Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem66 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem66 44403
Description: Value of the 𝐺 function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem66.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem66.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem66.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem66.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem66.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem66.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem66.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem66.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem66.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem66.a 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛,𝑠)   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)   𝐺(𝑛,𝑠)   𝐻(𝑛,𝑠)   𝐾(𝑛,𝑠)   𝑊(𝑛,𝑠)   𝑋(𝑛,𝑠)   𝑌(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
21eqimssi 4002 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
3 difss 4091 . . . . . . 7 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
42, 3sstri 3953 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (-π[,]π)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3944 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
76adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
98adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1312adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 44392 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2019adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2120, 7ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
22 nnre 12160 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
2423fourierdlem5 44343 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2625ad2antlr 725 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2726, 7ffvelcdmd 7036 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
2821, 27remulcld 11185 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
29 fourierdlem66.g . . . 4 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3029fvmpt2 6959 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
317, 28, 30syl2anc 584 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 44347 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3332adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3433, 6ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
3517fourierdlem43 44381 . . . . . . . . 9 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
3736, 6ffvelcdmd 7036 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
3834, 37remulcld 11185 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
3918fvmpt2 6959 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
406, 38, 39syl2anc 584 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
41 0red 11158 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 0 ∈ ℝ)
428adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4310adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
44 pire 25815 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
4544renegcli 11462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ
46 iccssre 13346 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4745, 44, 46mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℝ
484sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (-π[,]π))
4947, 48sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝐴𝑠 ∈ ℝ)
5049adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
5143, 50readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5242, 51ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
5312, 14ifcld 4532 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5552, 54resubcld 11583 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
572, 56sselid 3942 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
5857eldifbd 3923 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
59 velsn 4602 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
6058, 59sylnib 327 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
6160neqned 2950 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
6255, 50, 61redivcld 11983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6341, 62ifcld 4532 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
6416fvmpt2 6959 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
656, 63, 64syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6660iffalsed 4497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
6765, 66eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
68 1red 11156 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
69 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
7150rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7271resincld 16025 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7370, 72remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
74 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7572recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
76 2ne0 12257 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
78 fourierdlem44 44382 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
796, 61, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8074, 75, 77, 79mulne0d 11807 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
8150, 73, 80redivcld 11983 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8268, 81ifcld 4532 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
8317fvmpt2 6959 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
846, 82, 83syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8560iffalsed 4497 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8684, 85eqtrd 2776 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8767, 86oveq12d 7375 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8855recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
8950recnd 11183 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
9074, 75mulcld 11175 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 11961 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9240, 87, 913eqtrd 2780 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9392adantlr 713 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9422ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
95 1red 11156 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9695rehalfcld 12400 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9794, 96readdcld 11184 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9849adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
9997, 98remulcld 11185 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
10099resincld 16025 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
10123fvmpt2 6959 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1027, 100, 101syl2anc 584 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10393, 102oveq12d 7375 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
10488adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
10590adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
106100recnd 11183 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
10780adantlr 713 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
108104, 105, 106, 107div32d 11954 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
10922adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
110 halfre 12367 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
112109, 111readdcld 11184 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11349adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 11185 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
115114resincld 16025 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
116115recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
118113rehalfcld 12400 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
119118resincld 16025 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
120117, 119remulcld 11185 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
121120recnd 11183 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
122 picn 25816 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
124 2cnd 12231 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ∈ ℂ)
125 rehalfcl 12379 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
126 resincl 16022 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12749, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
128127recnd 11183 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ≠ 0)
130 eldifsni 4750 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
131130, 1eleq2s 2856 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴𝑠 ≠ 0)
13248, 131, 78syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
133124, 128, 129, 132mulne0d 11807 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
134133adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
135 0re 11157 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
136 pipos 25817 . . . . . . . . . . 11 0 < π
137135, 136gtneii 11267 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
138137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ≠ 0)
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 11962 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)))
140 2cnd 12231 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
141128adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
142140, 141, 123mulassd 11178 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π) = (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)))
143142oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))))
144141, 123mulcomd 11176 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · π) = (π · (sin‘(𝑠 / 2))))
145144oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
146140, 123, 141mulassd 11178 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
147145, 146eqtr4d 2779 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
148147oveq2d 7373 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
149139, 143, 1483eqtrd 2780 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
150149oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
151115, 120, 134redivcld 11983 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
152151recnd 11183 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
153152, 123, 138divcan2d 11933 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
155154dirkerval2 44325 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
15649, 155sylan2 593 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
157 fourierdlem24 44362 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
158157, 1eleq2s 2856 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
159158neneqd 2948 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
160159adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
161160iffalsed 4497 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
162156, 161eqtr2d 2777 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
163162oveq2d 7373 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
164150, 153, 1633eqtr3d 2784 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
165164oveq2d 7373 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
166165adantll 712 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
167122a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
168154dirkerre 44326 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
16949, 168sylan2 593 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
170169recnd 11183 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
171170adantll 712 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
172104, 167, 171mul12d 11364 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
173108, 166, 1723eqtrd 2780 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
17431, 103, 1733eqtrd 2780 1 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  cdif 3907  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cmin 11385  -cneg 11386   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  [,]cicc 13267   mod cmo 13774  sincsin 15946  πcpi 15949
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-sin 15952  df-cos 15953  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-limc 25230  df-dv 25231
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  44432
  Copyright terms: Public domain W3C validator