Theorem pfxccatin12lem2a 14775

Description: Lemma for pfxccatin12lem2 14779. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2a	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13574	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12685	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13819	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfzoelz 13716	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 13584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	11, 12	anim12i 612	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	14, 15	anim12ci 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
17	13, 16	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
18	17	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
19	10, 18	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
20	19	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
22	1, 21	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
23	22	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))))
24	23	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
25		elfzomelpfzo 13821	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
27		elfz2 13574	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
28		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋) → 𝑁 ≤ 𝑋)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑁 ≤ 𝑋)
32	28, 29, 31	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
33	27, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
36		eluz2 12909	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38		fzoss2 13744	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
40	39	sseld 4007	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
41	26, 40	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
42	41	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
43	42	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
44	9, 43	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
45	44	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
46	8, 45	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   + caddc 11187   ≤ cle 11325   − cmin 11520  ℤcz 12639  ℤ_≥cuz 12903  ...cfz 13567  ..^cfzo 13711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14779