Theorem chebbnd1lem2 26523

Description: Lemma for chebbnd1 26525: Show that log(𝑁) / 𝑁 does not change too much between 𝑁 and 𝑀 = ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 12664	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		4nn 11986	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		4z 12284	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
5		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
6		rehalfcl 12129	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13446	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
9	5, 8	eqeltrid 2843	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		4t2e8 12071	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
12	10, 11	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
13		4re 11987	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		2re 11977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		2pos 12006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
20		lemuldiv 11785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
21	14, 15, 17, 19, 20	syl112anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
22	12, 21	mpbid 231	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
23		flge 13453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
24	7, 3, 23	sylancl 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
25	22, 24	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
26	25, 5	breqtrrdi 5112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
27		eluz2 12517	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
28	4, 9, 26, 27	syl3anbrc 1341	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4))
29		eluznn 12587	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	2, 28, 29	sylancr 586	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	nnrpd 12699	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
32		rpmulcl 12682	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
33	1, 31, 32	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
34	33	relogcld 25683	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
35	34, 33	rerpdivcld 12732	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
36		0red 10909	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
37		8re 11999	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
39		8pos 12015	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
41	36, 38, 15, 40, 11	ltletrd 11065	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
42	15, 41	elrpd 12698	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
43	42	rphalfcld 12713	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
44	43	relogcld 25683	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
45	44, 43	rerpdivcld 12732	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
46	42	relogcld 25683	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
47	46, 42	rerpdivcld 12732	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
48		remulcl 10887	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
49	16, 47, 48	sylancr 586	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
50	9	zred 12355	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
51		peano2re 11078	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
53		remulcl 10887	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
54	16, 50, 53	sylancr 586	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
55		flltp1 13448	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
56	7, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
57	5	oveq1i 7265	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1)
58	56, 57	breqtrrdi 5112	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (𝑀 + 1))
59		1red 10907	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
60	30	nnge1d 11951	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61	59, 50, 50, 60	leadd2dd 11520	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑀 + 𝑀))
62	50	recnd 10934	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
63	62	2timesd 12146	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
64	61, 63	breqtrrd 5098	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (2 · 𝑀))
65	7, 52, 54, 58, 64	ltletrd 11065	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (2 · 𝑀))
66		ere 15726	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
67	66	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
68		egt2lt3 15843	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
69	68	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ e < 3
70		3lt4 12077	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
71		3re 11983	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	66, 71, 13	lttri 11031	. . . . . . . 8 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
73	69, 70, 72	mp2an 688	. . . . . . 7 ⊢ e < 4
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
75	67, 14, 7, 74, 22	ltletrd 11065	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (𝑁 / 2))
76	67, 7, 75	ltled 11053	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (𝑁 / 2))
77	67, 7, 54, 75, 65	lttrd 11066	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (2 · 𝑀))
78	67, 54, 77	ltled 11053	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (2 · 𝑀))
79		logdivlt 25681	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑁 / 2)) ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ e ≤ (2 · 𝑀))) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
80	7, 76, 54, 78, 79	syl22anc 835	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
81	65, 80	mpbid 231	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82		rphalflt 12688	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 2) < 𝑁)
83	42, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < 𝑁)
84		logltb 25660	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
85	43, 42, 84	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
86	83, 85	mpbid 231	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁))
87	44, 46, 43, 86	ltdiv1dd 12758	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)))
88	46	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
89	15	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
90	17	recnd 10934	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
91	42	rpne0d 12706	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
92		2ne0 12007	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
94	88, 89, 90, 91, 93	divdiv2d 11713	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁))
95	88, 90	mulcomd 10927	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) · 2) = (2 · (log‘𝑁)))
96	95	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁) = ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁))
97	90, 88, 89, 91	divassd 11716	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
98	94, 96, 97	3eqtrd 2782	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
99	87, 98	breqtrd 5096	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
100	35, 45, 49, 81, 99	lttrd 11066	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940   ≤ cle 10941   / cdiv 11562  ℕcn 11903  2c2 11958  3c3 11959  4c4 11960  8c8 11964  ℤcz 12249  ℤ_≥cuz 12511  ℝ⁺crp 12659  ⌊cfl 13438  eceu 15700  logclog 25615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880  ax-addf 10881  ax-mulf 10882

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-2o 8268  df-er 8456  df-map 8575  df-pm 8576  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-fi 9100  df-sup 9131  df-inf 9132  df-oi 9199  df-card 9628  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-div 11563  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-q 12618  df-rp 12660  df-xneg 12777  df-xadd 12778  df-xmul 12779  df-ioo 13012  df-ioc 13013  df-ico 13014  df-icc 13015  df-fz 13169  df-fzo 13312  df-fl 13440  df-mod 13518  df-seq 13650  df-exp 13711  df-fac 13916  df-bc 13945  df-hash 13973  df-shft 14706  df-cj 14738  df-re 14739  df-im 14740  df-sqrt 14874  df-abs 14875  df-limsup 15108  df-clim 15125  df-rlim 15126  df-sum 15326  df-ef 15705  df-e 15706  df-sin 15707  df-cos 15708  df-pi 15710  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-starv 16903  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-unif 16911  df-hom 16912  df-cco 16913  df-rest 17050  df-topn 17051  df-0g 17069  df-gsum 17070  df-topgen 17071  df-pt 17072  df-prds 17075  df-xrs 17130  df-qtop 17135  df-imas 17136  df-xps 17138  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616  df-cntz 18838  df-cmn 19303  df-psmet 20502  df-xmet 20503  df-met 20504  df-bl 20505  df-mopn 20506  df-fbas 20507  df-fg 20508  df-cnfld 20511  df-top 21951  df-topon 21968  df-topsp 21990  df-bases 22004  df-cld 22078  df-ntr 22079  df-cls 22080  df-nei 22157  df-lp 22195  df-perf 22196  df-cn 22286  df-cnp 22287  df-haus 22374  df-tx 22621  df-hmeo 22814  df-fil 22905  df-fm 22997  df-flim 22998  df-flf 22999  df-xms 23381  df-ms 23382  df-tms 23383  df-cncf 23947  df-limc 24935  df-dv 24936  df-log 25617

This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  26524