MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem2 27491
Description: Lemma for chebbnd1 27493: Show that log(𝑁) / 𝑁 does not change too much between 𝑁 and 𝑀 = ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 13028 . . . . 5 2 ∈ ℝ+
2 4nn 12342 . . . . . . 7 4 ∈ ℕ
3 4z 12643 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℤ
43a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
6 rehalfcl 12485 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
76adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
87flcld 13813 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
95, 8eqeltrid 2829 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
10 4t2e8 12427 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 2) = 8
11 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
1210, 11eqbrtrid 5187 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
13 4re 12343 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℝ
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
15 simpl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 2re 12333 . . . . . . . . . . . . 13 2 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18 2pos 12362 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
20 lemuldiv 12141 . . . . . . . . . . . 12 ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
2212, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
23 flge 13820 . . . . . . . . . . 11 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
247, 3, 23sylancl 584 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
2522, 24mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
2625, 5breqtrrdi 5194 . . . . . . . 8 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
27 eluz2 12875 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ (ℤ‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1340 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ‘4))
29 eluznn 12949 . . . . . . 7 ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
302, 28, 29sylancr 585 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
3130nnrpd 13063 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
32 rpmulcl 13046 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ+𝑀 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
331, 31, 32sylancr 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
3433relogcld 26642 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
3534, 33rerpdivcld 13096 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
36 0red 11263 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
37 8re 12355 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
39 8pos 12371 . . . . . . . 8 0 < 8
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 11420 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4215, 41elrpd 13062 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4342rphalfcld 13077 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
4443relogcld 26642 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
4544, 43rerpdivcld 13096 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
4642relogcld 26642 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4746, 42rerpdivcld 13096 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
48 remulcl 11239 . . 3 ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
4916, 47, 48sylancr 585 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
509zred 12713 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
51 peano2re 11433 . . . . 5 (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
53 remulcl 11239 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
5416, 50, 53sylancr 585 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
55 flltp1 13815 . . . . . 6 ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
567, 55syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
575oveq1i 7433 . . . . 5 (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1)
5856, 57breqtrrdi 5194 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (𝑀 + 1))
59 1red 11261 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
6030nnge1d 12307 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
6159, 50, 50, 60leadd2dd 11875 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑀 + 𝑀))
6250recnd 11288 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
63622timesd 12502 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
6461, 63breqtrrd 5180 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (2 · 𝑀))
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 11420 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (2 · 𝑀))
66 ere 16086 . . . . . 6 e ∈ ℝ
6766a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
68 egt2lt3 16203 . . . . . . . . 9 (2 < e ∧ e < 3)
6968simpri 484 . . . . . . . 8 e < 3
70 3lt4 12433 . . . . . . . 8 3 < 4
71 3re 12339 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℝ
7266, 71, 13lttri 11386 . . . . . . . 8 ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
7369, 70, 72mp2an 690 . . . . . . 7 e < 4
7473a1i 11 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 11420 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (𝑁 / 2))
7667, 7, 75ltled 11408 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (𝑁 / 2))
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 11421 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (2 · 𝑀))
