Theorem numltc 12624

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5	⊢ 𝐶 < 𝑇
numltc.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
numltc	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		numltc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		numltc.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 < 𝑇
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 12623	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
6	1	nnrei 12145	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
7	6	recni 11137	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
8	2	nn0rei 12403	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
9	8	recni 11137	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11075	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	7, 9, 10	adddii 11135	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
12	7	mulridi 11127	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
13	12	oveq2i 7366	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
14	11, 13	eqtri 2756	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
15	5, 14	breqtrri 5122	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16		numltc.6	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐵
17		numlt.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
18		nn0ltp1le 12541	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
19	2, 17, 18	mp2an 692	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
20	16, 19	mpbi 230	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
21	1	nngt0i 12175	. . . . 5 ⊢ 0 < 𝑇
22		peano2re 11297	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
24	17	nn0rei 12403	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
25	23, 24, 6	lemul2i 12056	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	20, 26	mpbi 230	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
28	6, 8	remulcli 11139	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
29	3	nn0rei 12403	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	28, 29	readdcli 11138	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
31	6, 23	remulcli 11139	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
32	6, 24	remulcli 11139	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
33	30, 31, 32	ltletri 11252	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
34	15, 27, 33	mp2an 692	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35		numltc.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
36	32, 35	nn0addge1i 12440	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
37	35	nn0rei 12403	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
38	32, 37	readdcli 11138	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
39	30, 32, 38	ltletri 11252	. 2 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
40	34, 36, 39	mp2an 692	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  (class class class)co 7355  ℝcr 11016  0cc0 11017  1c1 11018   + caddc 11020   · cmul 11022   < clt 11157   ≤ cle 11158  ℕcn 12136  ℕ₀cn0 12392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-n0 12393  df-z 12480

This theorem is referenced by:  decltc  12627  numlti  12635