MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 17070
Description: Lemma for 2503prm 17073. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 12489 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 12492 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12692 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 12487 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12692 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 12291 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12697 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2830 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12285 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 12496 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 12695 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 12491 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12692 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12587 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 12488 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 12692 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 12692 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 12495 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 12692 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 12490 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 12692 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 12692 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 12362 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 12493 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 17022 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2733 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 12699 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 12376 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 11168 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addlidi 11402 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 7421 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 12358 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2761 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 12777 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 12708 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 12729 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 12781 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 12742 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 17011 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 7419 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 12312 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 12287 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 12799 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 11223 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2733 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 12692 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 12692 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2733 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2733 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2733 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2733 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 12337 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 12758 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 12738 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 12357 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 12731 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 12484 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addridi 11401 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 12692 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2733 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 12484 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2733 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 12347 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 12737 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 11406 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 12698 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 12359 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 7421 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2733 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 12303 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addlidi 11402 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 12737 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2761 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 12380 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 12759 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2761 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 12729 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 12698 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addlidi 11402 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 7421 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2733 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 12737 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2761 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 12300 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 12297 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 12779 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 11223 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 12708 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 12729 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 12730 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 12484 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 11404 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 7419 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addlidi 11402 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 12699 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2765 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 12730 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2733 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 12293 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mullidi 11219 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 11389 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 7421 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addridi 11401 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2761 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 11403 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 7419 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2765 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 12729 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 12775 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 12737 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 12735 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 12730 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2733 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 12692 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2733 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2733 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 11406 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 12731 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 12494 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 12360 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 12699 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2761 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 7420 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 12780 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 12708 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2761 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mullidi 11219 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 7419 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 12306 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 12754 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 11406 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2761 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 12729 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 11223 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 12708 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 12729 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 12484 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulridi 11218 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulridi 11218 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 7419 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2761 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 12734 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 12730 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mullidi 11219 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 35, 146decmul1 12741 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 147, 29decmul1 12741 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 12743 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2764 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 17002 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7409  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   · cmul 11115  cn 12212  2c2 12267  3c3 12268  4c4 12269  5c5 12270  6c6 12271  7c7 12272  8c8 12273  9c9 12274  cdc 12677   mod cmo 13834  cexp 14027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028
This theorem is referenced by:  2503lem2  17071  2503lem3  17072
  Copyright terms: Public domain W3C validator