Theorem domnpropd 33461

Description: If two structures have the same components (properties), one is a domain iff the other one is. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
domnpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
domnpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
domnpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
domnpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem domnpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		domnpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		domnpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		domnpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	nzrpropd 20570	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))
6	1, 2	eqtr3d 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8		simpll 776	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝜑)
9	1	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
10	9	biimpar 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1	eleq2d 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
13	12	biimpar 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	8, 11, 14, 4	syl12anc 847	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
16	1, 2, 3	grpidpropd 18696	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
17	16	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
18	15, 17	eqeq12d 2778	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿)))
19	17	eqeq2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
20	17	eqeq2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑦 = (0g‘𝐿)))
21	19, 20	orbi12d 929	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)) ↔ (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))
22	18, 21	imbi12d 346	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
23	7, 22	raleqbidva 3326	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
24	6, 23	raleqbidva 3326	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
25	5, 24	anbi12d 641	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))))
26		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
28		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
29	26, 27, 28	isdomn 20755	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Domn ↔ (𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))))
30		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
31		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32		eqid 2762	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
33	30, 31, 32	isdomn 20755	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Domn ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
34	25, 29, 33	3bitr4g 316	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  +_gcplusg 17286  ._rcmulr 17287  0_gc0g 17468  NzRingcnzr 20562  Domncdomn 20742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-mgp 20187  df-ur 20232  df-ring 20285  df-nzr 20563  df-domn 20745

This theorem is referenced by:  idompropd  33462