Theorem domnpropd 33723

Description: If two structures have the same components (properties), one is a domain iff the other one is. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
domnpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
domnpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
domnpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
domnpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem domnpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		domnpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		domnpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		domnpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	nzrpropd 20684	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))
6	1, 2	eqtr3d 2797	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8		simpll 779	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝜑)
9	1	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
10	9	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1	eleq2d 2846	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
13	12	biimpar 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 728	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	8, 11, 14, 4	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
16	1, 2, 3	grpidpropd 18758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
17	16	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
18	15, 17	eqeq12d 2776	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿)))
19	17	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
20	17	eqeq2d 2771	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑦 = (0g‘𝐿)))
21	19, 20	orbi12d 932	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)) ↔ (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))
22	18, 21	imbi12d 347	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
23	7, 22	raleqbidva 3325	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
24	6, 23	raleqbidva 3325	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
25	5, 24	anbi12d 644	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))))
26		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
28		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
29	26, 27, 28	isdomn 20870	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Domn ↔ (𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))))
30		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
31		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32		eqid 2760	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
33	30, 31, 32	isdomn 20870	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Domn ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
34	25, 29, 33	3bitr4g 317	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3076  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304  +_gcplusg 17345  ._rcmulr 17346  0_gc0g 17527  NzRingcnzr 20675  Domncdomn 20857

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-plusg 17358  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063  df-mgp 20277  df-ur 20324  df-ring 20377  df-nzr 20676  df-domn 20860

This theorem is used by:  idompropd  33724