Theorem pfxccatin12lem4 14787

Description: Lemma 4 for pfxccatin12 14794. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem4	⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
2		nn0z 12632	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12653	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	4	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		elfzonelfzo 13817	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
7	6	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
8	5, 7	sylan 592	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
9		nn0cn 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
10		nn0cn 12531	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		zcn 12613	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		npncan3 11513	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1178	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
14	13	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) = ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
15	14	eleq2d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
16	15	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
17	8, 16	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
18	17	ex 418	1 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7419  ℂcc 11115  0cc0 11117   + caddc 11120   − cmin 11458  ℕ₀cn0 12521  ℤcz 12608  ..^cfzo 13701

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-fzo 13702

This theorem is used by:  pfxccatin12  14794