MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elq Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elq 12830
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
elq (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-q 12829 . . 3 ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
21eleq2i 2830 . 2 (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3 df-div 11772 . . . 4 / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4 riotaex 7312 . . . 4 (𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ V
53, 4fnmpoi 7995 . . 3 / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
6 zsscn 12466 . . . 4 ℤ ⊆ ℂ
7 nncn 12120 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8 nnne0 12146 . . . . . 6 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
9 eldifsn 4746 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
107, 8, 9sylanbrc 584 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
1110ssriv 3947 . . . 4 ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
12 xpss12 5647 . . . 4 ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
136, 11, 12mp2an 691 . . 3 (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
14 ovelimab 7527 . . 3 (( / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0})) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
155, 13, 14mp2an 691 . 2 (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
162, 15bitri 275 1 (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  wrex 3072  cdif 3906  wss 3909  {csn 4585   × cxp 5630  cima 5635   Fn wfn 6489  crio 7307  (class class class)co 7352  cc 11008  0cc0 11010   · cmul 11015   / cdiv 11771  cn 12112  cz 12458  cq 12828
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-1st 7914  df-2nd 7915  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-neg 11347  df-div 11772  df-nn 12113  df-z 12459  df-q 12829
This theorem is referenced by:  qmulz  12831  znq  12832  qre  12833  qexALT  12844  qaddcl  12845  qnegcl  12846  qmulcl  12847  qreccl  12849  elpq  12855  eirr  16047  qnnen  16055  sqrt2irr  16091  qredeu  16494  pceu  16678  pcqmul  16685  pcqcl  16688  pcneg  16706  pcz  16713  pcadd  16721  qsssubdrg  20809  ostthlem1  26927  ipasslem5  29606  1fldgenq  31913
  Copyright terms: Public domain W3C validator