MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem chebbnd1lem2 26980
Description: Lemma for chebbnd1 26982: Show that log(๐‘) / ๐‘ does not change too much between ๐‘ and ๐‘€ = โŒŠ(๐‘ / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem2.1 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2
StepHypRef Expression
1 2rp 12981 . . . . 5 2 โˆˆ โ„+
2 4nn 12297 . . . . . . 7 4 โˆˆ โ„•
3 4z 12598 . . . . . . . . 9 4 โˆˆ โ„ค
43a1i 11 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โˆˆ โ„ค)
5 chebbnd1lem2.1 . . . . . . . . 9 ๐‘€ = (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))
6 rehalfcl 12440 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
76adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„)
87flcld 13765 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) โˆˆ โ„ค)
95, 8eqeltrid 2837 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„ค)
10 4t2e8 12382 . . . . . . . . . . . 12 (4 ยท 2) = 8
11 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 8 โ‰ค ๐‘)
1210, 11eqbrtrid 5183 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (4 ยท 2) โ‰ค ๐‘)
13 4re 12298 . . . . . . . . . . . . 13 4 โˆˆ โ„
1413a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โˆˆ โ„)
15 simpl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„)
16 2re 12288 . . . . . . . . . . . . 13 2 โˆˆ โ„
1716a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„)
18 2pos 12317 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 2
1918a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 < 2)
20 lemuldiv 12096 . . . . . . . . . . . 12 ((4 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„ โˆง (2 โˆˆ โ„ โˆง 0 < 2)) โ†’ ((4 ยท 2) โ‰ค ๐‘ โ†” 4 โ‰ค (๐‘ / 2)))
2114, 15, 17, 19, 20syl112anc 1374 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((4 ยท 2) โ‰ค ๐‘ โ†” 4 โ‰ค (๐‘ / 2)))
2212, 21mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค (๐‘ / 2))
23 flge 13772 . . . . . . . . . . 11 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โˆง 4 โˆˆ โ„ค) โ†’ (4 โ‰ค (๐‘ / 2) โ†” 4 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))))
247, 3, 23sylancl 586 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (4 โ‰ค (๐‘ / 2) โ†” 4 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2))))
2522, 24mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค (โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)))
2625, 5breqtrrdi 5190 . . . . . . . 8 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 4 โ‰ค ๐‘€)
27 eluz2 12830 . . . . . . . 8 (๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4) โ†” (4 โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„ค โˆง 4 โ‰ค ๐‘€))
284, 9, 26, 27syl3anbrc 1343 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4))
29 eluznn 12904 . . . . . . 7 ((4 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘€ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜4)) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
302, 28, 29sylancr 587 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•)
3130nnrpd 13016 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„+)
32 rpmulcl 12999 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„+) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+)
331, 31, 32sylancr 587 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„+)
3433relogcld 26138 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
3534, 33rerpdivcld 13049 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) โˆˆ โ„)
36 0red 11219 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
37 8re 12310 . . . . . . . 8 8 โˆˆ โ„
3837a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 8 โˆˆ โ„)
39 8pos 12326 . . . . . . . 8 0 < 8
4039a1i 11 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 < 8)
4136, 38, 15, 40, 11ltletrd 11376 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 0 < ๐‘)
4215, 41elrpd 13015 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„+)
4342rphalfcld 13030 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) โˆˆ โ„+)
4443relogcld 26138 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜(๐‘ / 2)) โˆˆ โ„)
4544, 43rerpdivcld 13049 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)) โˆˆ โ„)
4642relogcld 26138 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„)
4746, 42rerpdivcld 13049 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„)
48 remulcl 11197 . . 3 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ((logโ€˜๐‘) / ๐‘) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
4916, 47, 48sylancr 587 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)) โˆˆ โ„)
509zred 12668 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„)
51 peano2re 11389 . . . . 5 (๐‘€ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
5250, 51syl 17 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘€ + 1) โˆˆ โ„)
53 remulcl 11197 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘€ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
5416, 50, 53sylancr 587 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„)
55 flltp1 13767 . . . . . 6 ((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘ / 2) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) + 1))
567, 55syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) + 1))
575oveq1i 7421 . . . . 5 (๐‘€ + 1) = ((โŒŠโ€˜(๐‘ / 2)) + 1)
5856, 57breqtrrdi 5190 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < (๐‘€ + 1))
59 1red 11217 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
6030nnge1d 12262 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 1 โ‰ค ๐‘€)
6159, 50, 50, 60leadd2dd 11831 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค (๐‘€ + ๐‘€))
