Theorem slotsdifocndx 17393

Description: The index of the slot for the orthocomplementation is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcocval 48185. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifocndx	⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12513	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12248	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12722	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	nnrei 12246	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℝ
5		5nn 12323	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
6		1lt5 12417	. . . . 5 ⊢ 1 < 5
7	1, 1, 5, 6	declt 12730	. . . 4 ⊢ ;11 < ;15
8	4, 7	ltneii 11352	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;15
9		ocndx 17356	. . . 4 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10		ccondx 17388	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
11	9, 10	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
12	8, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
13		4nn 12320	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt4 12413	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
15	1, 1, 13, 14	declt 12730	. . . 4 ⊢ ;11 < ;14
16	4, 15	ltneii 11352	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;14
17		homndx 17386	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	9, 17	neeq12i 2997	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
19	16, 18	mpbir 230	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	12, 19	pm3.2i 469	1 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 394   ≠ wne 2930  ‘cfv 6543  1c1 11134  4c4 12294  5c5 12295  ;cdc 12702  ndxcnx 17156  occoc 17235  Hom chom 17238  compcco 17239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-dec 12703  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-ocomp 17248  df-hom 17251  df-cco 17252

This theorem is referenced by:  prstcocval  48185