Theorem psrbagconclOLD 20748

Description: Obsolete version of psrbagconcl 20747 as of 6-Aug-2024. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Dec-2014.) (New usage is discouraged.) (Proof modification is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
psrbag.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
psrbagconf1o.s	⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}

Assertion

Ref	Expression
psrbagconclOLD	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Distinct variable groups:   𝑦,𝑓,𝐹   𝑦,𝑉   𝑓,𝐼,𝑦   𝑦,𝐷   𝑓,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝐷(𝑓)   𝑆(𝑦,𝑓)   𝑉(𝑓)

Proof of Theorem psrbagconclOLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1137	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		simp2 1138	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝐹 ∈ 𝐷)
3		simp3 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
4		breq1 5033	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
5		psrbagconf1o.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = {𝑦 ∈ 𝐷 ∣ 𝑦 ∘r ≤ 𝐹}
6	4, 5	elrab2 3591	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 ↔ (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
7	3, 6	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑋 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹))
8	7	simpld 498	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝐷)
9		psrbag.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
10	9	psrbagfOLD 20732	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐷) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
11	1, 8, 10	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋:𝐼⟶ℕ0)
12	7	simprd 499	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)
13	9	psrbagconOLD 20744	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋:𝐼⟶ℕ0 ∧ 𝑋 ∘r ≤ 𝐹)) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
14	1, 2, 11, 12, 13	syl13anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
15		breq1 5033	. . 3 ⊢ (𝑦 = (𝐹 ∘f − 𝑋) → (𝑦 ∘r ≤ 𝐹 ↔ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
16	15, 5	elrab2 3591	. 2 ⊢ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆 ↔ ((𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝐷 ∧ (𝐹 ∘f − 𝑋) ∘r ≤ 𝐹))
17	14, 16	sylibr 237	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹 ∘f − 𝑋) ∈ 𝑆)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3057   class class class wbr 5030  ^◡ccnv 5524   “ cima 5528  ⟶wf 6335  (class class class)co 7170   ∘_f cof 7423   ∘_r cofr 7424   ↑_m cmap 8437  Fincfn 8555   ≤ cle 10754   − cmin 10948  ℕcn 11716  ℕ₀cn0 11976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-ofr 7426  df-om 7600  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-n0 11977

This theorem is referenced by:  psrass1lemOLD  20753