MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 17171
Description: Lemma for 2503prm 17174. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 12541 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 12544 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12746 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 12539 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12746 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 12343 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12751 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2835 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12337 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 12548 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 12749 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 12543 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12746 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12640 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 12540 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 12746 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 12746 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 12547 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 12746 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 12542 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 12746 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 12746 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 12414 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 12545 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 17123 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2735 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 12753 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 12428 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 11211 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addlidi 11447 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 12410 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 12831 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 12762 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 12783 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 12835 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 12796 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 17112 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 7441 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 12364 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 12339 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 12853 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 11268 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2735 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 12746 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 12746 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2735 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2735 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2735 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2735 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 12389 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 12812 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 12792 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 12409 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 12785 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 12536 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addridi 11446 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 12746 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2735 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 12536 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2735 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 12399 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 12791 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 11451 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 12752 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 12411 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2735 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 12355 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addlidi 11447 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 12791 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2763 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 12432 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 12813 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2763 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 12783 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 12752 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addlidi 11447 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 7443 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2735 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 12791 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2763 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 12352 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 12349 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 12833 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 11268 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 12762 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 12783 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 12784 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 12536 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 11449 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 7441 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addlidi 11447 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 12753 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2767 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 12784 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2735 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 12345 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mullidi 11264 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 11434 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 7443 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addridi 11446 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2763 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 11448 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2767 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 12783 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 12829 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 12791 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 12789 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 12784 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2735 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 12746 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2735 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2735 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 11451 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 12785 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 12546 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 12412 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 12753 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2763 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 7442 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 12834 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 12762 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2763 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mullidi 11264 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 7441 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 12358 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 12808 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 11451 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2763 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 12783 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 11268 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 12762 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 12783 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 12536 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulridi 11263 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulridi 11263 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 7441 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2763 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 12788 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 12784 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mullidi 11264 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 35, 146decmul1 12795 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 147, 29decmul1 12795 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 12797 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2766 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 17103 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1537  (class class class)co 7431  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158  cn 12264  2c2 12319  3c3 12320  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  cdc 12731   mod cmo 13906  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-mod 13907  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  2503lem2  17172  2503lem3  17173
  Copyright terms: Public domain W3C validator