MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosordlem 26482
Description: Lemma for cosord 26483. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
cosord.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (0[,]Ο€))
cosord.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cosordlem (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄))

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (0[,]Ο€))
2 0re 11246 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 pire 26411 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
42, 3elicc2i 13422 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
65simp1d 1139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
76recnd 11272 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8 cosord.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
92, 3elicc2i 13422 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
1110simp1d 1139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 11272 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
13 subcos 16151 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))))
147, 12, 13syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))))
15 2rp 13011 . . . 4 2 ∈ ℝ+
166, 11readdcld 11273 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ)
1716rehalfcld 12489 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
1817resincld 16119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2010simp2d 1140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
21 cosord.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
2219, 11, 6, 20, 21lelttrd 11402 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
236, 11, 22, 20addgtge0d 11818 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 + 𝐴))
24 2re 12316 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
25 2pos 12345 . . . . . . . . . 10 0 < 2
26 divgt0 12112 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
2724, 25, 26mpanr12 703 . . . . . . . . 9 (((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 + 𝐴)) β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
2816, 23, 27syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
293a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3011, 6, 6, 21ltadd2dd 11403 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) < (𝐡 + 𝐡))
3172timesd 12485 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) = (𝐡 + 𝐡))
3230, 31breqtrrd 5171 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡))
3324a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
3425a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
35 ltdivmul 12119 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡 ↔ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
3616, 6, 33, 34, 35syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡 ↔ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
3732, 36mpbird 256 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡)
385simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3917, 6, 29, 37, 38ltletrd 11404 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€)
40 0xr 11291 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
413rexri 11302 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ*
42 elioo2 13397 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€)))
4340, 41, 42mp2an 690 . . . . . . . 8 (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€))
4417, 28, 39, 43syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€))
45 sinq12gt0 26460 . . . . . . 7 (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)))
4718, 46elrpd 13045 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
486, 11resubcld 11672 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12489 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5049resincld 16119 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
5111, 6posdifd 11831 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5221, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
53 divgt0 12112 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
5424, 25, 53mpanr12 703 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
5548, 52, 54syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
56 rehalfcl 12468 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
573, 56mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
586, 11subge02d 11836 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝐡))
5920, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝐡)
6048, 6, 29, 59, 38letrd 11401 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€)
61 lediv1 12109 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€ ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2)))
6248, 29, 33, 34, 61syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€ ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2)))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2))
64 pirp 26414 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
65 rphalflt 13035 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
6749, 57, 29, 63, 66lelttrd 11402 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€)
68 elioo2 13397 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€)))
6940, 41, 68mp2an 690 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€))
7049, 55, 67, 69syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€))
71 sinq12gt0 26460 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
7350, 72elrpd 13045 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
7447, 73rpmulcld 13064 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
75 rpmulcl 13029 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7615, 74, 75sylancr 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7714, 76eqeltrd 2825 . 2 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+)
786recoscld 16120 . . 3 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ ℝ)
7911recoscld 16120 . . 3 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
80 difrp 13044 . . 3 (((cosβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄) ↔ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+))
8178, 79, 80syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄) ↔ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+))
8277, 81mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   + caddc 11141   Β· cmul 11143  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279   βˆ’ cmin 11474   / cdiv 11901  2c2 12297  β„+crp 13006  (,)cioo 13356  [,]cicc 13359  sincsin 16039  cosccos 16040  Ο€cpi 16042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-seq 13999  df-exp 14059  df-fac 14265  df-bc 14294  df-hash 14322  df-shft 15046  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-ef 16043  df-sin 16045  df-cos 16046  df-pi 16048  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-fbas 21280  df-fg 21281  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cld 22941  df-ntr 22942  df-cls 22943  df-nei 23020  df-lp 23058  df-perf 23059  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-haus 23237  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-fil 23768  df-fm 23860  df-flim 23861  df-flf 23862  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-limc 25813  df-dv 25814
This theorem is referenced by:  cosord  26483  cos0pilt1  26484
  Copyright terms: Public domain W3C validator