Theorem domnpropd 33268

Description: If two structures have the same components (properties), one is a domain iff the other one is. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Oct-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
domnpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
domnpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
domnpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
domnpropd.4	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
domnpropd	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵,𝑦   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem domnpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		domnpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		domnpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
3		domnpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘𝐿)𝑦))
4		domnpropd.4	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
5	1, 2, 3, 4	nzrpropd 20512	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ NzRing ↔ 𝐿 ∈ NzRing))
6	1, 2	eqtr3d 2778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
7	6	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (Base‘𝐾) = (Base‘𝐿))
8		simpll 767	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝜑)
9	1	eleq2d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐵 ↔ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)))
10	9	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
11	10	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
12	1	eleq2d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝐵 ↔ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)))
13	12	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
14	13	adantlr 715	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
15	8, 11, 14, 4	syl12anc 837	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
16	1, 2, 3	grpidpropd 18671	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
17	16	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (0g‘𝐾) = (0g‘𝐿))
18	15, 17	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) ↔ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿)))
19	17	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑥 = (0g‘𝐿)))
20	17	eqeq2d 2747	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑦 = (0g‘𝐾) ↔ 𝑦 = (0g‘𝐿)))
21	19, 20	orbi12d 919	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)) ↔ (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))
22	18, 21	imbi12d 344	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
23	7, 22	raleqbidva 3331	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
24	6, 23	raleqbidva 3331	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾))) ↔ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
25	5, 24	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))) ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿))))))
26		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
27		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
28		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐾) = (0g‘𝐾)
29	26, 27, 28	isdomn 20697	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ Domn ↔ (𝐾 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐾)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐾)((𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (0g‘𝐾) → (𝑥 = (0g‘𝐾) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐾)))))
30		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
31		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
32		eqid 2736	. . 3 ⊢ (0g‘𝐿) = (0g‘𝐿)
33	30, 31, 32	isdomn 20697	. 2 ⊢ (𝐿 ∈ Domn ↔ (𝐿 ∈ NzRing ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝐿)∀𝑦 ∈ (Base‘𝐿)((𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (0g‘𝐿) → (𝑥 = (0g‘𝐿) ∨ 𝑦 = (0g‘𝐿)))))
34	25, 29, 33	3bitr4g 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ Domn ↔ 𝐿 ∈ Domn))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3060  ‘cfv 6559  (class class class)co 7429  Basecbs 17243  +_gcplusg 17293  ._rcmulr 17294  0_gc0g 17480  NzRingcnzr 20504  Domncdomn 20684

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5294  ax-nul 5304  ax-pow 5363  ax-pr 5430  ax-un 7751  ax-cnex 11207  ax-resscn 11208  ax-1cn 11209  ax-icn 11210  ax-addcl 11211  ax-addrcl 11212  ax-mulcl 11213  ax-mulrcl 11214  ax-mulcom 11215  ax-addass 11216  ax-mulass 11217  ax-distr 11218  ax-i2m1 11219  ax-1ne0 11220  ax-1rid 11221  ax-rnegex 11222  ax-rrecex 11223  ax-cnre 11224  ax-pre-lttri 11225  ax-pre-lttrn 11226  ax-pre-ltadd 11227  ax-pre-mulgt0 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4906  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5689  df-rel 5690  df-cnv 5691  df-co 5692  df-dm 5693  df-rn 5694  df-res 5695  df-ima 5696  df-pred 6319  df-ord 6385  df-on 6386  df-lim 6387  df-suc 6388  df-iota 6512  df-fun 6561  df-fn 6562  df-f 6563  df-f1 6564  df-fo 6565  df-f1o 6566  df-fv 6567  df-riota 7386  df-ov 7432  df-oprab 7433  df-mpo 7434  df-om 7884  df-2nd 8011  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8407  df-rdg 8446  df-er 8741  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11293  df-mnf 11294  df-xr 11295  df-ltxr 11296  df-le 11297  df-sub 11490  df-neg 11491  df-nn 12263  df-2 12325  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17244  df-plusg 17306  df-0g 17482  df-mgm 18649  df-sgrp 18728  df-mnd 18744  df-grp 18950  df-mgp 20134  df-ur 20175  df-ring 20228  df-nzr 20505  df-domn 20687

This theorem is referenced by:  idompropd  33269