Theorem slotsdifocndx 17416

Description: The index of the slot for the orthocomplementation is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcocval 49219. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifocndx	⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12509	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12243	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12720	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	nnrei 12241	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℝ
5		5nn 12318	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
6		1lt5 12412	. . . . 5 ⊢ 1 < 5
7	1, 1, 5, 6	declt 12728	. . . 4 ⊢ ;11 < ;15
8	4, 7	ltneii 11340	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;15
9		ocndx 17380	. . . 4 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10		ccondx 17412	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
11	9, 10	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
12	8, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
13		4nn 12315	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt4 12408	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
15	1, 1, 13, 14	declt 12728	. . . 4 ⊢ ;11 < ;14
16	4, 15	ltneii 11340	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;14
17		homndx 17410	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	9, 17	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	12, 19	pm3.2i 470	1 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2931  ‘cfv 6527  1c1 11122  4c4 12289  5c5 12290  ;cdc 12700  ndxcnx 17197  occoc 17264  Hom chom 17267  compcco 17268

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-sep 5263  ax-nul 5273  ax-pow 5332  ax-pr 5399  ax-un 7723  ax-cnex 11177  ax-resscn 11178  ax-1cn 11179  ax-icn 11180  ax-addcl 11181  ax-addrcl 11182  ax-mulcl 11183  ax-mulrcl 11184  ax-mulcom 11185  ax-addass 11186  ax-mulass 11187  ax-distr 11188  ax-i2m1 11189  ax-1ne0 11190  ax-1rid 11191  ax-rnegex 11192  ax-rrecex 11193  ax-cnre 11194  ax-pre-lttri 11195  ax-pre-lttrn 11196  ax-pre-ltadd 11197  ax-pre-mulgt0 11198

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-op 4606  df-uni 4881  df-iun 4966  df-br 5117  df-opab 5179  df-mpt 5199  df-tr 5227  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6287  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6480  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7356  df-ov 7402  df-oprab 7403  df-mpo 7404  df-om 7856  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8713  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12233  df-2 12295  df-3 12296  df-4 12297  df-5 12298  df-6 12299  df-7 12300  df-8 12301  df-9 12302  df-n0 12494  df-dec 12701  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-ocomp 17277  df-hom 17280  df-cco 17281

This theorem is referenced by:  prstcocval  49219