Theorem pfxccatin12lem4 14708

Description: Lemma 4 for pfxccatin12 14715. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-Mar-2018.) (Revised by Alexander van der Vekens, 23-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem4	⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))

Proof of Theorem pfxccatin12lem4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0z 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℤ)
2		nn0z 12613	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		zsubcl 12634	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	1, 2, 3	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	4	3adant3 1129	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6		elfzonelfzo 13766	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
7	6	imp 405	. . . 4 ⊢ (((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
8	5, 7	sylan 578	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
9		nn0cn 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ0 → 𝐿 ∈ ℂ)
10		nn0cn 12512	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ0 → 𝑀 ∈ ℂ)
11		zcn 12593	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → 𝑁 ∈ ℂ)
12		npncan3 11528	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℂ ∧ 𝑀 ∈ ℂ ∧ 𝑁 ∈ ℂ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
13	9, 10, 11, 12	syl3an 1157	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)) = (𝑁 − 𝑀))
14	13	oveq2d 7433	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) = ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)))
15	14	eleq2d 2811	. . . 4 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
16	15	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))) ↔ 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
17	8, 16	mpbird 256	. 2 ⊢ (((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀)))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿))))
18	17	ex 411	1 ⊢ ((𝐿 ∈ ℕ0 ∧ 𝑀 ∈ ℕ0 ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^((𝐿 − 𝑀) + (𝑁 − 𝐿)))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  (class class class)co 7417  ℂcc 11136  0cc0 11138   + caddc 11141   − cmin 11474  ℕ₀cn0 12502  ℤcz 12588  ..^cfzo 13659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660

This theorem is referenced by:  pfxccatin12  14715