![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numltc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
numlt.1 | โข ๐ โ โ |
numlt.2 | โข ๐ด โ โ0 |
numlt.3 | โข ๐ต โ โ0 |
numltc.3 | โข ๐ถ โ โ0 |
numltc.4 | โข ๐ท โ โ0 |
numltc.5 | โข ๐ถ < ๐ |
numltc.6 | โข ๐ด < ๐ต |
Ref | Expression |
---|---|
numltc | โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | numlt.1 | . . . . 5 โข ๐ โ โ | |
2 | numlt.2 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
3 | numltc.3 | . . . . 5 โข ๐ถ โ โ0 | |
4 | numltc.5 | . . . . 5 โข ๐ถ < ๐ | |
5 | 1, 2, 3, 1, 4 | numlt 12601 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ด) + ๐) |
6 | 1 | nnrei 12120 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ |
7 | 6 | recni 11127 | . . . . . 6 โข ๐ โ โ |
8 | 2 | nn0rei 12382 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ |
9 | 8 | recni 11127 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ |
10 | ax-1cn 11067 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
11 | 7, 9, 10 | adddii 11125 | . . . . 5 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท 1)) |
12 | 7 | mulid1i 11117 | . . . . . 6 โข (๐ ยท 1) = ๐ |
13 | 12 | oveq2i 7362 | . . . . 5 โข ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท 1)) = ((๐ ยท ๐ด) + ๐) |
14 | 11, 13 | eqtri 2765 | . . . 4 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) = ((๐ ยท ๐ด) + ๐) |
15 | 5, 14 | breqtrri 5130 | . . 3 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท (๐ด + 1)) |
16 | numltc.6 | . . . . 5 โข ๐ด < ๐ต | |
17 | numlt.3 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ0 | |
18 | nn0ltp1le 12519 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด + 1) โค ๐ต)) | |
19 | 2, 17, 18 | mp2an 690 | . . . . 5 โข (๐ด < ๐ต โ (๐ด + 1) โค ๐ต) |
20 | 16, 19 | mpbi 229 | . . . 4 โข (๐ด + 1) โค ๐ต |
21 | 1 | nngt0i 12150 | . . . . 5 โข 0 < ๐ |
22 | peano2re 11286 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | |
23 | 8, 22 | ax-mp 5 | . . . . . 6 โข (๐ด + 1) โ โ |
24 | 17 | nn0rei 12382 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
25 | 23, 24, 6 | lemul2i 12036 | . . . . 5 โข (0 < ๐ โ ((๐ด + 1) โค ๐ต โ (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต))) |
26 | 21, 25 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ((๐ด + 1) โค ๐ต โ (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต)) |
27 | 20, 26 | mpbi 229 | . . 3 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต) |
28 | 6, 8 | remulcli 11129 | . . . . 5 โข (๐ ยท ๐ด) โ โ |
29 | 3 | nn0rei 12382 | . . . . 5 โข ๐ถ โ โ |
30 | 28, 29 | readdcli 11128 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) โ โ |
31 | 6, 23 | remulcli 11129 | . . . 4 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) โ โ |
32 | 6, 24 | remulcli 11129 | . . . 4 โข (๐ ยท ๐ต) โ โ |
33 | 30, 31, 32 | ltletri 11241 | . . 3 โข ((((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท (๐ด + 1)) โง (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต)) โ ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท ๐ต)) |
34 | 15, 27, 33 | mp2an 690 | . 2 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท ๐ต) |
35 | numltc.4 | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
36 | 32, 35 | nn0addge1i 12419 | . 2 โข (๐ ยท ๐ต) โค ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
37 | 35 | nn0rei 12382 | . . . 4 โข ๐ท โ โ |
38 | 32, 37 | readdcli 11128 | . . 3 โข ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) โ โ |
39 | 30, 32, 38 | ltletri 11241 | . 2 โข ((((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท ๐ต) โง (๐ ยท ๐ต) โค ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท)) โ ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท)) |
40 | 34, 36, 39 | mp2an 690 | 1 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โ wcel 2106 class class class wbr 5103 (class class class)co 7351 โcr 11008 0cc0 11009 1c1 11010 + caddc 11012 ยท cmul 11014 < clt 11147 โค cle 11148 โcn 12111 โ0cn0 12371 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2708 ax-sep 5254 ax-nul 5261 ax-pow 5318 ax-pr 5382 ax-un 7664 ax-resscn 11066 ax-1cn 11067 ax-icn 11068 ax-addcl 11069 ax-addrcl 11070 ax-mulcl 11071 ax-mulrcl 11072 ax-mulcom 11073 ax-addass 11074 ax-mulass 11075 ax-distr 11076 ax-i2m1 11077 ax-1ne0 11078 ax-1rid 11079 ax-rnegex 11080 ax-rrecex 11081 ax-cnre 11082 ax-pre-lttri 11083 ax-pre-lttrn 11084 ax-pre-ltadd 11085 ax-pre-mulgt0 11086 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2887 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3352 df-rab 3406 df-v 3445 df-sbc 3738 df-csb 3854 df-dif 3911 df-un 3913 df-in 3915 df-ss 3925 df-pss 3927 df-nul 4281 df-if 4485 df-pw 4560 df-sn 4585 df-pr 4587 df-op 4591 df-uni 4864 df-iun 4954 df-br 5104 df-opab 5166 df-mpt 5187 df-tr 5221 df-id 5529 df-eprel 5535 df-po 5543 df-so 5544 df-fr 5586 df-we 5588 df-xp 5637 df-rel 5638 df-cnv 5639 df-co 5640 df-dm 5641 df-rn 5642 df-res 5643 df-ima 5644 df-pred 6251 df-ord 6318 df-on 6319 df-lim 6320 df-suc 6321 df-iota 6445 df-fun 6495 df-fn 6496 df-f 6497 df-f1 6498 df-fo 6499 df-f1o 6500 df-fv 6501 df-riota 7307 df-ov 7354 df-oprab 7355 df-mpo 7356 df-om 7795 df-2nd 7914 df-frecs 8204 df-wrecs 8235 df-recs 8309 df-rdg 8348 df-er 8606 df-en 8842 df-dom 8843 df-sdom 8844 df-pnf 11149 df-mnf 11150 df-xr 11151 df-ltxr 11152 df-le 11153 df-sub 11345 df-neg 11346 df-nn 12112 df-n0 12372 df-z 12458 |
This theorem is referenced by: decltc 12605 numlti 12613 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |