Theorem slotsdifocndx 17139

Description: The index of the slot for the orthocomplementation is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcocval 46331. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifocndx	⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12260	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 11995	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12468	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	nnrei 11993	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℝ
5		5nn 12070	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
6		1lt5 12164	. . . . 5 ⊢ 1 < 5
7	1, 1, 5, 6	declt 12476	. . . 4 ⊢ ;11 < ;15
8	4, 7	ltneii 11099	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;15
9		ocndx 17102	. . . 4 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10		ccondx 17134	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
11	9, 10	neeq12i 3012	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
12	8, 11	mpbir 230	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
13		4nn 12067	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt4 12160	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
15	1, 1, 13, 14	declt 12476	. . . 4 ⊢ ;11 < ;14
16	4, 15	ltneii 11099	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;14
17		homndx 17132	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	9, 17	neeq12i 3012	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
19	16, 18	mpbir 230	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	12, 19	pm3.2i 471	1 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 396   ≠ wne 2945  ‘cfv 6432  1c1 10883  4c4 12041  5c5 12042  ;cdc 12448  ndxcnx 16905  occoc 16981  Hom chom 16984  compcco 16985

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583  ax-cnex 10938  ax-resscn 10939  ax-1cn 10940  ax-icn 10941  ax-addcl 10942  ax-addrcl 10943  ax-mulcl 10944  ax-mulrcl 10945  ax-mulcom 10946  ax-addass 10947  ax-mulass 10948  ax-distr 10949  ax-i2m1 10950  ax-1ne0 10951  ax-1rid 10952  ax-rnegex 10953  ax-rrecex 10954  ax-cnre 10955  ax-pre-lttri 10956  ax-pre-lttrn 10957  ax-pre-ltadd 10958  ax-pre-mulgt0 10959

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-om 7708  df-2nd 7826  df-frecs 8089  df-wrecs 8120  df-recs 8194  df-rdg 8233  df-er 8490  df-en 8726  df-dom 8727  df-sdom 8728  df-pnf 11022  df-mnf 11023  df-xr 11024  df-ltxr 11025  df-le 11026  df-sub 11218  df-neg 11219  df-nn 11985  df-2 12047  df-3 12048  df-4 12049  df-5 12050  df-6 12051  df-7 12052  df-8 12053  df-9 12054  df-n0 12245  df-dec 12449  df-slot 16894  df-ndx 16906  df-ocomp 16994  df-hom 16997  df-cco 16998

This theorem is referenced by:  prstcocval  46331