if 4388  df-pw 4461  df-sn 4479  df-pr 4481  df-tp 4483  df-op 4485  df-uni 4752  df-iun 4833  df-br 4969  df-opab 5031  df-mpt 5048  df-tr 5071  df-id 5355  df-eprel 5360  df-po 5369  df-so 5370  df-fr 5409  df-we 5411  df-xp 5456  df-rel 5457  df-cnv 5458  df-co 5459  df-dm 5460  df-rn 5461  df-res 5462  df-ima 5463  df-pred 6030  df-ord 6076  df-on 6077  df-lim 6078  df-suc 6079  df-iota 6196  df-fun 6234  df-fn 6235  df-f 6236  df-f1 6237  df-fo 6238  df-f1o 6239  df-fv 6240  df-riota 6984  df-ov 7026  df-oprab 7027  df-mpo 7028  df-om 7444  df-2nd 7553  df-wrecs 7805  df-recs 7867  df-rdg 7905  df-er 8146  df-en 8365  df-dom 8366  df-sdom 8367  df-pnf 10530  df-mnf 10531  df-xr 10532  df-ltxr 10533  df-le 10534  df-sub 10725  df-neg 10726  df-nn 11493  df-2 11554  df-n0 11752  df-z 11836  df-uz 12098  df-seq 13224  df-exp 13284

This theorem is referenced by:  2exp4  16254  2exp6  16255  2exp8  16256  2exp16  16257  1259lem1  16297  log2ub  25213  wallispi2lem2  41921