Theorem domnpropd 33338

Description: If two structures have the same components (properties), one is a domain iff the other one is. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
domnpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
domnpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
domnpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
domnpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem domnpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		domnpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		domnpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		domnpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	nzrpropd 20497	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))
6	1, 2	eqtr3d 2773	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝜑)
9	1	eleq2d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
10	9	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1	eleq2d 2822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
13	12	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 716	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	8, 11, 14, 4	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
16	1, 2, 3	grpidpropd 18630	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
17	16	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
18	15, 17	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿)))
19	17	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
20	17	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑦 = (0g‘𝐿)))
21	19, 20	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)) ↔ (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))
22	18, 21	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
23	7, 22	raleqbidva 3301	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
24	6, 23	raleqbidva 3301	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
25	5, 24	anbi12d 633	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))))
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
28		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
29	26, 27, 28	isdomn 20682	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Domn ↔ (𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))))
30		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
31		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
33	30, 31, 32	isdomn 20682	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Domn ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
34	25, 29, 33	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  +_gcplusg 17220  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  NzRingcnzr 20489  Domncdomn 20669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-plusg 17233  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-mgp 20122  df-ur 20163  df-ring 20216  df-nzr 20490  df-domn 20672

This theorem is referenced by:  idompropd  33339