MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosordlem 25902
Description: Lemma for cosord 25903. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
cosord.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (0[,]Ο€))
cosord.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cosordlem (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄))

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (0[,]Ο€))
2 0re 11162 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 pire 25831 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
42, 3elicc2i 13336 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
65simp1d 1143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
76recnd 11188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8 cosord.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
92, 3elicc2i 13336 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
1110simp1d 1143 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 11188 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
13 subcos 16062 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))))
147, 12, 13syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))))
15 2rp 12925 . . . 4 2 ∈ ℝ+
166, 11readdcld 11189 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ)
1716rehalfcld 12405 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
1817resincld 16030 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2010simp2d 1144 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
21 cosord.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
2219, 11, 6, 20, 21lelttrd 11318 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
236, 11, 22, 20addgtge0d 11734 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 + 𝐴))
24 2re 12232 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
25 2pos 12261 . . . . . . . . . 10 0 < 2
26 divgt0 12028 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
2724, 25, 26mpanr12 704 . . . . . . . . 9 (((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 + 𝐴)) β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
2816, 23, 27syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
293a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3011, 6, 6, 21ltadd2dd 11319 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) < (𝐡 + 𝐡))
3172timesd 12401 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) = (𝐡 + 𝐡))
3230, 31breqtrrd 5134 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡))
3324a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
3425a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
35 ltdivmul 12035 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡 ↔ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
3616, 6, 33, 34, 35syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡 ↔ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡)
385simp3d 1145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3917, 6, 29, 37, 38ltletrd 11320 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€)
40 0xr 11207 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
413rexri 11218 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ*
42 elioo2 13311 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€)))
4340, 41, 42mp2an 691 . . . . . . . 8 (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€))
4417, 28, 39, 43syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€))
45 sinq12gt0 25880 . . . . . . 7 (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)))
4718, 46elrpd 12959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
486, 11resubcld 11588 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12405 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5049resincld 16030 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
5111, 6posdifd 11747 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5221, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
53 divgt0 12028 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
5424, 25, 53mpanr12 704 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
5548, 52, 54syl2anc 585 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
56 rehalfcl 12384 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
573, 56mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
586, 11subge02d 11752 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝐡))
5920, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝐡)
6048, 6, 29, 59, 38letrd 11317 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€)
61 lediv1 12025 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€ ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2)))
6248, 29, 33, 34, 61syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€ ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2)))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2))
64 pirp 25834 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
65 rphalflt 12949 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
6749, 57, 29, 63, 66lelttrd 11318 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€)
68 elioo2 13311 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€)))
6940, 41, 68mp2an 691 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€))
7049, 55, 67, 69syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€))
71 sinq12gt0 25880 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
7350, 72elrpd 12959 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
7447, 73rpmulcld 12978 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
75 rpmulcl 12943 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7615, 74, 75sylancr 588 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7714, 76eqeltrd 2834 . 2 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+)
786recoscld 16031 . . 3 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ ℝ)
7911recoscld 16031 . . 3 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
80 difrp 12958 . . 3 (((cosβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄) ↔ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+))
8178, 79, 80syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄) ↔ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+))
8277, 81mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  β„‚cc 11054  β„cr 11055  0cc0 11056   + caddc 11059   Β· cmul 11061  β„*cxr 11193   < clt 11194   ≀ cle 11195   βˆ’ cmin 11390   / cdiv 11817  2c2 12213  β„+crp 12920  (,)cioo 13270  [,]cicc 13273  sincsin 15951  cosccos 15952  Ο€cpi 15954
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-inf2 9582  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-pre-sup 11134  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-fi 9352  df-sup 9383  df-inf 9384  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-div 11818  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-q 12879  df-rp 12921  df-xneg 13038  df-xadd 13039  df-xmul 13040  df-ioo 13274  df-ioc 13275  df-ico 13276  df-icc 13277  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-fl 13703  df-seq 13913  df-exp 13974  df-fac 14180  df-bc 14209  df-hash 14237  df-shft 14958  df-cj 14990  df-re 14991  df-im 14992  df-sqrt 15126  df-abs 15127  df-limsup 15359  df-clim 15376  df-rlim 15377  df-sum 15577  df-ef 15955  df-sin 15957  df-cos 15958  df-pi 15960  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-rest 17309  df-topn 17310  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-topgen 17330  df-pt 17331  df-prds 17334  df-xrs 17389  df-qtop 17394  df-imas 17395  df-xps 17397  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-submnd 18607  df-mulg 18878  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  cosord  25903  cos0pilt1  25904
  Copyright terms: Public domain W3C validator