7867, 54, 77ltled 11408 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (2 · 𝑀))
79 logdivlt 26640 . . . 4 ((((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑁 / 2)) ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ e ≤ (2 · 𝑀))) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 837 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
8165, 80mpbid 231 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82 rphalflt 13052 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 2) < 𝑁)
8342, 82syl 17 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < 𝑁)
84 logltb 26619 . . . . . 6 (((𝑁 / 2) ∈ ℝ+𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
8543, 42, 84syl2anc 582 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
8683, 85mpbid 231 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁))
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 13122 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)))
8846recnd 11288 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
8915recnd 11288 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
9017recnd 11288 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
9142rpne0d 13070 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
92 2ne0 12363 . . . . . 6 2 ≠ 0
9392a1i 11 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 12069 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁))
9588, 90mulcomd 11281 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) · 2) = (2 · (log‘𝑁)))
9695oveq1d 7438 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁) = ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁))
9790, 88, 89, 91divassd 12072 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
9894, 96, 973eqtrd 2769 . . 3 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
9987, 98breqtrd 5178 . 2 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 11421 1 ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929   class class class wbr 5152  cfv 6553  (class class class)co 7423  cr 11153  0cc0 11154  1c1 11155   + caddc 11157   · cmul 11159   < clt 11294  cle 11295   / cdiv 11917  cn 12259  2c2 12314  3c3 12315  4c4 12316  8c8 12320  cz 12605  cuz 12869  +crp 13023  cfl 13805  eceu 16059  logclog 26573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5368  ax-pr 5432  ax-un 7745  ax-inf2 9680  ax-cnex 11210  ax-resscn 11211  ax-1cn 11212  ax-icn 11213  ax-addcl 11214  ax-addrcl 11215  ax-mulcl 11216  ax-mulrcl 11217  ax-mulcom 11218  ax-addass 11219  ax-mulass 11220  ax-distr 11221  ax-i2m1 11222  ax-1ne0 11223  ax-1rid 11224  ax-rnegex 11225  ax-rrecex 11226  ax-cnre 11227  ax-pre-lttri 11228  ax-pre-lttrn 11229  ax-pre-ltadd 11230  ax-pre-mulgt0 11231  ax-pre-sup 11232  ax-addf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5579  df-eprel 5585  df-po 5593  df-so 5594  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5687  df-rel 5688  df-cnv 5689  df-co 5690  df-dm 5691  df-rn 5692  df-res 5693  df-ima 5694  df-pred 6311  df-ord 6378  df-on 6379  df-lim 6380  df-suc 6381  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7379  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-of 7689  df-om 7876  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8174  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-rdg 8439  df-1o 8495  df-2o 8496  df-er 8733  df-map 8856  df-pm 8857  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9402  df-fi 9450  df-sup 9481  df-inf 9482  df-oi 9549  df-card 9978  df-pnf 11296  df-mnf 11297  df-xr 11298  df-ltxr 11299  df-le 11300  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11918  df-nn 12260  df-2 12322  df-3 12323  df-4 12324  df-5 12325  df-6 12326  df-7 12327  df-8 12328  df-9 12329  df-n0 12520  df-z 12606  df-dec 12725  df-uz 12870  df-q 12980  df-rp 13024  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-ioo 13377  df-ioc 13378  df-ico 13379  df-icc 13380  df-fz 13534  df-fzo 13677  df-fl 13807  df-mod 13885  df-seq 14017  df-exp 14077  df-fac 14286  df-bc 14315  df-hash 14343  df-shft 15067  df-cj 15099  df-re 15100  df-im 15101  df-sqrt 15235  df-abs 15236  df-limsup 15468  df-clim 15485  df-rlim 15486  df-sum 15686  df-ef 16064  df-e 16065  df-sin 16066  df-cos 16067  df-pi 16069  df-struct 17144  df-sets 17161  df-slot 17179  df-ndx 17191  df-base 17209  df-ress 17238  df-plusg 17274  df-mulr 17275  df-starv 17276  df-sca 17277  df-vsca 17278  df-ip 17279  df-tset 17280  df-ple 17281  df-ds 17283  df-unif 17284  df-hom 17285  df-cco 17286  df-rest 17432  df-topn 17433  df-0g 17451  df-gsum 17452  df-topgen 17453  df-pt 17454  df-prds 17457  df-xrs 17512  df-qtop 17517  df-imas 17518  df-xps 17520  df-mre 17594  df-mrc 17595  df-acs 17597  df-mgm 18628  df-sgrp 18707  df-mnd 18723  df-submnd 18769  df-mulg 19057  df-cntz 19306  df-cmn 19775  df-psmet 21327  df-xmet 21328  df-met 21329  df-bl 21330  df-mopn 21331  df-fbas 21332  df-fg 21333  df-cnfld 21336  df-top 22879  df-topon 22896  df-topsp 22918  df-bases 22932  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24309  df-ms 24310  df-tms 24311  df-cncf 24881  df-limc 25878  df-dv 25879  df-log 26575
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  27492
  Copyright terms: Public domain W3C validator