Theorem pfxccatin12lem2a 14668

Description: Lemma for pfxccatin12lem2 14672. (Contributed by AV, 30-Mar-2018.) (Revised by AV, 27-May-2018.)

Assertion

Ref	Expression
pfxccatin12lem2a	⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Proof of Theorem pfxccatin12lem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfz2 13451	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ↔ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)))
2		zsubcl 12551	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
3	2	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
5	1, 4	sylbi 217	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ)
7		elfzonelfzo 13706	. . 3 ⊢ ((𝐿 − 𝑀) ∈ ℤ → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
8	6, 7	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → 𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀))))
9		elfzoelz 13596	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → 𝐾 ∈ ℤ)
10		elfzelz 13461	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → 𝑁 ∈ ℤ)
11		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝐿 ∈ ℤ)
12		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝑁 ∈ ℤ)
13	11, 12	anim12i 613	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ))
14		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → 𝑀 ∈ ℤ)
15		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ) → 𝐾 ∈ ℤ)
16	14, 15	anim12ci 614	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))
17	13, 16	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝐾 ∈ ℤ)) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
18	17	exp32 420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
19	10, 18	syl5 34	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
20	19	3adant1 1130	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
21	20	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((0 ∈ ℤ ∧ 𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ) ∧ (0 ≤ 𝑀 ∧ 𝑀 ≤ 𝐿)) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
22	1, 21	sylbi 217	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (0...𝐿) → (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))))
23	22	imp 406	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ℤ → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ))))
24	23	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)))
25		elfzomelpfzo 13708	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐾 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
26	24, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) ↔ (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁)))
27		elfz2 13451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) ↔ ((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)))
28		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑁 ∈ ℤ)
29		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑋 ∈ ℤ)
30		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋) → 𝑁 ≤ 𝑋)
31	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → 𝑁 ≤ 𝑋)
32	28, 29, 31	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐿 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) ∧ (𝐿 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≤ 𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
33	27, 32	sylbi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑁 ∈ (𝐿...𝑋) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
34	33	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
35	34	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
36		eluz2 12775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁) ↔ (𝑁 ∈ ℤ ∧ 𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ≤ 𝑋))
37	35, 36	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → 𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁))
38		fzoss2 13624	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (ℤ≥‘𝑁) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
39	37, 38	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐿..^𝑁) ⊆ (𝐿..^𝑋))
40	39	sseld 3942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → ((𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑁) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
41	26, 40	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ ℤ ∧ (𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋))) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
42	41	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
43	42	com23 86	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℤ → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋))))
44	9, 43	mpcom 38	. . 3 ⊢ (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
45	44	com12 32	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → (𝐾 ∈ ((𝐿 − 𝑀)..^(𝑁 − 𝑀)) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))
46	8, 45	syld 47	1 ⊢ ((𝑀 ∈ (0...𝐿) ∧ 𝑁 ∈ (𝐿...𝑋)) → ((𝐾 ∈ (0..^(𝑁 − 𝑀)) ∧ ¬ 𝐾 ∈ (0..^(𝐿 − 𝑀))) → (𝐾 + 𝑀) ∈ (𝐿..^𝑋)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  0cc0 11044   + caddc 11047   ≤ cle 11185   − cmin 11381  ℤcz 12505  ℤ_≥cuz 12769  ...cfz 13444  ..^cfzo 13591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-fz 13445  df-fzo 13592

This theorem is referenced by:  pfxccatin12lem2  14672