MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numltc 12700
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•
numlt.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numlt.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numltc.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numltc.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
numltc.5 ๐ถ < ๐‘‡
numltc.6 ๐ด < ๐ต
Assertion
Ref Expression
numltc ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•
2 numlt.2 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 numltc.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„•0
4 numltc.5 . . . . 5 ๐ถ < ๐‘‡
51, 2, 3, 1, 4numlt 12699 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
61nnrei 12218 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„
76recni 11225 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
82nn0rei 12480 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„
98recni 11225 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
10 ax-1cn 11165 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
117, 9, 10adddii 11223 . . . . 5 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1))
127mulridi 11215 . . . . . 6 (๐‘‡ ยท 1) = ๐‘‡
1312oveq2i 7417 . . . . 5 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
1411, 13eqtri 2761 . . . 4 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
155, 14breqtrri 5175 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท (๐ด + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 ๐ด < ๐ต
17 numlt.3 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
18 nn0ltp1le 12617 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต))
192, 17, 18mp2an 691 . . . . 5 (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต)
2016, 19mpbi 229 . . . 4 (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต
211nngt0i 12248 . . . . 5 0 < ๐‘‡
22 peano2re 11384 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ด + 1) โˆˆ โ„
2417nn0rei 12480 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
2523, 24, 6lemul2i 12134 . . . . 5 (0 < ๐‘‡ โ†’ ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต))
2720, 26mpbi 229 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)
286, 8remulcli 11227 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„
293nn0rei 12480 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3028, 29readdcli 11226 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) โˆˆ โ„
316, 23remulcli 11227 . . . 4 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„
326, 24remulcli 11227 . . . 4 (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆˆ โ„
3330, 31, 32ltletri 11339 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โˆง (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต))
3415, 27, 33mp2an 691 . 2 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต)
35 numltc.4 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
3632, 35nn0addge1i 12517 . 2 (๐‘‡ ยท ๐ต) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)
3735nn0rei 12480 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„
3832, 37readdcli 11226 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท) โˆˆ โ„
3930, 32, 38ltletri 11339 . 2 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆง (๐‘‡ ยท ๐ต) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท))
4034, 36, 39mp2an 691 1 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  โ„cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110   ยท cmul 11112   < clt 11245   โ‰ค cle 11246  โ„•cn 12209  โ„•0cn0 12469
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556
This theorem is referenced by:  decltc  12703  numlti  12711
  Copyright terms: Public domain W3C validator