![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > numltc | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Comparing two decimal integers (unequal higher places). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
numlt.1 | โข ๐ โ โ |
numlt.2 | โข ๐ด โ โ0 |
numlt.3 | โข ๐ต โ โ0 |
numltc.3 | โข ๐ถ โ โ0 |
numltc.4 | โข ๐ท โ โ0 |
numltc.5 | โข ๐ถ < ๐ |
numltc.6 | โข ๐ด < ๐ต |
Ref | Expression |
---|---|
numltc | โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | numlt.1 | . . . . 5 โข ๐ โ โ | |
2 | numlt.2 | . . . . 5 โข ๐ด โ โ0 | |
3 | numltc.3 | . . . . 5 โข ๐ถ โ โ0 | |
4 | numltc.5 | . . . . 5 โข ๐ถ < ๐ | |
5 | 1, 2, 3, 1, 4 | numlt 12699 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ด) + ๐) |
6 | 1 | nnrei 12218 | . . . . . . 7 โข ๐ โ โ |
7 | 6 | recni 11225 | . . . . . 6 โข ๐ โ โ |
8 | 2 | nn0rei 12480 | . . . . . . 7 โข ๐ด โ โ |
9 | 8 | recni 11225 | . . . . . 6 โข ๐ด โ โ |
10 | ax-1cn 11165 | . . . . . 6 โข 1 โ โ | |
11 | 7, 9, 10 | adddii 11223 | . . . . 5 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท 1)) |
12 | 7 | mulridi 11215 | . . . . . 6 โข (๐ ยท 1) = ๐ |
13 | 12 | oveq2i 7417 | . . . . 5 โข ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท 1)) = ((๐ ยท ๐ด) + ๐) |
14 | 11, 13 | eqtri 2761 | . . . 4 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) = ((๐ ยท ๐ด) + ๐) |
15 | 5, 14 | breqtrri 5175 | . . 3 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท (๐ด + 1)) |
16 | numltc.6 | . . . . 5 โข ๐ด < ๐ต | |
17 | numlt.3 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ0 | |
18 | nn0ltp1le 12617 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ โ0 โง ๐ต โ โ0) โ (๐ด < ๐ต โ (๐ด + 1) โค ๐ต)) | |
19 | 2, 17, 18 | mp2an 691 | . . . . 5 โข (๐ด < ๐ต โ (๐ด + 1) โค ๐ต) |
20 | 16, 19 | mpbi 229 | . . . 4 โข (๐ด + 1) โค ๐ต |
21 | 1 | nngt0i 12248 | . . . . 5 โข 0 < ๐ |
22 | peano2re 11384 | . . . . . . 7 โข (๐ด โ โ โ (๐ด + 1) โ โ) | |
23 | 8, 22 | ax-mp 5 | . . . . . 6 โข (๐ด + 1) โ โ |
24 | 17 | nn0rei 12480 | . . . . . 6 โข ๐ต โ โ |
25 | 23, 24, 6 | lemul2i 12134 | . . . . 5 โข (0 < ๐ โ ((๐ด + 1) โค ๐ต โ (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต))) |
26 | 21, 25 | ax-mp 5 | . . . 4 โข ((๐ด + 1) โค ๐ต โ (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต)) |
27 | 20, 26 | mpbi 229 | . . 3 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต) |
28 | 6, 8 | remulcli 11227 | . . . . 5 โข (๐ ยท ๐ด) โ โ |
29 | 3 | nn0rei 12480 | . . . . 5 โข ๐ถ โ โ |
30 | 28, 29 | readdcli 11226 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) โ โ |
31 | 6, 23 | remulcli 11227 | . . . 4 โข (๐ ยท (๐ด + 1)) โ โ |
32 | 6, 24 | remulcli 11227 | . . . 4 โข (๐ ยท ๐ต) โ โ |
33 | 30, 31, 32 | ltletri 11339 | . . 3 โข ((((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท (๐ด + 1)) โง (๐ ยท (๐ด + 1)) โค (๐ ยท ๐ต)) โ ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท ๐ต)) |
34 | 15, 27, 33 | mp2an 691 | . 2 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท ๐ต) |
35 | numltc.4 | . . 3 โข ๐ท โ โ0 | |
36 | 32, 35 | nn0addge1i 12517 | . 2 โข (๐ ยท ๐ต) โค ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
37 | 35 | nn0rei 12480 | . . . 4 โข ๐ท โ โ |
38 | 32, 37 | readdcli 11226 | . . 3 โข ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) โ โ |
39 | 30, 32, 38 | ltletri 11339 | . 2 โข ((((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < (๐ ยท ๐ต) โง (๐ ยท ๐ต) โค ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท)) โ ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท)) |
40 | 34, 36, 39 | mp2an 691 | 1 โข ((๐ ยท ๐ด) + ๐ถ) < ((๐ ยท ๐ต) + ๐ท) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 โ wcel 2107 class class class wbr 5148 (class class class)co 7406 โcr 11106 0cc0 11107 1c1 11108 + caddc 11110 ยท cmul 11112 < clt 11245 โค cle 11246 โcn 12209 โ0cn0 12469 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pow 5363 ax-pr 5427 ax-un 7722 ax-resscn 11164 ax-1cn 11165 ax-icn 11166 ax-addcl 11167 ax-addrcl 11168 ax-mulcl 11169 ax-mulrcl 11170 ax-mulcom 11171 ax-addass 11172 ax-mulass 11173 ax-distr 11174 ax-i2m1 11175 ax-1ne0 11176 ax-1rid 11177 ax-rnegex 11178 ax-rrecex 11179 ax-cnre 11180 ax-pre-lttri 11181 ax-pre-lttrn 11182 ax-pre-ltadd 11183 ax-pre-mulgt0 11184 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-nel 3048 df-ral 3063 df-rex 3072 df-reu 3378 df-rab 3434 df-v 3477 df-sbc 3778 df-csb 3894 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-pss 3967 df-nul 4323 df-if 4529 df-pw 4604 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-iun 4999 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-tr 5266 df-id 5574 df-eprel 5580 df-po 5588 df-so 5589 df-fr 5631 df-we 5633 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-res 5688 df-ima 5689 df-pred 6298 df-ord 6365 df-on 6366 df-lim 6367 df-suc 6368 df-iota 6493 df-fun 6543 df-fn 6544 df-f 6545 df-f1 6546 df-fo 6547 df-f1o 6548 df-fv 6549 df-riota 7362 df-ov 7409 df-oprab 7410 df-mpo 7411 df-om 7853 df-2nd 7973 df-frecs 8263 df-wrecs 8294 df-recs 8368 df-rdg 8407 df-er 8700 df-en 8937 df-dom 8938 df-sdom 8939 df-pnf 11247 df-mnf 11248 df-xr 11249 df-ltxr 11250 df-le 11251 df-sub 11443 df-neg 11444 df-nn 12210 df-n0 12470 df-z 12556 |
This theorem is referenced by: decltc 12703 numlti 12711 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |