Theorem numltc 12838

Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
numlt.1	⊢ 𝑇 ∈ ℕ
numlt.2	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
numlt.3	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
numltc.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
numltc.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
numltc.5	⊢ 𝐶 < 𝑇
numltc.6	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
numltc	⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

Proof of Theorem numltc

Step	Hyp	Ref	Expression
1		numlt.1	. . . . 5 ⊢ 𝑇 ∈ ℕ
2		numlt.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
3		numltc.3	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
4		numltc.5	. . . . 5 ⊢ 𝐶 < 𝑇
5	1, 2, 3, 1, 4	numlt 12837	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
6	1	nnrei 12337	. . . . . . 7 ⊢ 𝑇 ∈ ℝ
7	6	recni 11316	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 ∈ ℂ
8	2	nn0rei 12610	. . . . . . 7 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
9	8	recni 11316	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
10		ax-1cn 11251	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℂ
11	7, 9, 10	adddii 11314	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1))
12	7	mulridi 11306	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 · 1) = 𝑇
13	12	oveq2i 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + (𝑇 · 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
14	11, 13	eqtri 2784	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) = ((𝑇 · 𝐴) + 𝑇)
15	5, 14	breqtrri 5132	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1))
16		numltc.6	. . . . 5 ⊢ 𝐴 < 𝐵
17		numlt.3	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
18		nn0ltp1le 12750	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℕ0) → (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵))
19	2, 17, 18	mp2an 705	. . . . 5 ⊢ (𝐴 < 𝐵 ↔ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵)
20	16, 19	mpbi 233	. . . 4 ⊢ (𝐴 + 1) ≤ 𝐵
21	1	nngt0i 12370	. . . . 5 ⊢ 0 < 𝑇
22		peano2re 11476	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 + 1) ∈ ℝ)
23	8, 22	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 + 1) ∈ ℝ
24	17	nn0rei 12610	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
25	23, 24, 6	lemul2i 12233	. . . . 5 ⊢ (0 < 𝑇 → ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)))
26	21, 25	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 1) ≤ 𝐵 ↔ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵))
27	20, 26	mpbi 233	. . 3 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)
28	6, 8	remulcli 11318	. . . . 5 ⊢ (𝑇 · 𝐴) ∈ ℝ
29	3	nn0rei 12610	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℝ
30	28, 29	readdcli 11317	. . . 4 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) ∈ ℝ
31	6, 23	remulcli 11318	. . . 4 ⊢ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∈ ℝ
32	6, 24	remulcli 11318	. . . 4 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ∈ ℝ
33	30, 31, 32	ltletri 11431	. . 3 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · (𝐴 + 1)) ∧ (𝑇 · (𝐴 + 1)) ≤ (𝑇 · 𝐵)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵))
34	15, 27, 33	mp2an 705	. 2 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵)
35		numltc.4	. . 3 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
36	32, 35	nn0addge1i 12647	. 2 ⊢ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)
37	35	nn0rei 12610	. . . 4 ⊢ 𝐷 ∈ ℝ
38	32, 37	readdcli 11317	. . 3 ⊢ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷) ∈ ℝ
39	30, 32, 38	ltletri 11431	. 2 ⊢ ((((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < (𝑇 · 𝐵) ∧ (𝑇 · 𝐵) ≤ ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)) → ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷))
40	34, 36, 39	mp2an 705	1 ⊢ ((𝑇 · 𝐴) + 𝐶) < ((𝑇 · 𝐵) + 𝐷)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   · cmul 11198   < clt 11336   ≤ cle 11337  ℕcn 12328  ℕ₀cn0 12599

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-n0 12600  df-z 12687

This theorem is used by:  decltc  12841  numlti  12849