Theorem elq 13081

Description: Membership in the set of rationals. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
elq	⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem elq

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-q 13080	. . 3 ⊢ ℚ = ( / “ (ℤ × ℕ))
2	1	eleq2i 2852	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ 𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)))
3		df-div 11978	. . . 4 ⊢ / = (𝑥 ∈ ℂ, 𝑦 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↦ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥))
4		riotaex 7382	. . . 4 ⊢ (℩𝑧 ∈ ℂ (𝑦 · 𝑧) = 𝑥) ∈ V
5	3, 4	fnmpoi 8082	. . 3 ⊢ / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
6		zsscn 12705	. . . 4 ⊢ ℤ ⊆ ℂ
7		nncn 12347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ ℂ)
8		nnne0 12376	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ≠ 0)
9		eldifsn 4744	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}) ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ≠ 0))
10	7, 8, 9	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℕ → 𝑥 ∈ (ℂ ∖ {0}))
11	10	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})
12		xpss12 5665	. . . 4 ⊢ ((ℤ ⊆ ℂ ∧ ℕ ⊆ (ℂ ∖ {0})) → (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0})))
13	6, 11, 12	mp2an 705	. . 3 ⊢ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))
14		ovelimab 7600	. . 3 ⊢ (( / Fn (ℂ × (ℂ ∖ {0})) ∧ (ℤ × ℕ) ⊆ (ℂ × (ℂ ∖ {0}))) → (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦)))
15	5, 13, 14	mp2an 705	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ( / “ (ℤ × ℕ)) ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))
16	2, 15	bitri 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℚ ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ ℕ 𝐴 = (𝑥 / 𝑦))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∖ cdif 4045  {csn 4584   × cxp 5648   “ cima 5653   Fn wfn 6534  ℩crio 7377  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  0cc0 11204   · cmul 11209   / cdiv 11977  ℕcn 12339  ℤcz 12697  ℚcq 13079

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-z 12698  df-q 13080

This theorem is used by:  qmulz  13082  znq  13083  qre  13084  qexALT  13095  qaddcl  13097  qnegcl  13098  qmulcl  13099  qreccl  13101  elpq  13107  eirr  16379  qnnen  16387  sqrt2irr  16423  qredeu  16839  pceu  17030  pcqmul  17037  pcqcl  17040  pcneg  17058  pcz  17065  pcadd  17073  qsssubdrg  21738  ostthlem1  27960  ipasslem5  31443  elq2  33450  1fldgenq  33931