MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  2503lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2503lem1 16075
Description: Lemma for 2503prm 16078. Calculate a power mod. In decimal, we calculate 2↑18 = 512↑2 = 104𝑁 + 1832≡1832. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Apr-2015.) (Proof shortened by AV, 16-Sep-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
2503prm.1 𝑁 = 2503
Assertion
Ref Expression
2503lem1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)

Proof of Theorem 2503lem1
StepHypRef Expression
1 2503prm.1 . . 3 𝑁 = 2503
2 2nn0 11596 . . . . . 6 2 ∈ ℕ0
3 5nn0 11599 . . . . . 6 5 ∈ ℕ0
42, 3deccl 11794 . . . . 5 25 ∈ ℕ0
5 0nn0 11594 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
64, 5deccl 11794 . . . 4 250 ∈ ℕ0
7 3nn 11392 . . . 4 3 ∈ ℕ
86, 7decnncl 11799 . . 3 2503 ∈ ℕ
91, 8eqeltri 2892 . 2 𝑁 ∈ ℕ
10 2nn 11386 . 2 2 ∈ ℕ
11 9nn0 11603 . 2 9 ∈ ℕ0
12 10nn0 11797 . . . 4 10 ∈ ℕ0
13 4nn0 11598 . . . 4 4 ∈ ℕ0
1412, 13deccl 11794 . . 3 104 ∈ ℕ0
1514nn0zi 11688 . 2 104 ∈ ℤ
16 1nn0 11595 . . . 4 1 ∈ ℕ0
173, 16deccl 11794 . . 3 51 ∈ ℕ0
1817, 2deccl 11794 . 2 512 ∈ ℕ0
19 8nn0 11602 . . . . 5 8 ∈ ℕ0
2016, 19deccl 11794 . . . 4 18 ∈ ℕ0
21 3nn0 11597 . . . 4 3 ∈ ℕ0
2220, 21deccl 11794 . . 3 183 ∈ ℕ0
2322, 2deccl 11794 . 2 1832 ∈ ℕ0
24 8p1e9 11469 . . . 4 (8 + 1) = 9
25 6nn0 11600 . . . . 5 6 ∈ ℕ0
26 2exp8 16028 . . . . 5 (2↑8) = 256
27 eqid 2817 . . . . . 6 25 = 25
2816dec0h 11801 . . . . . 6 1 = 01
29 2t2e4 11483 . . . . . . . 8 (2 · 2) = 4
30 ax-1cn 10289 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℂ
3130addid2i 10519 . . . . . . . 8 (0 + 1) = 1
3229, 31oveq12i 6896 . . . . . . 7 ((2 · 2) + (0 + 1)) = (4 + 1)
33 4p1e5 11465 . . . . . . 7 (4 + 1) = 5
3432, 33eqtri 2839 . . . . . 6 ((2 · 2) + (0 + 1)) = 5
35 5t2e10 11879 . . . . . . 7 (5 · 2) = 10
3616, 5, 31, 35decsuc 11810 . . . . . 6 ((5 · 2) + 1) = 11
372, 3, 5, 16, 27, 28, 2, 16, 16, 34, 36decmac 11831 . . . . 5 ((25 · 2) + 1) = 51
38 6t2e12 11883 . . . . 5 (6 · 2) = 12
392, 4, 25, 26, 2, 16, 37, 38decmul1c 11844 . . . 4 ((2↑8) · 2) = 512
402, 19, 24, 39numexpp1 16019 . . 3 (2↑9) = 512
4140oveq1i 6894 . 2 ((2↑9) mod 𝑁) = (512 mod 𝑁)
42 9cn 11419 . . 3 9 ∈ ℂ
43 2cn 11388 . . 3 2 ∈ ℂ
44 9t2e18 11901 . . 3 (9 · 2) = 18
4542, 43, 44mulcomli 10344 . 2 (2 · 9) = 18
46 eqid 2817 . . . 4 1832 = 1832
4721, 16deccl 11794 . . . 4 31 ∈ ℕ0
482, 16deccl 11794 . . . . 5 21 ∈ ℕ0
49 eqid 2817 . . . . 5 250 = 250
50 eqid 2817 . . . . . 6 183 = 183
51 eqid 2817 . . . . . 6 31 = 31
52 eqid 2817 . . . . . . 7 18 = 18
53 1p1e2 11445 . . . . . . 7 (1 + 1) = 2
54 8p3e11 11860 . . . . . . 7 (8 + 3) = 11
5516, 19, 21, 52, 53, 16, 54decaddci 11840 . . . . . 6 (18 + 3) = 21
56 3p1e4 11464 . . . . . 6 (3 + 1) = 4
5720, 21, 21, 16, 50, 51, 55, 56decadd 11833 . . . . 5 (183 + 31) = 214
5848nn0cni 11591 . . . . . . 7 21 ∈ ℂ
5958addid1i 10518 . . . . . 6 (21 + 0) = 21
603, 2deccl 11794 . . . . . 6 52 ∈ ℕ0
61 eqid 2817 . . . . . . 7 104 = 104
6260nn0cni 11591 . . . . . . . 8 52 ∈ ℂ
63 eqid 2817 . . . . . . . . 9 52 = 52
64 2p2e4 11455 . . . . . . . . 9 (2 + 2) = 4
653, 2, 2, 63, 64decaddi 11839 . . . . . . . 8 (52 + 2) = 54
6662, 43, 65addcomli 10523 . . . . . . 7 (2 + 52) = 54
672dec0u 11800 . . . . . . . . 9 (10 · 2) = 20
68 5p1e6 11466 . . . . . . . . 9 (5 + 1) = 6
6967, 68oveq12i 6896 . . . . . . . 8 ((10 · 2) + (5 + 1)) = (20 + 6)
70 eqid 2817 . . . . . . . . 9 20 = 20
71 6cn 11407 . . . . . . . . . 10 6 ∈ ℂ
7271addid2i 10519 . . . . . . . . 9 (0 + 6) = 6
732, 5, 25, 70, 72decaddi 11839 . . . . . . . 8 (20 + 6) = 26
7469, 73eqtri 2839 . . . . . . 7 ((10 · 2) + (5 + 1)) = 26
75 4t2e8 11487 . . . . . . . . 9 (4 · 2) = 8
7675oveq1i 6894 . . . . . . . 8 ((4 · 2) + 4) = (8 + 4)
77 8p4e12 11861 . . . . . . . 8 (8 + 4) = 12
7876, 77eqtri 2839 . . . . . . 7 ((4 · 2) + 4) = 12
7912, 13, 3, 13, 61, 66, 2, 2, 16, 74, 78decmac 11831 . . . . . 6 ((104 · 2) + (2 + 52)) = 262
803dec0u 11800 . . . . . . . . 9 (10 · 5) = 50
8143addid2i 10519 . . . . . . . . 9 (0 + 2) = 2
8280, 81oveq12i 6896 . . . . . . . 8 ((10 · 5) + (0 + 2)) = (50 + 2)
83 eqid 2817 . . . . . . . . 9 50 = 50
843, 5, 2, 83, 81decaddi 11839 . . . . . . . 8 (50 + 2) = 52
8582, 84eqtri 2839 . . . . . . 7 ((10 · 5) + (0 + 2)) = 52
86 5cn 11403 . . . . . . . . 9 5 ∈ ℂ
87 4cn 11399 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℂ
88 5t4e20 11881 . . . . . . . . 9 (5 · 4) = 20
8986, 87, 88mulcomli 10344 . . . . . . . 8 (4 · 5) = 20
902, 5, 31, 89decsuc 11810 . . . . . . 7 ((4 · 5) + 1) = 21
9112, 13, 5, 16, 61, 28, 3, 16, 2, 85, 90decmac 11831 . . . . . 6 ((104 · 5) + 1) = 521
922, 3, 2, 16, 27, 59, 14, 16, 60, 79, 91decma2c 11832 . . . . 5 ((104 · 25) + (21 + 0)) = 2621
9314nn0cni 11591 . . . . . . . 8 104 ∈ ℂ
9493mul01i 10521 . . . . . . 7 (104 · 0) = 0
9594oveq1i 6894 . . . . . 6 ((104 · 0) + 4) = (0 + 4)
9687addid2i 10519 . . . . . 6 (0 + 4) = 4
9713dec0h 11801 . . . . . 6 4 = 04
9895, 96, 973eqtri 2843 . . . . 5 ((104 · 0) + 4) = 04
994, 5, 48, 13, 49, 57, 14, 13, 5, 92, 98decma2c 11832 . . . 4 ((104 · 250) + (183 + 31)) = 26214
100 eqid 2817 . . . . . 6 10 = 10
101 3cn 11394 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℂ
102101mulid2i 10340 . . . . . . . 8 (1 · 3) = 3
103 00id 10506 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
104102, 103oveq12i 6896 . . . . . . 7 ((1 · 3) + (0 + 0)) = (3 + 0)
105101addid1i 10518 . . . . . . 7 (3 + 0) = 3
106104, 105eqtri 2839 . . . . . 6 ((1 · 3) + (0 + 0)) = 3
107101mul02i 10520 . . . . . . . 8 (0 · 3) = 0
108107oveq1i 6894 . . . . . . 7 ((0 · 3) + 1) = (0 + 1)
109108, 31, 283eqtri 2843 . . . . . 6 ((0 · 3) + 1) = 01
11016, 5, 5, 16, 100, 28, 21, 16, 5, 106, 109decmac 11831 . . . . 5 ((10 · 3) + 1) = 31
111 4t3e12 11877 . . . . . 6 (4 · 3) = 12
11216, 2, 2, 111, 64decaddi 11839 . . . . 5 ((4 · 3) + 2) = 14
11312, 13, 2, 61, 21, 13, 16, 110, 112decrmac 11837 . . . 4 ((104 · 3) + 2) = 314
1146, 21, 22, 2, 1, 46, 14, 13, 47, 99, 113decma2c 11832 . . 3 ((104 · 𝑁) + 1832) = 262144
