MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem2 26834
Description: Lemma for chebbnd1 26836: Show that log(๐‘) / ๐‘ does not change too much between ๐‘ and ๐‘€ = โŒŠ(๐‘ / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 12927 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
2 4nn 12243 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
3 4z 12544 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
43a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))
6 rehalfcl 12386 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
76adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
87flcld 13710 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) โˆˆ โ„ค)
95, 8eqeltrid 2842 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
10 4t2e8 12328 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
11 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 8 โ‰ค ๐‘)
1210, 11eqbrtrid 5145 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (4 ยท 2) โ‰ค ๐‘)
13 4re 12244 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โˆˆ โ„)
15 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
16 2re 12234 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
18 2pos 12263 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 < 2)
20 lemuldiv 12042 . . . . . . . . . . . 12 ((4 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((4 ยท 2) โ‰ค ๐‘ โ†” 4 โ‰ค (๐‘ / 2)))
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1375 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((4 ยท 2) โ‰ค ๐‘ โ†” 4 โ‰ค (๐‘ / 2)))
2212, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค (๐‘ / 2))
23 flge 13717 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 โ‰ค (๐‘ / 2) โ†” 4 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))))
247, 3, 23sylancl 587 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (4 โ‰ค (๐‘ / 2) โ†” 4 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))))
2522, 24mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)))
2625, 5breqtrrdi 5152 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘€)
27 eluz2 12776 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 4 โ‰ค ๐‘€))
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1344 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
29 eluznn 12850 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
302, 28, 29sylancr 588 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3130nnrpd 12962 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
32 rpmulcl 12945 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+)
331, 31, 32sylancr 588 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+)
3433relogcld 25994 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
3534, 33rerpdivcld 12995 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
36 0red 11165 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
37 8re 12256 . . . . . . . 8 8 โˆˆ โ„
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 8 โˆˆ โ„)
39 8pos 12272 . . . . . . . 8 0 < 8
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 < 8)
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 11322 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘)
4215, 41elrpd 12961 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
4342rphalfcld 12976 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„+)
4443relogcld 25994 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜(๐‘ / 2)) โˆˆ โ„)
4544, 43rerpdivcld 12995 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)) โˆˆ โ„)
4642relogcld 25994 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
4746, 42rerpdivcld 12995 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„)
48 remulcl 11143 . . 3 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
4916, 47, 48sylancr 588 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
509zred 12614 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
51 peano2re 11335 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
53 remulcl 11143 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
5416, 50, 53sylancr 588 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
55 flltp1 13712 . . . . . 6 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) + 1))
567, 55syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) + 1))
575oveq1i 7372 . . . . 5 (๐‘€ + 1) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) + 1)
5856, 57breqtrrdi 5152 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < (๐‘€ + 1))
59 1red 11163 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6030nnge1d 12208 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6159, 50, 50, 60leadd2dd 11777 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค (๐‘€ + ๐‘€))
6250recnd 11190 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
63622timesd 12403 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘€) = (๐‘€ + ๐‘€))
6461, 63breqtrrd 5138 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 11322 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < (2 ยท ๐‘€))
66 ere 15978 . . . . . 6 e โˆˆ โ„
6766a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e โˆˆ โ„)
68 egt2lt3 16095 . . . . . . . . 9 (2 < e โˆง e < 3)
6968simpri 487 . . . . . . . 8 e < 3
70 3lt4 12334 . . . . . . . 8 3 < 4
71 3re 12240 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
7266, 71, 13lttri 11288 . . . . . . . 8 ((e < 3 โˆง 3 < 4) โ†’ e < 4)
7369, 70, 72mp2an 691 . . . . . . 7 e < 4
7473a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e < 4)
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 11322 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e < (๐‘ / 2))
7667, 7, 75ltled 11310 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e โ‰ค (๐‘ / 2))
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 11323 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e < (2 ยท ๐‘€))
7867, 54, 77ltled 11310 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
79 logdivlt 25992 . . . 4 ((((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค (๐‘ / 2)) โˆง ((2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค (2 ยท ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ / 2) < (2 ยท ๐‘€) โ†” ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2))))
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 838 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) < (2 ยท ๐‘€) โ†” ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2))))
8165, 80mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)))
82 rphalflt 12951 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ / 2) < ๐‘)
8342, 82syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < ๐‘)
84 logltb 25971 . . . . . 6 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ / 2) < ๐‘ โ†” (logโ€˜(๐‘ / 2)) < (logโ€˜๐‘)))
8543, 42, 84syl2anc 585 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) < ๐‘ โ†” (logโ€˜(๐‘ / 2)) < (logโ€˜๐‘)))
8683, 85mpbid 231 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜(๐‘ / 2)) < (logโ€˜๐‘))
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 13021 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)) < ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ / 2)))
8846recnd 11190 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
8915recnd 11190 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9017recnd 11190 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9142rpne0d 12969 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
92 2ne0 12264 . . . . . 6 2 โ‰  0
9392a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 2 โ‰  0)
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 11970 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ / 2)) = (((logโ€˜๐‘) ยท 2) / ๐‘))
9588, 90mulcomd 11183 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) ยท 2) = (2 ยท (logโ€˜๐‘)))
9695oveq1d 7377 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (((logโ€˜๐‘) ยท 2) / ๐‘) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) / ๐‘))
9790, 88, 89, 91divassd 11973 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) / ๐‘) = (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
9894, 96, 973eqtrd 2781 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ / 2)) = (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
9987, 98breqtrd 5136 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)) < (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 11323 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2944   class class class wbr 5110  โ€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  โ„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063   < clt 11196   โ‰ค cle 11197   / cdiv 11819  โ„•cn 12160  2c2 12215  3c3 12216  4c4 12217  8c8 12221  โ„คcz 12506  โ„คโ‰ฅcuz 12770  โ„+crp 12922  โŒŠcfl 13702  eceu 15952  logclog 25926
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-e 15958  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  26835
  Copyright terms: Public domain W3C validator