6250recnd 11244 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„‚)
63622timesd 12457 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (2 ยท ๐‘€) = (๐‘€ + ๐‘€))
6461, 63breqtrrd 5176 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘€ + 1) โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
657, 52, 54, 58, 64ltletrd 11376 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < (2 ยท ๐‘€))
66 ere 16034 . . . . . 6 e โˆˆ โ„
6766a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e โˆˆ โ„)
68 egt2lt3 16151 . . . . . . . . 9 (2 < e โˆง e < 3)
6968simpri 486 . . . . . . . 8 e < 3
70 3lt4 12388 . . . . . . . 8 3 < 4
71 3re 12294 . . . . . . . . 9 3 โˆˆ โ„
7266, 71, 13lttri 11342 . . . . . . . 8 ((e < 3 โˆง 3 < 4) โ†’ e < 4)
7369, 70, 72mp2an 690 . . . . . . 7 e < 4
7473a1i 11 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e < 4)
7567, 14, 7, 74, 22ltletrd 11376 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e < (๐‘ / 2))
7667, 7, 75ltled 11364 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e โ‰ค (๐‘ / 2))
7767, 7, 54, 75, 65lttrd 11377 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e < (2 ยท ๐‘€))
7867, 54, 77ltled 11364 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ e โ‰ค (2 ยท ๐‘€))
79 logdivlt 26136 . . . 4 ((((๐‘ / 2) โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค (๐‘ / 2)) โˆง ((2 ยท ๐‘€) โˆˆ โ„ โˆง e โ‰ค (2 ยท ๐‘€))) โ†’ ((๐‘ / 2) < (2 ยท ๐‘€) โ†” ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2))))
807, 76, 54, 78, 79syl22anc 837 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) < (2 ยท ๐‘€) โ†” ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2))))
8165, 80mpbid 231 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)))
82 rphalflt 13005 . . . . . 6 (๐‘ โˆˆ โ„+ โ†’ (๐‘ / 2) < ๐‘)
8342, 82syl 17 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (๐‘ / 2) < ๐‘)
84 logltb 26115 . . . . . 6 (((๐‘ / 2) โˆˆ โ„+ โˆง ๐‘ โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘ / 2) < ๐‘ โ†” (logโ€˜(๐‘ / 2)) < (logโ€˜๐‘)))
8543, 42, 84syl2anc 584 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((๐‘ / 2) < ๐‘ โ†” (logโ€˜(๐‘ / 2)) < (logโ€˜๐‘)))
8683, 85mpbid 231 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜(๐‘ / 2)) < (logโ€˜๐‘))
8744, 46, 43, 86ltdiv1dd 13075 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)) < ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ / 2)))
8846recnd 11244 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (logโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
8915recnd 11244 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
9017recnd 11244 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
9142rpne0d 13023 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ๐‘ โ‰  0)
92 2ne0 12318 . . . . . 6 2 โ‰  0
9392a1i 11 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ 2 โ‰  0)
9488, 89, 90, 91, 93divdiv2d 12024 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ / 2)) = (((logโ€˜๐‘) ยท 2) / ๐‘))
9588, 90mulcomd 11237 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) ยท 2) = (2 ยท (logโ€˜๐‘)))
9695oveq1d 7426 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ (((logโ€˜๐‘) ยท 2) / ๐‘) = ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) / ๐‘))
9790, 88, 89, 91divassd 12027 . . . 4 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((2 ยท (logโ€˜๐‘)) / ๐‘) = (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
9894, 96, 973eqtrd 2776 . . 3 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜๐‘) / (๐‘ / 2)) = (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
9987, 98breqtrd 5174 . 2 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(๐‘ / 2)) / (๐‘ / 2)) < (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
10035, 45, 49, 81, 99lttrd 11377 1 ((๐‘ โˆˆ โ„ โˆง 8 โ‰ค ๐‘) โ†’ ((logโ€˜(2 ยท ๐‘€)) / (2 ยท ๐‘€)) < (2 ยท ((logโ€˜๐‘) / ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 396   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   ยท cmul 11117   < clt 11250   โ‰ค cle 11251   / cdiv 11873  โ„•cn 12214  2c2 12269  3c3 12270  4c4 12271  8c8 12275  โ„คcz 12560  โ„คโ‰ฅcuz 12824  โ„+crp 12976  โŒŠcfl 13757  eceu 16008  logclog 26070
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-q 12935  df-rp 12977  df-xneg 13094  df-xadd 13095  df-xmul 13096  df-ioo 13330  df-ioc 13331  df-ico 13332  df-icc 13333  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-fac 14236  df-bc 14265  df-hash 14293  df-shft 15016  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-limsup 15417  df-clim 15434  df-rlim 15435  df-sum 15635  df-ef 16013  df-e 16014  df-sin 16015  df-cos 16016  df-pi 16018  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-hom 17223  df-cco 17224  df-rest 17370  df-topn 17371  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-topgen 17391  df-pt 17392  df-prds 17395  df-xrs 17450  df-qtop 17455  df-imas 17456  df-xps 17458  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-mulg 18953  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-psmet 20942  df-xmet 20943  df-met 20944  df-bl 20945  df-mopn 20946  df-fbas 20947  df-fg 20948  df-cnfld 20951  df-top 22403  df-topon 22420  df-topsp 22442  df-bases 22456  df-cld 22530  df-ntr 22531  df-cls 22532  df-nei 22609  df-lp 22647  df-perf 22648  df-cn 22738  df-cnp 22739  df-haus 22826  df-tx 23073  df-hmeo 23266  df-fil 23357  df-fm 23449  df-flim 23450  df-flf 23451  df-xms 23833  df-ms 23834  df-tms 23835  df-cncf 24401  df-limc 25390  df-dv 25391  df-log 26072
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  26981
  Copyright terms: Public domain W3C validator