Theorem rngidpropd 19986

Description: The ring identity depends only on the ring's base set and multiplication operation. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidpropd.1	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
rngidpropd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
rngidpropd.3	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))

Assertion

Ref	Expression
rngidpropd	⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐵   𝑥,𝐾,𝑦   𝑥,𝐿,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Proof of Theorem rngidpropd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidpropd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐾))
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐾) = (mulGrp‘𝐾)
3		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
4	2, 3	mgpbas 19775	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘(mulGrp‘𝐾))
5	1, 4	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐾)))
6		rngidpropd.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝐿))
7		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐿) = (mulGrp‘𝐿)
8		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘𝐿)
9	7, 8	mgpbas 19775	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐿) = (Base‘(mulGrp‘𝐿))
10	6, 9	eqtrdi 2792	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝐿)))
11		rngidpropd.3	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(.r‘𝐿)𝑦))
12		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐾) = (.r‘𝐾)
13	2, 12	mgpplusg 19773	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐾) = (+g‘(mulGrp‘𝐾))
14	13	oveqi 7320	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐾)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦)
15		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝐿) = (.r‘𝐿)
16	7, 15	mgpplusg 19773	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐿) = (+g‘(mulGrp‘𝐿))
17	16	oveqi 7320	. . . 4 ⊢ (𝑥(.r‘𝐿)𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦)
18	11, 14, 17	3eqtr3g 2799	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐾))𝑦) = (𝑥(+g‘(mulGrp‘𝐿))𝑦))
19	5, 10, 18	grpidpropd 18395	. 2 ⊢ (𝜑 → (0g‘(mulGrp‘𝐾)) = (0g‘(mulGrp‘𝐿)))
20		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝐾) = (1r‘𝐾)
21	2, 20	ringidval 19788	. 2 ⊢ (1r‘𝐾) = (0g‘(mulGrp‘𝐾))
22		eqid 2736	. . 3 ⊢ (1r‘𝐿) = (1r‘𝐿)
23	7, 22	ringidval 19788	. 2 ⊢ (1r‘𝐿) = (0g‘(mulGrp‘𝐿))
24	19, 21, 23	3eqtr4g 2801	1 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝐾) = (1r‘𝐿))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16961  +_gcplusg 17011  ._rcmulr 17012  0_gc0g 17199  mulGrpcmgp 19769  1_rcur 19786

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-nn 12024  df-2 12086  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-plusg 17024  df-0g 17201  df-mgp 19770  df-ur 19787

This theorem is referenced by:  unitpropd  19988  subrgpropd  20108  lmodprop2d  20234  opsr1  21439  ply1mpl1  21477  sra1r  31720  zlm1  31960  hlhils1N  40164