MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 17074
Description: Lemma for 2503prm 17077. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 12493 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 12496 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12696 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 12491 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12696 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 12295 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12701 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2827 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12289 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 12500 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 12699 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 12495 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12696 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12591 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 12492 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 12696 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 12696 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 12499 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 12696 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 12494 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 12696 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 12696 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 12366 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 12497 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 17026 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2730 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 12703 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 12380 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 11170 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addlidi 11406 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 7423 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 12362 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2758 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 12781 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 12712 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 12733 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 12785 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 12746 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 17015 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 7421 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 12316 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 12291 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 12803 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 11227 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2730 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 12696 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 12696 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2730 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2730 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2730 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2730 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 12341 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 12762 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 12742 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 12361 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 12735 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 12488 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addridi 11405 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 12696 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2730 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 12488 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2730 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 12351 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 12741 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 11410 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 12702 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 12363 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 7423 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2730 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 12307 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addlidi 11406 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 12741 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2758 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 12384 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 12763 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2758 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 12733 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 12702 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addlidi 11406 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 7423 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2730 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 12741 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2758 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 12304 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 12301 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 12783 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 11227 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 12712 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 12733 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 12734 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 12488 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 11408 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 7421 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addlidi 11406 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 12703 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2762 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 12734 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2730 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 12297 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mullidi 11223 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 11393 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 7423 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addridi 11405 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2758 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 11407 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2762 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 12733 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 12779 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 12741 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 12739 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 12734 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2730 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 12696 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2730 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2730 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 11410 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 12735 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 12498 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 12364 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 12703 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2758 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 7422 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 12784 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 12712 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2758 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mullidi 11223 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 7421 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 12310 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 12758 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 11410 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2758 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 12733 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 11227 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 12712 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 12733 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 12488 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulridi 11222 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulridi 11222 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 7421 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2758 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 12738 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 12734 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mullidi 11223 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 35, 146decmul1 12745 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 147, 29decmul1 12745 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 12747 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2761 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 17006 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1539  (class class class)co 7411  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117  cn 12216  2c2 12271  3c3 12272  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  cdc 12681   mod cmo 13838  cexp 14031
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032
This theorem is referenced by:  2503lem2  17075  2503lem3  17076
  Copyright terms: Public domain W3C validator