Theorem elq 12932

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 12931	. . 3 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2	1	eleq2i 2817	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3		df-div 11870	. . . 4 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		riotaex 7362	. . . 4 ⊢ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ V
5	3, 4	fnmpoi 8050	. . 3 ⊢ / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
6		zsscn 12564	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		nncn 12218	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		nnne0 12244	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
9		eldifsn 4783	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
10	7, 8, 9	sylanbrc 582	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	ssriv 3979	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
12		xpss12 5682	. . . 4 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
13	6, 11, 12	mp2an 689	. . 3 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
14		ovelimab 7579	. . 3 ⊢ (( / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0})) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
15	5, 13, 14	mp2an 689	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
16	2, 15	bitri 275	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Syntax hints:   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2932  ∃wrex 3062   ∖ cdif 3938   ⊆ wss 3941  {csn 4621   × cxp 5665   “ cima 5670   Fn wfn 6529  ℩crio 7357  (class class class)co 7402  ℂcc 11105  0cc0 11107   · cmul 11112   / cdiv 11869  ℕcn 12210  ℤcz 12556  ℚcq 12930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-neg 11445  df-div 11870  df-nn 12211  df-z 12557  df-q 12931

This theorem is referenced by:  qmulz  12933  znq  12934  qre  12935  qexALT  12946  qaddcl  12947  qnegcl  12948  qmulcl  12949  qreccl  12951  elpq  12957  eirr  16147  qnnen  16155  sqrt2irr  16191  qredeu  16594  pceu  16780  pcqmul  16787  pcqcl  16790  pcneg  16808  pcz  16815  pcadd  16823  qsssubdrg  21290  ostthlem1  27479  ipasslem5  30560  1fldgenq  32881