Theorem opprablb 42200

Description: A class is an Abelian group if and only if its opposite (ring) is an Abelian group. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprablb	⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)

Proof of Theorem opprablb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprgrp.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		baseid 17208	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		basendxnmulrndx 17301	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4	1, 2, 3	opprlem 20314	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
5		plusgid 17285	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
6		plusgndxnmulrndx 17303	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1, 5, 6	opprlem 20314	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
8	4, 7	ablprop 19784	1 ⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6543  Basecbs 17205  +_gcplusg 17258  Abelcabl 19772  opp_rcoppr 20308

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6302  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7993  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12256  df-2 12318  df-3 12319  df-sets 17158  df-slot 17176  df-ndx 17188  df-base 17206  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-0g 17448  df-mgm 18625  df-sgrp 18704  df-mnd 18720  df-grp 18923  df-cmn 19773  df-abl 19774  df-oppr 20309

This theorem is referenced by: (None)