Theorem rngidpropd 20696

Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rngidpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbas 20416	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
5	1, 4	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
9	7, 8	mgpbas 20416	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
10	6, 9	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
12		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
13	2, 12	mgpplusg 20415	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
14	13	oveqi 7464	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
16	7, 15	mgpplusg 20415	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
17	16	oveqi 7464	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
18	11, 14, 17	3eqtr3g 2821	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
19	5, 10, 18	grpidpropd 18892	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
21	2, 20	ringidval 20460	. 2 ⊢ (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22		eqid 2763	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
23	7, 22	ringidval 20460	. 2 ⊢ (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
24	19, 21, 23	3eqtr4g 2823	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  0_gc0g 17660  mulGrpcmgp 20411  1_rcur 20458

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgp 20412  df-ur 20459

This theorem is used by:  unitpropd  20698  nzrpropd  20822  subrgpropd  20911  lmodprop2d  21250  opsr1  22592  ply1mpl1  22631  sra1r  34324  zlm1  34704  hlhils1N  43269