Theorem chebbnd1lem2 27438

Description: Lemma for chebbnd1 27440: Show that log(𝑁) / 𝑁 does not change too much between 𝑁 and 𝑀 = ⌊(𝑁 / 2). (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
chebbnd1lem2.1	⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))

Assertion

Ref	Expression
chebbnd1lem2	⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Proof of Theorem chebbnd1lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2rp 13018	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ ℝ+
2		4nn 12328	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℕ
3		4z 12631	. . . . . . . . 9 ⊢ 4 ∈ ℤ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℤ)
5		chebbnd1lem2.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑀 = (⌊‘(𝑁 / 2))
6		rehalfcl 12473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
7	6	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ)
8	7	flcld 13820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (⌊‘(𝑁 / 2)) ∈ ℤ)
9	5, 8	eqeltrid 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℤ)
10		4t2e8 12413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (4 · 2) = 8
11		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ≤ 𝑁)
12	10, 11	eqbrtrid 5159	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 · 2) ≤ 𝑁)
13		4re 12329	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 4 ∈ ℝ
14	13	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ∈ ℝ)
15		simpl 482	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16		2re 12319	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℝ)
18		2pos 12348	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 < 2
19	18	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 2)
20		lemuldiv 12127	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((4 ∈ ℝ ∧ 𝑁 ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
21	14, 15, 17, 19, 20	syl112anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((4 · 2) ≤ 𝑁 ↔ 4 ≤ (𝑁 / 2)))
22	12, 21	mpbid 232	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (𝑁 / 2))
23		flge 13827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ 4 ∈ ℤ) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
24	7, 3, 23	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (4 ≤ (𝑁 / 2) ↔ 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2))))
25	22, 24	mpbid 232	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ (⌊‘(𝑁 / 2)))
26	25, 5	breqtrrdi 5166	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 4 ≤ 𝑀)
27		eluz2 12863	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ≥‘4) ↔ (4 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ∈ ℤ ∧ 4 ≤ 𝑀))
28	4, 9, 26, 27	syl3anbrc 1344	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4))
29		eluznn 12939	. . . . . . 7 ⊢ ((4 ∈ ℕ ∧ 𝑀 ∈ (ℤ≥‘4)) → 𝑀 ∈ ℕ)
30	2, 28, 29	sylancr 587	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℕ)
31	30	nnrpd 13054	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ+)
32		rpmulcl 13037	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑀 ∈ ℝ+) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
33	1, 31, 32	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ+)
34	33	relogcld 26589	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
35	34, 33	rerpdivcld 13087	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) ∈ ℝ)
36		0red 11243	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
37		8re 12341	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
38	37	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 8 ∈ ℝ)
39		8pos 12357	. . . . . . . 8 ⊢ 0 < 8
40	39	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 8)
41	36, 38, 15, 40, 11	ltletrd 11400	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
42	15, 41	elrpd 13053	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
43	42	rphalfcld 13068	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) ∈ ℝ+)
44	43	relogcld 26589	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
45	44, 43	rerpdivcld 13087	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) ∈ ℝ)
46	42	relogcld 26589	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
47	46, 42	rerpdivcld 13087	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ)
48		remulcl 11219	. . 3 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ ((log‘𝑁) / 𝑁) ∈ ℝ) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
49	16, 47, 48	sylancr 587	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)) ∈ ℝ)
50	9	zred 12702	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℝ)
51		peano2re 11413	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℝ → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
52	50, 51	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ∈ ℝ)
53		remulcl 11219	. . . . 5 ⊢ ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
54	16, 50, 53	sylancr 587	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) ∈ ℝ)
55		flltp1 13822	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 / 2) ∈ ℝ → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
56	7, 55	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1))
57	5	oveq1i 7420	. . . . 5 ⊢ (𝑀 + 1) = ((⌊‘(𝑁 / 2)) + 1)
58	56, 57	breqtrrdi 5166	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (𝑀 + 1))
59		1red 11241	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ∈ ℝ)
60	30	nnge1d 12293	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 1 ≤ 𝑀)
61	59, 50, 50, 60	leadd2dd 11857	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (𝑀 + 𝑀))
62	50	recnd 11268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑀 ∈ ℂ)
63	62	2timesd 12489	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (2 · 𝑀) = (𝑀 + 𝑀))
64	61, 63	breqtrrd 5152	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑀 + 1) ≤ (2 · 𝑀))
65	7, 52, 54, 58, 64	ltletrd 11400	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < (2 · 𝑀))
66		ere 16110	. . . . . 6 ⊢ e ∈ ℝ
67	66	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ∈ ℝ)
68		egt2lt3 16229	. . . . . . . . 9 ⊢ (2 < e ∧ e < 3)
69	68	simpri 485	. . . . . . . 8 ⊢ e < 3
70		3lt4 12419	. . . . . . . 8 ⊢ 3 < 4
71		3re 12325	. . . . . . . . 9 ⊢ 3 ∈ ℝ
72	66, 71, 13	lttri 11366	. . . . . . . 8 ⊢ ((e < 3 ∧ 3 < 4) → e < 4)
73	69, 70, 72	mp2an 692	. . . . . . 7 ⊢ e < 4
74	73	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < 4)
75	67, 14, 7, 74, 22	ltletrd 11400	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (𝑁 / 2))
76	67, 7, 75	ltled 11388	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (𝑁 / 2))
77	67, 7, 54, 75, 65	lttrd 11401	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e < (2 · 𝑀))
78	67, 54, 77	ltled 11388	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → e ≤ (2 · 𝑀))
79		logdivlt 26587	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 / 2) ∈ ℝ ∧ e ≤ (𝑁 / 2)) ∧ ((2 · 𝑀) ∈ ℝ ∧ e ≤ (2 · 𝑀))) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
80	7, 76, 54, 78, 79	syl22anc 838	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < (2 · 𝑀) ↔ ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2))))
81	65, 80	mpbid 232	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)))
82		rphalflt 13043	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℝ+ → (𝑁 / 2) < 𝑁)
83	42, 82	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (𝑁 / 2) < 𝑁)
84		logltb 26566	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 / 2) ∈ ℝ+ ∧ 𝑁 ∈ ℝ+) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
85	43, 42, 84	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((𝑁 / 2) < 𝑁 ↔ (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁)))
86	83, 85	mpbid 232	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘(𝑁 / 2)) < (log‘𝑁))
87	44, 46, 43, 86	ltdiv1dd 13113	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)))
88	46	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℂ)
89	15	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℂ)
90	17	recnd 11268	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ∈ ℂ)
91	42	rpne0d 13061	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 𝑁 ≠ 0)
92		2ne0 12349	. . . . . 6 ⊢ 2 ≠ 0
93	92	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → 2 ≠ 0)
94	88, 89, 90, 91, 93	divdiv2d 12054	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁))
95	88, 90	mulcomd 11261	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) · 2) = (2 · (log‘𝑁)))
96	95	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → (((log‘𝑁) · 2) / 𝑁) = ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁))
97	90, 88, 89, 91	divassd 12057	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((2 · (log‘𝑁)) / 𝑁) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
98	94, 96, 97	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (𝑁 / 2)) = (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
99	87, 98	breqtrd 5150	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(𝑁 / 2)) / (𝑁 / 2)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))
100	35, 45, 49, 81, 99	lttrd 11401	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℝ ∧ 8 ≤ 𝑁) → ((log‘(2 · 𝑀)) / (2 · 𝑀)) < (2 · ((log‘𝑁) / 𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℝcr 11133  0cc0 11134  1c1 11135   + caddc 11137   · cmul 11139   < clt 11274   ≤ cle 11275   / cdiv 11899  ℕcn 12245  2c2 12300  3c3 12301  4c4 12302  8c8 12306  ℤcz 12593  ℤ_≥cuz 12857  ℝ⁺crp 13013  ⌊cfl 13812  eceu 16083  logclog 26520

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-inf2 9660  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-pre-sup 11212  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-div 11900  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-q 12970  df-rp 13014  df-xneg 13133  df-xadd 13134  df-xmul 13135  df-ioo 13371  df-ioc 13372  df-ico 13373  df-icc 13374  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-fl 13814  df-mod 13892  df-seq 14025  df-exp 14085  df-fac 14297  df-bc 14326  df-hash 14354  df-shft 15091  df-cj 15123  df-re 15124  df-im 15125  df-sqrt 15259  df-abs 15260  df-limsup 15492  df-clim 15509  df-rlim 15510  df-sum 15708  df-ef 16088  df-e 16089  df-sin 16090  df-cos 16091  df-pi 16093  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-rest 17441  df-topn 17442  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-topgen 17462  df-pt 17463  df-prds 17466  df-xrs 17521  df-qtop 17526  df-imas 17527  df-xps 17529  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-mulg 19056  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-psmet 21312  df-xmet 21313  df-met 21314  df-bl 21315  df-mopn 21316  df-fbas 21317  df-fg 21318  df-cnfld 21321  df-top 22837  df-topon 22854  df-topsp 22876  df-bases 22889  df-cld 22962  df-ntr 22963  df-cls 22964  df-nei 23041  df-lp 23079  df-perf 23080  df-cn 23170  df-cnp 23171  df-haus 23258  df-tx 23505  df-hmeo 23698  df-fil 23789  df-fm 23881  df-flim 23882  df-flf 23883  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cncf 24827  df-limc 25824  df-dv 25825  df-log 26522

This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  27439