MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cosordlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cosordlem 26587
Description: Lemma for cosord 26588. (Contributed by Mario Carneiro, 10-May-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cosord.1 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]π))
cosord.2 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]π))
cosord.3 (𝜑𝐴 < 𝐵)
Assertion
Ref Expression
cosordlem (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))

Proof of Theorem cosordlem
StepHypRef Expression
1 cosord.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ (0[,]π))
2 0re 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
3 pire 26515 . . . . . . . 8 π ∈ ℝ
42, 3elicc2i 13450 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
51, 4sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐵𝐵 ≤ π))
65simp1d 1141 . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
76recnd 11287 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8 cosord.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (0[,]π))
92, 3elicc2i 13450 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (0[,]π) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
108, 9sylib 218 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴𝐴 ≤ π))
1110simp1d 1141 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
1211recnd 11287 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
13 subcos 16208 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))))
147, 12, 13syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) = (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))))
15 2rp 13037 . . . 4 2 ∈ ℝ+
166, 11readdcld 11288 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ)
1716rehalfcld 12511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ)
1817resincld 16176 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
192a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℝ)
2010simp2d 1142 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
21 cosord.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 < 𝐵)
2219, 11, 6, 20, 21lelttrd 11417 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 0 < 𝐵)
236, 11, 22, 20addgtge0d 11835 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵 + 𝐴))
24 2re 12338 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
25 2pos 12367 . . . . . . . . . 10 0 < 2
26 divgt0 12134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
2724, 25, 26mpanr12 705 . . . . . . . . 9 (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵 + 𝐴)) → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
2816, 23, 27syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2))
293a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑 → π ∈ ℝ)
3011, 6, 6, 21ltadd2dd 11418 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (𝐵 + 𝐵))
3172timesd 12507 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (2 · 𝐵) = (𝐵 + 𝐵))
3230, 31breqtrrd 5176 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵))
3324a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 2 ∈ ℝ)
3425a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 < 2)
35 ltdivmul 12141 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵 + 𝐴) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
3616, 6, 33, 34, 35syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵 ↔ (𝐵 + 𝐴) < (2 · 𝐵)))
3732, 36mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < 𝐵)
385simp3d 1143 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐵 ≤ π)
3917, 6, 29, 37, 38ltletrd 11419 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)
40 0xr 11306 . . . . . . . . 9 0 ∈ ℝ*
413rexri 11317 . . . . . . . . 9 π ∈ ℝ*
42 elioo2 13425 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π)))
4340, 41, 42mp2an 692 . . . . . . . 8 (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∧ ((𝐵 + 𝐴) / 2) < π))
4417, 28, 39, 43syl3anbrc 1342 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
45 sinq12gt0 26564 . . . . . . 7 (((𝐵 + 𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
4644, 45syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)))
4718, 46elrpd 13072 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
486, 11resubcld 11689 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵𝐴) ∈ ℝ)
4948rehalfcld 12511 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ)
5049resincld 16176 . . . . . 6 (𝜑 → (sin‘((𝐵𝐴) / 2)) ∈ ℝ)
5111, 6posdifd 11848 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵𝐴)))
5221, 51mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → 0 < (𝐵𝐴))
53 divgt0 12134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
5424, 25, 53mpanr12 705 . . . . . . . . 9 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝐴)) → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
5548, 52, 54syl2anc 584 . . . . . . . 8 (𝜑 → 0 < ((𝐵𝐴) / 2))
56 rehalfcl 12490 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ → (π / 2) ∈ ℝ)
573, 56mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π / 2) ∈ ℝ)
586, 11subge02d 11853 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (0 ≤ 𝐴 ↔ (𝐵𝐴) ≤ 𝐵))
5920, 58mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ 𝐵)
6048, 6, 29, 59, 38letrd 11416 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐵𝐴) ≤ π)
61 lediv1 12131 . . . . . . . . . . 11 (((𝐵𝐴) ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((𝐵𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
6248, 29, 33, 34, 61syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐵𝐴) ≤ π ↔ ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2)))
6360, 62mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ≤ (π / 2))
64 pirp 26518 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℝ+
65 rphalflt 13062 . . . . . . . . . 10 (π ∈ ℝ+ → (π / 2) < π)
6664, 65mp1i 13 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (π / 2) < π)
6749, 57, 29, 63, 66lelttrd 11417 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) < π)
68 elioo2 13425 . . . . . . . . 9 ((0 ∈ ℝ* ∧ π ∈ ℝ*) → (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝐴) / 2) ∧ ((𝐵𝐴) / 2) < π)))
6940, 41, 68mp2an 692 . . . . . . . 8 (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) ↔ (((𝐵𝐴) / 2) ∈ ℝ ∧ 0 < ((𝐵𝐴) / 2) ∧ ((𝐵𝐴) / 2) < π))
7049, 55, 67, 69syl3anbrc 1342 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π))
71 sinq12gt0 26564 . . . . . . 7 (((𝐵𝐴) / 2) ∈ (0(,)π) → 0 < (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))
7270, 71syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → 0 < (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))
7350, 72elrpd 13072 . . . . 5 (𝜑 → (sin‘((𝐵𝐴) / 2)) ∈ ℝ+)
7447, 73rpmulcld 13091 . . . 4 (𝜑 → ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2))) ∈ ℝ+)
75 rpmulcl 13056 . . . 4 ((2 ∈ ℝ+ ∧ ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2))) ∈ ℝ+) → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7615, 74, 75sylancr 587 . . 3 (𝜑 → (2 · ((sin‘((𝐵 + 𝐴) / 2)) · (sin‘((𝐵𝐴) / 2)))) ∈ ℝ+)
7714, 76eqeltrd 2839 . 2 (𝜑 → ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+)
786recoscld 16177 . . 3 (𝜑 → (cos‘𝐵) ∈ ℝ)
7911recoscld 16177 . . 3 (𝜑 → (cos‘𝐴) ∈ ℝ)
80 difrp 13071 . . 3 (((cos‘𝐵) ∈ ℝ ∧ (cos‘𝐴) ∈ ℝ) → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
8178, 79, 80syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((cos‘𝐵) < (cos‘𝐴) ↔ ((cos‘𝐴) − (cos‘𝐵)) ∈ ℝ+))
8277, 81mpbird 257 1 (𝜑 → (cos‘𝐵) < (cos‘𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153   + caddc 11156   · cmul 11158  *cxr 11292   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  2c2 12319  +crp 13032  (,)cioo 13384  [,]cicc 13387  sincsin 16096  cosccos 16097  πcpi 16099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-fi 9449  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-q 12989  df-rp 13033  df-xneg 13152  df-xadd 13153  df-xmul 13154  df-ioo 13388  df-ioc 13389  df-ico 13390  df-icc 13391  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-sin 16102  df-cos 16103  df-pi 16105  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17469  df-topn 17470  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-topgen 17490  df-pt 17491  df-prds 17494  df-xrs 17549  df-qtop 17554  df-imas 17555  df-xps 17557  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-mulg 19099  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-psmet 21374  df-xmet 21375  df-met 21376  df-bl 21377  df-mopn 21378  df-fbas 21379  df-fg 21380  df-cnfld 21383  df-top 22916  df-topon 22933  df-topsp 22955  df-bases 22969  df-cld 23043  df-ntr 23044  df-cls 23045  df-nei 23122  df-lp 23160  df-perf 23161  df-cn 23251  df-cnp 23252  df-haus 23339  df-tx 23586  df-hmeo 23779  df-fil 23870  df-fm 23962  df-flim 23963  df-flf 23964  df-xms 24346  df-ms 24347  df-tms 24348  df-cncf 24918  df-limc 25916  df-dv 25917
This theorem is referenced by:  cosord  26588  cos0pilt1  26589
  Copyright terms: Public domain W3C validator