Theorem nzrpropd 20495

Description: If two structures have the same components (properties), one is a nonzero ring iff the other one is. (Contributed by SN, 21-Jun-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
nzrpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
nzrpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
nzrpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
nzrpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
nzrpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem nzrpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nzrpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		nzrpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		nzrpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		nzrpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	ringpropd 20260	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Ring ↔ 𝐿 ∈ Ring))
6	1, 2, 4	rngidpropd 20390	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))
7	1, 2, 3	grpidpropd 18647	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
8	6, 7	neeq12d 2992	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝐾) ≠ (0g‘𝐾) ↔ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿)))
9	5, 8	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐾) ≠ (0g‘𝐾)) ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿))))
10		eqid 2726	. . 3 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
11		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
12	10, 11	isnzr 20489	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ NzRing ↔ (𝐾 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐾) ≠ (0g‘𝐾)))
13		eqid 2726	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
14		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
15	13, 14	isnzr 20489	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ NzRing ↔ (𝐿 ∈ Ring ∧ (1r‘𝐿) ≠ (0g‘𝐿)))
16	9, 12, 15	3bitr4g 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2930  ‘cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17205  +_gcplusg 17258  ._rcmulr 17259  0_gc0g 17446  1_rcur 20157  Ringcrg 20209  NzRingcnzr 20487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-plusg 17271  df-0g 17448  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-grp 18923  df-mgp 20111  df-ur 20158  df-ring 20211  df-nzr 20488

This theorem is referenced by: (None)