Theorem domnpropd 33243

Description: If two structures have the same components (properties), one is a domain iff the other one is. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
domnpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
domnpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
domnpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
domnpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem domnpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		domnpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		domnpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		domnpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	nzrpropd 20435	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))
6	1, 2	eqtr3d 2768	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8		simpll 766	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝜑)
9	1	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
10	9	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
13	12	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	8, 11, 14, 4	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
16	1, 2, 3	grpidpropd 18570	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
18	15, 17	eqeq12d 2747	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿)))
19	17	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
20	17	eqeq2d 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑦 = (0g‘𝐿)))
21	19, 20	orbi12d 918	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)) ↔ (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))
22	18, 21	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
23	7, 22	raleqbidva 3298	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
24	6, 23	raleqbidva 3298	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
25	5, 24	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))))
26		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
28		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
29	26, 27, 28	isdomn 20620	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Domn ↔ (𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))))
30		eqid 2731	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
31		eqid 2731	. . 3 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32		eqid 2731	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
33	30, 31, 32	isdomn 20620	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Domn ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
34	25, 29, 33	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  ._rcmulr 17162  0_gc0g 17343  NzRingcnzr 20427  Domncdomn 20607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-0g 17345  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-mgp 20059  df-ur 20100  df-ring 20153  df-nzr 20428  df-domn 20610

This theorem is referenced by:  idompropd  33244