![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > elq | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.) |
Ref | Expression |
---|---|
elq | โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | df-q 12929 | . . 3 โข โ = ( / โ (โค ร โ)) | |
2 | 1 | eleq2i 2825 | . 2 โข (๐ด โ โ โ ๐ด โ ( / โ (โค ร โ))) |
3 | df-div 11868 | . . . 4 โข / = (๐ฅ โ โ, ๐ฆ โ (โ โ {0}) โฆ (โฉ๐ง โ โ (๐ฆ ยท ๐ง) = ๐ฅ)) | |
4 | riotaex 7365 | . . . 4 โข (โฉ๐ง โ โ (๐ฆ ยท ๐ง) = ๐ฅ) โ V | |
5 | 3, 4 | fnmpoi 8052 | . . 3 โข / Fn (โ ร (โ โ {0})) |
6 | zsscn 12562 | . . . 4 โข โค โ โ | |
7 | nncn 12216 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ ๐ฅ โ โ) | |
8 | nnne0 12242 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ โ โ ๐ฅ โ 0) | |
9 | eldifsn 4789 | . . . . . 6 โข (๐ฅ โ (โ โ {0}) โ (๐ฅ โ โ โง ๐ฅ โ 0)) | |
10 | 7, 8, 9 | sylanbrc 583 | . . . . 5 โข (๐ฅ โ โ โ ๐ฅ โ (โ โ {0})) |
11 | 10 | ssriv 3985 | . . . 4 โข โ โ (โ โ {0}) |
12 | xpss12 5690 | . . . 4 โข ((โค โ โ โง โ โ (โ โ {0})) โ (โค ร โ) โ (โ ร (โ โ {0}))) | |
13 | 6, 11, 12 | mp2an 690 | . . 3 โข (โค ร โ) โ (โ ร (โ โ {0})) |
14 | ovelimab 7581 | . . 3 โข (( / Fn (โ ร (โ โ {0})) โง (โค ร โ) โ (โ ร (โ โ {0}))) โ (๐ด โ ( / โ (โค ร โ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ))) | |
15 | 5, 13, 14 | mp2an 690 | . 2 โข (๐ด โ ( / โ (โค ร โ)) โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) |
16 | 2, 15 | bitri 274 | 1 โข (๐ด โ โ โ โ๐ฅ โ โค โ๐ฆ โ โ ๐ด = (๐ฅ / ๐ฆ)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1541 โ wcel 2106 โ wne 2940 โwrex 3070 โ cdif 3944 โ wss 3947 {csn 4627 ร cxp 5673 โ cima 5678 Fn wfn 6535 โฉcrio 7360 (class class class)co 7405 โcc 11104 0cc0 11106 ยท cmul 11111 / cdiv 11867 โcn 12208 โคcz 12554 โcq 12928 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5298 ax-nul 5305 ax-pow 5362 ax-pr 5426 ax-un 7721 ax-resscn 11163 ax-1cn 11164 ax-icn 11165 ax-addcl 11166 ax-addrcl 11167 ax-mulcl 11168 ax-mulrcl 11169 ax-mulcom 11170 ax-addass 11171 ax-mulass 11172 ax-distr 11173 ax-i2m1 11174 ax-1ne0 11175 ax-1rid 11176 ax-rnegex 11177 ax-rrecex 11178 ax-cnre 11179 ax-pre-lttri 11180 ax-pre-lttrn 11181 ax-pre-ltadd 11182 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3377 df-rab 3433 df-v 3476 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4322 df-if 4528 df-pw 4603 df-sn 4628 df-pr 4630 df-op 4634 df-uni 4908 df-iun 4998 df-br 5148 df-opab 5210 df-mpt 5231 df-tr 5265 df-id 5573 df-eprel 5579 df-po 5587 df-so 5588 df-fr 5630 df-we 5632 df-xp 5681 df-rel 5682 df-cnv 5683 df-co 5684 df-dm 5685 df-rn 5686 df-res 5687 df-ima 5688 df-pred 6297 df-ord 6364 df-on 6365 df-lim 6366 df-suc 6367 df-iota 6492 df-fun 6542 df-fn 6543 df-f 6544 df-f1 6545 df-fo 6546 df-f1o 6547 df-fv 6548 df-riota 7361 df-ov 7408 df-oprab 7409 df-mpo 7410 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-frecs 8262 df-wrecs 8293 df-recs 8367 df-rdg 8406 df-er 8699 df-en 8936 df-dom 8937 df-sdom 8938 df-pnf 11246 df-mnf 11247 df-xr 11248 df-ltxr 11249 df-le 11250 df-neg 11443 df-div 11868 df-nn 12209 df-z 12555 df-q 12929 |
This theorem is referenced by: qmulz 12931 znq 12932 qre 12933 qexALT 12944 qaddcl 12945 qnegcl 12946 qmulcl 12947 qreccl 12949 elpq 12955 eirr 16144 qnnen 16152 sqrt2irr 16188 qredeu 16591 pceu 16775 pcqmul 16782 pcqcl 16785 pcneg 16803 pcz 16810 pcadd 16818 qsssubdrg 20996 ostthlem1 27119 ipasslem5 30075 1fldgenq 32400 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |