Proof of Theorem cosordlem
| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | cosord.2 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (0[,]π)) |
| 2 | | 0re 11263 |
. . . . . . . 8
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 3 | | pire 26500 |
. . . . . . . 8
⊢ π
∈ ℝ |
| 4 | 2, 3 | elicc2i 13453 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π)) |
| 5 | 1, 4 | sylib 218 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ π)) |
| 6 | 5 | simp1d 1143 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ) |
| 7 | 6 | recnd 11289 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ) |
| 8 | | cosord.1 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (0[,]π)) |
| 9 | 2, 3 | elicc2i 13453 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤
𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)) |
| 10 | 8, 9 | sylib 218 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ π)) |
| 11 | 10 | simp1d 1143 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ) |
| 12 | 11 | recnd 11289 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ) |
| 13 | | subcos 16211 |
. . . 4
⊢ ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) →
((cos‘𝐴) −
(cos‘𝐵)) = (2
· ((sin‘((𝐵 +
𝐴) / 2)) ·
(sin‘((𝐵 −
𝐴) /
2))))) |
| 14 | 7, 12, 13 | syl2anc 584 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 ·
((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ·
(sin‘((𝐵 −
𝐴) /
2))))) |
| 15 | | 2rp 13039 |
. . . 4
⊢ 2 ∈
ℝ+ |
| 16 | 6, 11 | readdcld 11290 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ) |
| 17 | 16 | rehalfcld 12513 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ) |
| 18 | 17 | resincld 16179 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ) |
| 19 | 2 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ∈
ℝ) |
| 20 | 10 | simp2d 1144 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴) |
| 21 | | cosord.3 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐴 < 𝐵) |
| 22 | 19, 11, 6, 20, 21 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 0 < 𝐵) |
| 23 | 6, 11, 22, 20 | addgtge0d 11837 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 + 𝐴)) |
| 24 | | 2re 12340 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 2 ∈
ℝ |
| 25 | | 2pos 12369 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 0 <
2 |
| 26 | | divgt0 12136 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
→ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2)) |
| 27 | 24, 25, 26 | mpanr12 705 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2)) |
| 28 | 16, 23, 27 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2)) |
| 29 | 3 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → π ∈
ℝ) |
| 30 | 11, 6, 6, 21 | ltadd2dd 11420 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 𝐵)) |
| 31 | 7 | 2timesd 12509 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵)) |
| 32 | 30, 31 | breqtrrd 5171 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)) |
| 33 | 24 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 2 ∈
ℝ) |
| 34 | 25 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 0 < 2) |
| 35 | | ltdivmul 12143 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ
∧ 0 < 2)) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵))) |
| 36 | 16, 6, 33, 34, 35 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵))) |
| 37 | 32, 36 | mpbird 257 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵) |
| 38 | 5 | simp3d 1145 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ π) |
| 39 | 17, 6, 29, 37, 38 | ltletrd 11421 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π) |
| 40 | | 0xr 11308 |
. . . . . . . . 9
⊢ 0 ∈
ℝ* |
| 41 | 3 | rexri 11319 |
. . . . . . . . 9
⊢ π
∈ ℝ* |
| 42 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) →
(((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π))) |
| 43 | 40, 41, 42 | mp2an 692 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)) |
| 44 | 17, 28, 39, 43 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π)) |
| 45 | | sinq12gt0 26549 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 <
(sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2))) |
| 46 | 44, 45 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2))) |
| 47 | 18, 46 | elrpd 13074 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈
ℝ+) |
| 48 | 6, 11 | resubcld 11691 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ) |
| 49 | 48 | rehalfcld 12513 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ) |
| 50 | 49 | resincld 16179 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈ ℝ) |
| 51 | 11, 6 | posdifd 11850 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 𝐴))) |
| 52 | 21, 51 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 0 < (𝐵 − 𝐴)) |
| 53 | | divgt0 12136 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2))
→ 0 < ((𝐵 −
𝐴) / 2)) |
| 54 | 24, 25, 53 | mpanr12 705 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 − 𝐴)) → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)) |
| 55 | 48, 52, 54 | syl2anc 584 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2)) |
| 56 | | rehalfcl 12492 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (π
∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ) |
| 57 | 3, 56 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (π / 2) ∈
ℝ) |
| 58 | 6, 11 | subge02d 11855 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵)) |
| 59 | 20, 58 | mpbid 232 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ 𝐵) |
| 60 | 48, 6, 29, 59, 38 | letrd 11418 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝐴) ≤ π) |
| 61 | | lediv1 12133 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐵 − 𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ
∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐵 − 𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (π / 2))) |
| 62 | 48, 29, 33, 34, 61 | syl112anc 1376 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (π / 2))) |
| 63 | 60, 62 | mpbid 232 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ≤ (π / 2)) |
| 64 | | pirp 26503 |
. . . . . . . . . 10
⊢ π
∈ ℝ+ |
| 65 | | rphalflt 13064 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (π
∈ ℝ+ → (π / 2) < π) |
| 66 | 64, 65 | mp1i 13 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → (π / 2) <
π) |
| 67 | 49, 57, 29, 63, 66 | lelttrd 11419 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) < π) |
| 68 | | elioo2 13428 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((0
∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) →
(((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔
(((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0
< ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) < π))) |
| 69 | 40, 41, 68 | mp2an 692 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 − 𝐴) / 2) < π)) |
| 70 | 49, 55, 67, 69 | syl3anbrc 1344 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π)) |
| 71 | | sinq12gt0 26549 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐵 − 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 <
(sin‘((𝐵 −
𝐴) / 2))) |
| 72 | 70, 71 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) |
| 73 | 50, 72 | elrpd 13074 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2)) ∈
ℝ+) |
| 74 | 47, 73 | rpmulcld 13093 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈
ℝ+) |
| 75 | | rpmulcl 13058 |
. . . 4
⊢ ((2
∈ ℝ+ ∧ ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵 − 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) →
(2 · ((sin‘((𝐵
+ 𝐴) / 2)) ·
(sin‘((𝐵 −
𝐴) / 2)))) ∈
ℝ+) |
| 76 | 15, 74, 75 | sylancr 587 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (2 ·
((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ·
(sin‘((𝐵 −
𝐴) / 2)))) ∈
ℝ+) |
| 77 | 14, 76 | eqeltrd 2841 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈
ℝ+) |
| 78 | 6 | recoscld 16180 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈
ℝ) |
| 79 | 11 | recoscld 16180 |
. . 3
⊢ (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈
ℝ) |
| 80 | | difrp 13073 |
. . 3
⊢
(((cos‘𝐵)
∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈
ℝ+)) |
| 81 | 78, 79, 80 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (𝜑 → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈
ℝ+)) |
| 82 | 77, 81 | mpbird 257 |
1
⊢ (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴)) |