Theorem slotsdifocndx 17377

Description: The index of the slot for the orthocomplementation is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcocval 50052. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifocndx	⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12450	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12182	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12661	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	nnrei 12180	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℝ
5		5nn 12264	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
6		1lt5 12353	. . . . 5 ⊢ 1 < 5
7	1, 1, 5, 6	declt 12669	. . . 4 ⊢ ;11 < ;15
8	4, 7	ltneii 11256	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;15
9		ocndx 17341	. . . 4 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10		ccondx 17373	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
11	9, 10	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
12	8, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
13		4nn 12261	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt4 12349	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
15	1, 1, 13, 14	declt 12669	. . . 4 ⊢ ;11 < ;14
16	4, 15	ltneii 11256	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;14
17		homndx 17371	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	9, 17	neeq12i 2999	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	12, 19	pm3.2i 470	1 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2933  ‘cfv 6496  1c1 11036  4c4 12235  5c5 12236  ;cdc 12641  ndxcnx 17160  occoc 17225  Hom chom 17228  compcco 17229

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5306  ax-pr 5374  ax-un 7686  ax-cnex 11091  ax-resscn 11092  ax-1cn 11093  ax-icn 11094  ax-addcl 11095  ax-addrcl 11096  ax-mulcl 11097  ax-mulrcl 11098  ax-mulcom 11099  ax-addass 11100  ax-mulass 11101  ax-distr 11102  ax-i2m1 11103  ax-1ne0 11104  ax-1rid 11105  ax-rnegex 11106  ax-rrecex 11107  ax-cnre 11108  ax-pre-lttri 11109  ax-pre-lttrn 11110  ax-pre-ltadd 11111  ax-pre-mulgt0 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5523  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5581  df-we 5583  df-xp 5634  df-rel 5635  df-cnv 5636  df-co 5637  df-dm 5638  df-rn 5639  df-res 5640  df-ima 5641  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7321  df-ov 7367  df-oprab 7368  df-mpo 7369  df-om 7815  df-2nd 7940  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11178  df-mnf 11179  df-xr 11180  df-ltxr 11181  df-le 11182  df-sub 11376  df-neg 11377  df-nn 12172  df-2 12241  df-3 12242  df-4 12243  df-5 12244  df-6 12245  df-7 12246  df-8 12247  df-9 12248  df-n0 12435  df-dec 12642  df-slot 17149  df-ndx 17161  df-ocomp 17238  df-hom 17241  df-cco 17242

This theorem is referenced by:  prstcocval  50052