Theorem nngt0i 12302

Description: A positive integer is positive (inference version). (Contributed by NM, 17-Sep-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
nngt0.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ

Assertion

Ref	Expression
nngt0i	⊢ 0 < 𝐴

Proof of Theorem nngt0i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nngt0.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ
2		nngt0 12294	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 0 < 𝐴)
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 𝐴

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  0cc0 11127   < clt 11270  ℕcn 12260

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261

This theorem is used by:  nnne0i  12303  0le2  12370  2pos  12372  3pos  12376  4pos  12378  5pos  12380  6pos  12381  7pos  12382  8pos  12383  9pos  12384  10pos  12760  numltc  12770  declei  12780  numlti  12781  ef01bndlem  16275  dvdslelem  16402  divalglem5  16490  divalglem7  16492  pockthi  17002  log2ublem1  27186  log2ub  27189  bposlem8  27530  dpmul4  33362  ballotlem2  35003  hgt750lem  35162  problem5  36251  3lexlogpow5ineq5  42929  aks4d1p1  42945  fmtno4prmfac  48478  tgblthelfgott  48734  tgoldbachlt  48735