MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosordlem 26419
Description: Lemma for cosord 26420. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
cosord.2 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (0[,]Ο€))
cosord.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
Assertion
Ref Expression
cosordlem (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄))

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ (0[,]Ο€))
2 0re 11220 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 pire 26348 . . . . . . . 8 Ο€ ∈ ℝ
42, 3elicc2i 13396 . . . . . . 7 (𝐡 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
51, 4sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐡 ∧ 𝐡 ≀ Ο€))
65simp1d 1139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
76recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
8 cosord.1 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (0[,]Ο€))
92, 3elicc2i 13396 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]Ο€) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
108, 9sylib 217 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ Ο€))
1110simp1d 1139 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 11246 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
13 subcos 16125 . . . 4 ((𝐡 ∈ β„‚ ∧ 𝐴 ∈ β„‚) β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))))
147, 12, 13syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) = (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))))
15 2rp 12985 . . . 4 2 ∈ ℝ+
166, 11readdcld 11247 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ)
1716rehalfcld 12463 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
1817resincld 16093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ∈ ℝ)
2010simp2d 1140 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 ≀ 𝐴)
21 cosord.3 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 < 𝐡)
2219, 11, 6, 20, 21lelttrd 11376 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 0 < 𝐡)
236, 11, 22, 20addgtge0d 11792 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 + 𝐴))
24 2re 12290 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
25 2pos 12319 . . . . . . . . . 10 0 < 2
26 divgt0 12086 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
2724, 25, 26mpanr12 702 . . . . . . . . 9 (((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 + 𝐴)) β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
2816, 23, 27syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2))
293a1i 11 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Ο€ ∈ ℝ)
3011, 6, 6, 21ltadd2dd 11377 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) < (𝐡 + 𝐡))
3172timesd 12459 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (2 Β· 𝐡) = (𝐡 + 𝐡))
3230, 31breqtrrd 5169 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡))
3324a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 2 ∈ ℝ)
3425a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 < 2)
35 ltdivmul 12093 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐡 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡 ↔ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
3616, 6, 33, 34, 35syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡 ↔ (𝐡 + 𝐴) < (2 Β· 𝐡)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < 𝐡)
385simp3d 1141 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐡 ≀ Ο€)
3917, 6, 29, 37, 38ltletrd 11378 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€)
40 0xr 11265 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
413rexri 11276 . . . . . . . . 9 Ο€ ∈ ℝ*
42 elioo2 13371 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€)))
4340, 41, 42mp2an 689 . . . . . . . 8 (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 + 𝐴) / 2) < Ο€))
4417, 28, 39, 43syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€))
45 sinq12gt0 26397 . . . . . . 7 (((𝐡 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)))
4718, 46elrpd 13019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
486, 11resubcld 11646 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12463 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5049resincld 16093 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
5111, 6posdifd 11805 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐴 < 𝐡 ↔ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)))
5221, 51mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴))
53 divgt0 12086 . . . . . . . . . 10 ((((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
5424, 25, 53mpanr12 702 . . . . . . . . 9 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐡 βˆ’ 𝐴)) β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
5548, 52, 54syl2anc 583 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))
56 rehalfcl 12442 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
573, 56mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€ / 2) ∈ ℝ)
586, 11subge02d 11810 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (0 ≀ 𝐴 ↔ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝐡))
5920, 58mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ 𝐡)
6048, 6, 29, 59, 38letrd 11375 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€)
61 lediv1 12083 . . . . . . . . . . 11 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) ∈ ℝ ∧ Ο€ ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€ ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2)))
6248, 29, 33, 34, 61syl112anc 1371 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) ≀ Ο€ ↔ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2)))
6360, 62mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ≀ (Ο€ / 2))
64 pirp 26351 . . . . . . . . . 10 Ο€ ∈ ℝ+
65 rphalflt 13009 . . . . . . . . . 10 (Ο€ ∈ ℝ+ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (Ο€ / 2) < Ο€)
6749, 57, 29, 63, 66lelttrd 11376 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€)
68 elioo2 13371 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ Ο€ ∈ ℝ*) β†’ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€)))
6940, 41, 68mp2an 689 . . . . . . . 8 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) ↔ (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∧ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) < Ο€))
7049, 55, 67, 69syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€))
71 sinq12gt0 26397 . . . . . . 7 (((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2) ∈ (0(,)Ο€) β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 0 < (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))
7350, 72elrpd 13019 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
7447, 73rpmulcld 13038 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
75 rpmulcl 13003 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7615, 74, 75sylancr 586 . . 3 (πœ‘ β†’ (2 Β· ((sinβ€˜((𝐡 + 𝐴) / 2)) Β· (sinβ€˜((𝐡 βˆ’ 𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7714, 76eqeltrd 2827 . 2 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+)
786recoscld 16094 . . 3 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) ∈ ℝ)
7911recoscld 16094 . . 3 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ)
80 difrp 13018 . . 3 (((cosβ€˜π΅) ∈ ℝ ∧ (cosβ€˜π΄) ∈ ℝ) β†’ ((cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄) ↔ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+))
8178, 79, 80syl2anc 583 . 2 (πœ‘ β†’ ((cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄) ↔ ((cosβ€˜π΄) βˆ’ (cosβ€˜π΅)) ∈ ℝ+))
8277, 81mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (cosβ€˜π΅) < (cosβ€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   + caddc 11115   Β· cmul 11117  β„*cxr 11251   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  2c2 12271  β„+crp 12980  (,)cioo 13330  [,]cicc 13333  sincsin 16013  cosccos 16014  Ο€cpi 16016
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751
This theorem is referenced by:  cosord  26420  cos0pilt1  26421
  Copyright terms: Public domain W3C validator