115 eqid 2817 . . . 4 512 = 512
11612, 2deccl 11794 . . . 4 102 ∈ ℕ0
117 eqid 2817 . . . . 5 51 = 51
118 eqid 2817 . . . . 5 102 = 102
11986, 30, 68addcomli 10523 . . . . . . 7 (1 + 5) = 6
12016, 5, 3, 16, 100, 117, 119, 31decadd 11833 . . . . . 6 (10 + 51) = 61
121 7nn0 11601 . . . . . . 7 7 ∈ ℕ0
122 6p1e7 11467 . . . . . . . 8 (6 + 1) = 7
123121dec0h 11801 . . . . . . . 8 7 = 07
124122, 123eqtri 2839 . . . . . . 7 (6 + 1) = 07
12531oveq2i 6895 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + (0 + 1)) = ((5 · 5) + 1)
126 5t5e25 11882 . . . . . . . . 9 (5 · 5) = 25
1272, 3, 68, 126decsuc 11810 . . . . . . . 8 ((5 · 5) + 1) = 26
128125, 127eqtri 2839 . . . . . . 7 ((5 · 5) + (0 + 1)) = 26
12986mulid2i 10340 . . . . . . . . 9 (1 · 5) = 5
130129oveq1i 6894 . . . . . . . 8 ((1 · 5) + 7) = (5 + 7)
131 7cn 11411 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℂ
132 7p5e12 11856 . . . . . . . . 9 (7 + 5) = 12
133131, 86, 132addcomli 10523 . . . . . . . 8 (5 + 7) = 12
134130, 133eqtri 2839 . . . . . . 7 ((1 · 5) + 7) = 12
1353, 16, 5, 121, 117, 124, 3, 2, 16, 128, 134decmac 11831 . . . . . 6 ((51 · 5) + (6 + 1)) = 262
13686, 43, 35mulcomli 10344 . . . . . . 7 (2 · 5) = 10
13716, 5, 31, 136decsuc 11810 . . . . . 6 ((2 · 5) + 1) = 11
13817, 2, 25, 16, 115, 120, 3, 16, 16, 135, 137decmac 11831 . . . . 5 ((512 · 5) + (10 + 51)) = 2621
13917nn0cni 11591 . . . . . . 7 51 ∈ ℂ
140139mulid1i 10339 . . . . . 6 (51 · 1) = 51
14143mulid1i 10339 . . . . . . . 8 (2 · 1) = 2
142141oveq1i 6894 . . . . . . 7 ((2 · 1) + 2) = (2 + 2)
143142, 64eqtri 2839 . . . . . 6 ((2 · 1) + 2) = 4
14417, 2, 2, 115, 16, 140, 143decrmanc 11836 . . . . 5 ((512 · 1) + 2) = 514
1453, 16, 12, 2, 117, 118, 18, 13, 17, 138, 144decma2c 11832 . . . 4 ((512 · 51) + 102) = 26214
14643mulid2i 10340 . . . . . 6 (1 · 2) = 2
1472, 3, 16, 117, 2, 35, 146decmul1 11843 . . . . 5 (51 · 2) = 102
1482, 17, 2, 115, 13, 147, 29decmul1 11843 . . . 4 (512 · 2) = 1024
14918, 17, 2, 115, 13, 116, 145, 148decmul2c 11845 . . 3 (512 · 512) = 262144
150114, 149eqtr4i 2842 . 2 ((104 · 𝑁) + 1832) = (512 · 512)
1519, 10, 11, 15, 18, 23, 41, 45, 150mod2xi 16010 1 ((2↑18) mod 𝑁) = (1832 mod 𝑁)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1637  (class class class)co 6884  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236  cn 11315  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  5c5 11371  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  cdc 11779   mod cmo 12912  cexp 13103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-om 7306  df-2nd 7409  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-er 7989  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-sup 8597  df-inf 8598  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-rp 12067  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104
This theorem is referenced by:  2503lem2  16076  2503lem3  16077
  Copyright terms: Public domain W3C validator