MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elq 12690
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-q 12689 . . 3 ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
21eleq2i 2830 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3 df-div 11633 . . . 4 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4 riotaex 7236 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ V
53, 4fnmpoi 7910 . . 3 / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
6 zsscn 12327 . . . 4 ℤ ⊆ ℂ
7 nncn 11981 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 nnne0 12007 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
9 eldifsn 4720 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
107, 8, 9sylanbrc 583 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1110ssriv 3925 . . . 4 ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
12 xpss12 5604 . . . 4 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
136, 11, 12mp2an 689 . . 3 (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
14 ovelimab 7450 . . 3 (( / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0})) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
155, 13, 14mp2an 689 . 2 (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
162, 15bitri 274 1 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wrex 3065  cdif 3884  wss 3887  {csn 4561   × cxp 5587  cima 5592   Fn wfn 6428  crio 7231  (class class class)co 7275  cc 10869  0cc0 10871   · cmul 10876   / cdiv 11632  cn 11973  cz 12319  cq 12688
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-z 12320  df-q 12689
This theorem is referenced by:  qmulz  12691  znq  12692  qre  12693  qexALT  12704  qaddcl  12705  qnegcl  12706  qmulcl  12707  qreccl  12709  elpq  12715  eirr  15914  qnnen  15922  sqrt2irr  15958  qredeu  16363  pceu  16547  pcqmul  16554  pcqcl  16557  pcneg  16575  pcz  16582  pcadd  16590  qsssubdrg  20657  ostthlem1  26775  ipasslem5  29197
  Copyright terms: Public domain W3C validator