MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 17174
Description: Lemma for 2503prm 17177. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 12543 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 12546 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12748 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12748 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 12345 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12753 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2837 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12339 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 12550 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 12751 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 12545 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12748 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12642 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 12542 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 12748 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 12748 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 12549 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 12748 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 12544 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 12748 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 12748 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 12416 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 12547 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 17126 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2737 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 12755 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 12430 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 11213 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addlidi 11449 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 12412 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 12833 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 12764 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 12785 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 12837 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 12798 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 17115 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 7441 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 12366 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 12341 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 12855 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 11270 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2737 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 12748 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 12748 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2737 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2737 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2737 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2737 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 12391 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 12814 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 12794 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 12411 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 12787 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 12538 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addridi 11448 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 12748 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2737 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 12538 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2737 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 12401 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 12793 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 11453 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 12754 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 12413 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2737 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 12357 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 12793 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2765 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 12434 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 12815 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2765 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 12785 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 12754 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addlidi 11449 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2737 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 12793 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2765 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 12354 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 12351 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 12835 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 11270 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 12764 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 12785 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 12786 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 12538 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 11451 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 7441 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addlidi 11449 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 12755 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2769 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 12786 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2737 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 12347 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mullidi 11266 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 11436 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addridi 11448 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 11450 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2769 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 12785 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 12831 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 12793 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 12791 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 12786 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2737 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 12748 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2737 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2737 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 11453 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 12787 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 12548 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 12414 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 12755 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2765 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 12836 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 12764 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2765 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mullidi 11266 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 12360 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 12810 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 11453 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 12785 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 11270 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 12764 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 12785 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 12538 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulridi 11265 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulridi 11265 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 12790 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 12786 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mullidi 11266 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 35, 146decmul1 12797 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 147, 29decmul1 12797 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 12799 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2768 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 17107 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  (class class class)co 7431  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  cn 12266  2c2 12321  3c3 12322  4c4 12323  5c5 12324  6c6 12325  7c7 12326  8c8 12327  9c9 12328  cdc 12733   mod cmo 13909  cexp 14102
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-rp 13035  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14043  df-exp 14103
This theorem is referenced by:  2503lem2  17175  2503lem3  17176
  Copyright terms: Public domain W3C validator