![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > elq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
elq | โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-q 12957 | . . 3 โข โ = ( / โ (โค ร โ)) | |
2 | 1 | eleq2i 2820 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ ( / โ (โค ร โ))) |
3 | df-div 11896 | . . . 4 โข / = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โฉ๐ง โ โ (๐ฆ ยท ๐ง) = ๐ฅ)) | |
4 | riotaex 7374 | . . . 4 โข (โฉ๐ง โ โ (๐ฆ ยท ๐ง) = ๐ฅ) โ V | |
5 | 3, 4 | fnmpoi 8068 | . . 3 โข / Fn (โ ร (โ โ {0})) |
6 | zsscn 12590 | . . . 4 โข โค โ โ | |
7 | nncn 12244 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ ๐ฅ โ โ) | |
8 | nnne0 12270 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ ๐ฅ โ 0) | |
9 | eldifsn 4786 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ (๐ฅ โ โ โง ๐ฅ โ 0)) | |
10 | 7, 8, 9 | sylanbrc 582 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ โ ๐ฅ โ (โ โ {0})) |
11 | 10 | ssriv 3982 | . . . 4 โข โ โ (โ โ {0}) |
12 | xpss12 5687 | . . . 4 โข ((โค โ โ โง โ โ (โ โ {0})) โ (โค ร โ) โ (โ ร (โ โ {0}))) | |
13 | 6, 11, 12 | mp2an 691 | . . 3 โข (โค ร โ) โ (โ ร (โ โ {0})) |
14 | ovelimab 7593 | . . 3 โข (( / Fn (โ ร (โ โ {0})) โง (โค ร โ) โ (โ ร (โ โ {0}))) โ (๐ด โ ( / โ (โค ร โ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ))) | |
15 | 5, 13, 14 | mp2an 691 | . 2 โข (๐ด โ ( / โ (โค ร โ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) |
16 | 2, 15 | bitri 275 | 1 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1534 โ wcel 2099 โ wne 2935 โwrex 3065 โ cdif 3941 โ wss 3944 {csn 4624 ร cxp 5670 โ cima 5675 Fn wfn 6537 โฉcrio 7369 (class class class)co 7414 โcc 11130 0cc0 11132 ยท cmul 11137 / cdiv 11895 โcn 12236 โคcz 12582 โcq 12956 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1790 ax-4 1804 ax-5 1906 ax-6 1964 ax-7 2004 ax-8 2101 ax-9 2109 ax-10 2130 ax-11 2147 ax-12 2164 ax-ext 2698 ax-sep 5293 ax-nul 5300 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7734 ax-resscn 11189 ax-1cn 11190 ax-icn 11191 ax-addcl 11192 ax-addrcl 11193 ax-mulcl 11194 ax-mulrcl 11195 ax-mulcom 11196 ax-addass 11197 ax-mulass 11198 ax-distr 11199 ax-i2m1 11200 ax-1ne0 11201 ax-1rid 11202 ax-rnegex 11203 ax-rrecex 11204 ax-cnre 11205 ax-pre-lttri 11206 ax-pre-lttrn 11207 ax-pre-ltadd 11208 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 847 df-3or 1086 df-3an 1087 df-tru 1537 df-fal 1547 df-ex 1775 df-nf 1779 df-sb 2061 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2936 df-nel 3042 df-ral 3057 df-rex 3066 df-reu 3372 df-rab 3428 df-v 3471 df-sbc 3775 df-csb 3890 df-dif 3947 df-un 3949 df-in 3951 df-ss 3961 df-pss 3963 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5143 df-opab 5205 df-mpt 5226 df-tr 5260 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6299 df-ord 6366 df-on 6367 df-lim 6368 df-suc 6369 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7370 df-ov 7417 df-oprab 7418 df-mpo 7419 df-om 7865 df-1st 7987 df-2nd 7988 df-frecs 8280 df-wrecs 8311 df-recs 8385 df-rdg 8424 df-er 8718 df-en 8958 df-dom 8959 df-sdom 8960 df-pnf 11274 df-mnf 11275 df-xr 11276 df-ltxr 11277 df-le 11278 df-neg 11471 df-div 11896 df-nn 12237 df-z 12583 df-q 12957 |
This theorem is referenced by: qmulz 12959 znq 12960 qre 12961 qexALT 12972 qaddcl 12973 qnegcl 12974 qmulcl 12975 qreccl 12977 elpq 12983 eirr 16175 qnnen 16183 sqrt2irr 16219 qredeu 16622 pceu 16808 pcqmul 16815 pcqcl 16818 pcneg 16836 pcz 16843 pcadd 16851 qsssubdrg 21352 ostthlem1 27553 ipasslem5 30638 1fldgenq 33003 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |