Theorem opprablb 42846

Description: A class is an Abelian group if and only if its opposite (ring) is an Abelian group. (Contributed by SN, 20-Jun-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
opprgrp.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
opprablb	⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)

Proof of Theorem opprablb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opprgrp.o	. . 3 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2		baseid 17144	. . 3 ⊢ Base = Slot (Base‘ndx)
3		basendxnmulrndx 17221	. . 3 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
4	1, 2, 3	opprlem 20283	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑂)
5		plusgid 17209	. . 3 ⊢ +g = Slot (+g‘ndx)
6		plusgndxnmulrndx 17222	. . 3 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (.r‘ndx)
7	1, 5, 6	opprlem 20283	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑂)
8	4, 7	ablprop 19727	1 ⊢ (𝑅 ∈ Abel ↔ 𝑂 ∈ Abel)

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  +_gcplusg 17182  Abelcabl 19715  opp_rcoppr 20277

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-tpos 8171  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-plusg 17195  df-mulr 17196  df-0g 17366  df-mgm 18570  df-sgrp 18649  df-mnd 18665  df-grp 18871  df-cmn 19716  df-abl 19717  df-oppr 20278

This theorem is referenced by: (None)