Theorem slotsdifocndx 17386

Description: The index of the slot for the orthocomplementation is not the index of other slots. Formerly part of proof for prstcocval 49536. (Contributed by AV, 12-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifocndx	⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifocndx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12464	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2		1nn 12198	. . . . . 6 ⊢ 1 ∈ ℕ
3	1, 2	decnncl 12675	. . . . 5 ⊢ ;11 ∈ ℕ
4	3	nnrei 12196	. . . 4 ⊢ ;11 ∈ ℝ
5		5nn 12273	. . . . 5 ⊢ 5 ∈ ℕ
6		1lt5 12367	. . . . 5 ⊢ 1 < 5
7	1, 1, 5, 6	declt 12683	. . . 4 ⊢ ;11 < ;15
8	4, 7	ltneii 11293	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;15
9		ocndx 17350	. . . 4 ⊢ (oc‘ndx) = ;11
10		ccondx 17382	. . . 4 ⊢ (comp‘ndx) = ;15
11	9, 10	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;15)
12	8, 11	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx)
13		4nn 12270	. . . . 5 ⊢ 4 ∈ ℕ
14		1lt4 12363	. . . . 5 ⊢ 1 < 4
15	1, 1, 13, 14	declt 12683	. . . 4 ⊢ ;11 < ;14
16	4, 15	ltneii 11293	. . 3 ⊢ ;11 ≠ ;14
17		homndx 17380	. . . 4 ⊢ (Hom ‘ndx) = ;14
18	9, 17	neeq12i 2992	. . 3 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx) ↔ ;11 ≠ ;14)
19	16, 18	mpbir 231	. 2 ⊢ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx)
20	12, 19	pm3.2i 470	1 ⊢ ((oc‘ndx) ≠ (comp‘ndx) ∧ (oc‘ndx) ≠ (Hom ‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2926  ‘cfv 6513  1c1 11075  4c4 12244  5c5 12245  ;cdc 12655  ndxcnx 17169  occoc 17234  Hom chom 17237  compcco 17238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-3 12251  df-4 12252  df-5 12253  df-6 12254  df-7 12255  df-8 12256  df-9 12257  df-n0 12449  df-dec 12656  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-ocomp 17247  df-hom 17250  df-cco 17251

This theorem is referenced by:  prstcocval  49536