MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 17016
Description: Lemma for 2503prm 17019. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 12437 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 12440 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 12640 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 12435 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 12640 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 12239 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 12645 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2834 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 12233 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 12444 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 12643 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 12439 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 12640 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 12535 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 12436 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 12640 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 12640 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 12443 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 12640 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 12438 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 12640 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 12640 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 12310 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 12441 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 16968 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2737 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 12647 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 12324 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 11116 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addid2i 11350 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 12306 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 12725 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 12656 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 12677 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 12729 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 12690 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 16957 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 7372 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 12260 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 12235 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 12747 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 11171 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2737 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 12640 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 12640 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2737 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2737 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2737 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2737 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 12285 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 12706 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 12686 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 12305 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 12679 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 12432 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addid1i 11349 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 12640 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2737 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 12432 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2737 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 12295 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 12685 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 11354 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 12646 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 12307 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2737 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 12251 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 12685 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2765 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 12328 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 12707 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2765 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 12677 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 12646 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addid2i 11350 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 7374 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2737 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 12685 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2765 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 12248 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 12245 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 12727 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 11171 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 12656 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 12677 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 12678 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 12432 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 11352 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 7372 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addid2i 11350 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 12647 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2769 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 12678 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2737 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 12241 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mulid2i 11167 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 11337 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 7374 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addid1i 11349 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2765 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 11351 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2769 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 12677 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 12723 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 12685 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 12683 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 12678 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2737 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 12640 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2737 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2737 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 11354 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 12679 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 12442 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 12308 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 12647 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2765 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 7373 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 12728 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 12656 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2765 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mulid2i 11167 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 7372 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 12254 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 12702 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 11354 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2765 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 12677 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 11171 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 12656 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 12677 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 12432 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulid1i 11166 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulid1i 11166 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 7372 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2765 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 12682 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 12678 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mulid2i 11167 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 35, 146decmul1 12689 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 147, 29decmul1 12689 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 12691 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2768 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 16948 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1542  (class class class)co 7362  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   · cmul 11063  cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cdc 12625   mod cmo 13781  cexp 13974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975
This theorem is referenced by:  2503lem2  17017  2503lem3  17018
  Copyright terms: Public domain W3C validator