Theorem slotsdifocndx 17339

Description: The index of the slot for the orthocomplementation is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcocval 49839. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifocndx	⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12419	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12158	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12629	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	nnrei 12156	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℝ
5		5nn 12233	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
6		1lt5 12322	. . . . 5 ⊢ 1 < 5
7	1, 1, 5, 6	declt 12637	. . . 4 ⊢ ;11 < ;15
8	4, 7	ltneii 11248	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;15
9		ocndx 17303	. . . 4 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10		ccondx 17335	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
11	9, 10	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
12	8, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
13		4nn 12230	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt4 12318	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
15	1, 1, 13, 14	declt 12637	. . . 4 ⊢ ;11 < ;14
16	4, 15	ltneii 11248	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;14
17		homndx 17333	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	9, 17	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	12, 19	pm3.2i 470	1 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2931  ‘cfv 6491  1c1 11029  4c4 12204  5c5 12205  ;cdc 12609  ndxcnx 17122  occoc 17187  Hom chom 17190  compcco 17191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-dec 12610  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-ocomp 17200  df-hom 17203  df-cco 17204

This theorem is referenced by:  prstcocval  49839