Theorem rngidpropd 20351

Description: The ring unity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rngidpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
5	1, 4	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
9	7, 8	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
10	6, 9	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
13	2, 12	mgpplusg 20079	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
14	13	oveqi 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
16	7, 15	mgpplusg 20079	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
17	16	oveqi 7371	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
18	11, 14, 17	3eqtr3g 2794	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
19	5, 10, 18	grpidpropd 18587	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
21	2, 20	ringidval 20118	. 2 ⊢ (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
23	7, 22	ringidval 20118	. 2 ⊢ (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
24	19, 21, 23	3eqtr4g 2796	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  mulGrpcmgp 20075  1_rcur 20116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-0g 17361  df-mgp 20076  df-ur 20117

This theorem is referenced by:  unitpropd  20353  nzrpropd  20453  subrgpropd  20541  lmodprop2d  20875  opsr1  22160  ply1mpl1  22199  sra1r  33737  zlm1  34118  hlhils1N  42206