MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngidpropd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngidpropd 20359
Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidpropd.1 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
Assertion
Ref Expression
rngidpropd (𝜑 → (1r𝐾) = (1r𝐿))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd
StepHypRef Expression
1 rngidpropd.1 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐾))
2 eqid 2727 . . . . 5 (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3 eqid 2727 . . . . 5 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
42, 3mgpbas 20085 . . . 4 (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
51, 4eqtrdi 2783 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6 rngidpropd.2 . . . 4 (𝜑𝐵 = (Base‘𝐿))
7 eqid 2727 . . . . 5 (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8 eqid 2727 . . . . 5 (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
97, 8mgpbas 20085 . . . 4 (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
106, 9eqtrdi 2783 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11 rngidpropd.3 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(.r𝐿)𝑦))
12 eqid 2727 . . . . . 6 (.r𝐾) = (.r𝐾)
132, 12mgpplusg 20083 . . . . 5 (.r𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
1413oveqi 7437 . . . 4 (𝑥(.r𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15 eqid 2727 . . . . . 6 (.r𝐿) = (.r𝐿)
167, 15mgpplusg 20083 . . . . 5 (.r𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
1716oveqi 7437 . . . 4 (𝑥(.r𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
1811, 14, 173eqtr3g 2790 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
195, 10, 18grpidpropd 18627 . 2 (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20 eqid 2727 . . 3 (1r𝐾) = (1r𝐾)
212, 20ringidval 20128 . 2 (1r𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22 eqid 2727 . . 3 (1r𝐿) = (1r𝐿)
237, 22ringidval 20128 . 2 (1r𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
2419, 21, 233eqtr4g 2792 1 (𝜑 → (1r𝐾) = (1r𝐿))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185  +gcplusg 17238  .rcmulr 17239  0gc0g 17426  mulGrpcmgp 20079  1rcur 20126
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgp 20080  df-ur 20127
This theorem is referenced by:  unitpropd  20361  subrgpropd  20552  lmodprop2d  20812  opsr1  22143  ply1mpl1  22181  sra1r  33287  zlm1  33567  hlhils1N  41427
  Copyright terms: Public domain W3C validator