Theorem elq 12945

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 12944	. . 3 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3		df-div 11839	. . . 4 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		riotaex 7352	. . . 4 ⊢ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ V
5	3, 4	fnmpoi 8046	. . 3 ⊢ / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
6		zsscn 12570	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		nncn 12212	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		nnne0 12241	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
9		eldifsn 4743	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
10	7, 8, 9	sylanbrc 592	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	ssriv 3938	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
12		xpss12 5658	. . . 4 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
13	6, 11, 12	mp2an 702	. . 3 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
14		ovelimab 7569	. . 3 ⊢ (( / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0})) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
15	5, 13, 14	mp2an 702	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
16	2, 15	bitri 277	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 208   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∃wrex 3085   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  {csn 4579   × cxp 5641   “ cima 5646   Fn wfn 6511  ℩crio 7347  (class class class)co 7391  ℂcc 11065  0cc0 11067   · cmul 11072   / cdiv 11838  ℕcn 12204  ℤcz 12562  ℚcq 12943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-z 12563  df-q 12944

This theorem is referenced by:  qmulz  12946  znq  12947  qre  12948  qexALT  12959  qaddcl  12960  qnegcl  12961  qmulcl  12962  qreccl  12964  elpq  12970  eirr  16228  qnnen  16236  sqrt2irr  16272  qredeu  16683  pceu  16873  pcqmul  16880  pcqcl  16883  pcneg  16901  pcz  16908  pcadd  16916  qsssubdrg  21466  ostthlem1  27679  ipasslem5  30995  elq2  32975  1fldgenq  33470