Theorem elq 12990

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 12989	. . 3 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2	1	eleq2i 2831	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3		df-div 11919	. . . 4 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		riotaex 7392	. . . 4 ⊢ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ V
5	3, 4	fnmpoi 8094	. . 3 ⊢ / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
6		zsscn 12619	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		nncn 12272	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		nnne0 12298	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
9		eldifsn 4791	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
10	7, 8, 9	sylanbrc 583	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	ssriv 3999	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
12		xpss12 5704	. . . 4 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
13	6, 11, 12	mp2an 692	. . 3 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
14		ovelimab 7611	. . 3 ⊢ (( / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0})) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
15	5, 13, 14	mp2an 692	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
16	2, 15	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  ∃wrex 3068   ∖ cdif 3960   ⊆ wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ℩crio 7387  (class class class)co 7431  ℂcc 11151  0cc0 11153   · cmul 11158   / cdiv 11918  ℕcn 12264  ℤcz 12611  ℚcq 12988

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-z 12612  df-q 12989

This theorem is referenced by:  qmulz  12991  znq  12992  qre  12993  qexALT  13004  qaddcl  13005  qnegcl  13006  qmulcl  13007  qreccl  13009  elpq  13015  eirr  16238  qnnen  16246  sqrt2irr  16282  qredeu  16692  pceu  16880  pcqmul  16887  pcqcl  16890  pcneg  16908  pcz  16915  pcadd  16923  qsssubdrg  21462  ostthlem1  27686  ipasslem5  30864  1fldgenq  33304