MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  numltc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem numltc 12640
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
numlt.1 ๐‘‡ โˆˆ โ„•
numlt.2 ๐ด โˆˆ โ„•0
numlt.3 ๐ต โˆˆ โ„•0
numltc.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
numltc.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
numltc.5 ๐ถ < ๐‘‡
numltc.6 ๐ด < ๐ต
Assertion
Ref Expression
numltc ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)

Proof of Theorem numltc
StepHypRef Expression
1 numlt.1 . . . . 5 ๐‘‡ โˆˆ โ„•
2 numlt.2 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„•0
3 numltc.3 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„•0
4 numltc.5 . . . . 5 ๐ถ < ๐‘‡
51, 2, 3, 1, 4numlt 12639 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
61nnrei 12158 . . . . . . 7 ๐‘‡ โˆˆ โ„
76recni 11165 . . . . . 6 ๐‘‡ โˆˆ โ„‚
82nn0rei 12420 . . . . . . 7 ๐ด โˆˆ โ„
98recni 11165 . . . . . 6 ๐ด โˆˆ โ„‚
10 ax-1cn 11105 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„‚
117, 9, 10adddii 11163 . . . . 5 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1))
127mulid1i 11155 . . . . . 6 (๐‘‡ ยท 1) = ๐‘‡
1312oveq2i 7364 . . . . 5 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + (๐‘‡ ยท 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
1411, 13eqtri 2764 . . . 4 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) = ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐‘‡)
155, 14breqtrri 5130 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท (๐ด + 1))
16 numltc.6 . . . . 5 ๐ด < ๐ต
17 numlt.3 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„•0
18 nn0ltp1le 12557 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ต โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต))
192, 17, 18mp2an 690 . . . . 5 (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต)
2016, 19mpbi 229 . . . 4 (๐ด + 1) โ‰ค ๐ต
211nngt0i 12188 . . . . 5 0 < ๐‘‡
22 peano2re 11324 . . . . . . 7 (๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด + 1) โˆˆ โ„)
238, 22ax-mp 5 . . . . . 6 (๐ด + 1) โˆˆ โ„
2417nn0rei 12420 . . . . . 6 ๐ต โˆˆ โ„
2523, 24, 6lemul2i 12074 . . . . 5 (0 < ๐‘‡ โ†’ ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)))
2621, 25ax-mp 5 . . . 4 ((๐ด + 1) โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต))
2720, 26mpbi 229 . . 3 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)
286, 8remulcli 11167 . . . . 5 (๐‘‡ ยท ๐ด) โˆˆ โ„
293nn0rei 12420 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„
3028, 29readdcli 11166 . . . 4 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) โˆˆ โ„
316, 23remulcli 11167 . . . 4 (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โˆˆ โ„
326, 24remulcli 11167 . . . 4 (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆˆ โ„
3330, 31, 32ltletri 11279 . . 3 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โˆง (๐‘‡ ยท (๐ด + 1)) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต))
3415, 27, 33mp2an 690 . 2 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต)
35 numltc.4 . . 3 ๐ท โˆˆ โ„•0
3632, 35nn0addge1i 12457 . 2 (๐‘‡ ยท ๐ต) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)
3735nn0rei 12420 . . . 4 ๐ท โˆˆ โ„
3832, 37readdcli 11166 . . 3 ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท) โˆˆ โ„
3930, 32, 38ltletri 11279 . 2 ((((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐‘‡ ยท ๐ต) โˆง (๐‘‡ ยท ๐ต) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)) โ†’ ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท))
4034, 36, 39mp2an 690 1 ((๐‘‡ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐‘‡ ยท ๐ต) + ๐ท)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆˆ wcel 2106   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  โ„cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050   ยท cmul 11052   < clt 11185   โ‰ค cle 11186  โ„•cn 12149  โ„•0cn0 12409
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496
This theorem is referenced by:  decltc  12643  numlti  12651
  Copyright terms: Public domain W3C validator