MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngidpropd 20358
Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rngidpropd (𝜑 → (1r𝐾) = (1r𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 eqid 2725 . . . . 5 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
42, 3mgpbas 20084 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
51, 4eqtrdi 2781 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6 rngidpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
7 eqid 2725 . . . . 5 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8 eqid 2725 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
97, 8mgpbas 20084 . . . 4 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
106, 9eqtrdi 2781 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11 rngidpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
12 eqid 2725 . . . . . 6 (.r𝐾) = (.r𝐾)
132, 12mgpplusg 20082 . . . . 5 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
1413oveqi 7429 . . . 4 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15 eqid 2725 . . . . . 6 (.r𝐿) = (.r𝐿)
167, 15mgpplusg 20082 . . . . 5 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
1716oveqi 7429 . . . 4 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
1811, 14, 173eqtr3g 2788 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
195, 10, 18grpidpropd 18621 . 2 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20 eqid 2725 . . 3 (1r𝐾) = (1r𝐾)
212, 20ringidval 20127 . 2 (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22 eqid 2725 . . 3 (1r𝐿) = (1r𝐿)
237, 22ringidval 20127 . 2 (1r𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
2419, 21, 233eqtr4g 2790 1 (𝜑 → (1r𝐾) = (1r𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  0gc0g 17420  mulGrpcmgp 20078  1rcur 20125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgp 20079  df-ur 20126
This theorem is referenced by:  unitpropd  20360  subrgpropd  20551  lmodprop2d  20811  opsr1  22147  ply1mpl1  22185  sra1r  33339  zlm1  33619  hlhils1N  41479
  Copyright terms: Public domain W3C validator