Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem66 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem66 40906
Description: Value of the 𝐺 function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem66.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem66.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem66.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem66.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem66.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem66.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem66.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem66.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem66.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem66.a 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛,𝑠)   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)   𝐺(𝑛,𝑠)   𝐻(𝑛,𝑠)   𝐾(𝑛,𝑠)   𝑊(𝑛,𝑠)   𝑋(𝑛,𝑠)   𝑌(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
21eqimssi 3808 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
3 difss 3888 . . . . . . 7 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
42, 3sstri 3761 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (-π[,]π)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3752 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
76adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
98adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1312adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
1514adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 40895 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2019adantr 466 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2120, 7ffvelrnd 6503 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
22 nnre 11229 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
2423fourierdlem5 40846 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2625ad2antlr 706 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2726, 7ffvelrnd 6503 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
2821, 27remulcld 10272 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
29 fourierdlem66.g . . . 4 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3029fvmpt2 6433 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
317, 28, 30syl2anc 573 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 40850 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3332adantr 466 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3433, 6ffvelrnd 6503 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
3517fourierdlem43 40884 . . . . . . . . 9 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
3736, 6ffvelrnd 6503 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
3834, 37remulcld 10272 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
3918fvmpt2 6433 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
406, 38, 39syl2anc 573 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
41 0red 10243 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 0 ∈ ℝ)
428adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4310adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
44 pire 24431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
4544renegcli 10544 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ
46 iccssre 12460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4745, 44, 46mp2an 672 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℝ
484sseli 3748 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (-π[,]π))
4947, 48sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝐴𝑠 ∈ ℝ)
5049adantl 467 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
5143, 50readdcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5242, 51ffvelrnd 6503 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
5312, 14ifcld 4270 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 466 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5552, 54resubcld 10660 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 simpr 471 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
572, 56sseldi 3750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
5857eldifbd 3736 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
59 velsn 4332 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
6058, 59sylnib 317 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
6160neqned 2950 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
6255, 50, 61redivcld 11055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6341, 62ifcld 4270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
6416fvmpt2 6433 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
656, 63, 64syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6660iffalsed 4236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
6765, 66eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
68 1red 10257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
69 2re 11292 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
7150rehalfcld 11481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7271resincld 15079 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7370, 72remulcld 10272 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
74 2cnd 11295 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7572recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
76 2ne0 11315 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
78 fourierdlem44 40885 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
796, 61, 78syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8074, 75, 77, 79mulne0d 10881 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
8150, 73, 80redivcld 11055 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8268, 81ifcld 4270 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
8317fvmpt2 6433 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
846, 82, 83syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8560iffalsed 4236 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8684, 85eqtrd 2805 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8767, 86oveq12d 6811 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8855recnd 10270 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
8950recnd 10270 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
9074, 75mulcld 10262 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 11033 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9240, 87, 913eqtrd 2809 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9392adantlr 694 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9422ad2antlr 706 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
95 1red 10257 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9695rehalfcld 11481 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9794, 96readdcld 10271 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9849adantl 467 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
9997, 98remulcld 10272 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
10099resincld 15079 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
10123fvmpt2 6433 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1027, 100, 101syl2anc 573 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10393, 102oveq12d 6811 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
10488adantlr 694 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
10590adantlr 694 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
106100recnd 10270 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
10780adantlr 694 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
108104, 105, 106, 107div32d 11026 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
10922adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
110 halfre 11448 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
112109, 111readdcld 10271 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11349adantl 467 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10272 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
115114resincld 15079 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
116115recnd 10270 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
118113rehalfcld 11481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
119118resincld 15079 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
120117, 119remulcld 10272 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
121120recnd 10270 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
122 picn 24432 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
124 2cnd 11295 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ∈ ℂ)
125 rehalfcl 11460 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
126 resincl 15076 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12749, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
128127recnd 10270 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ≠ 0)
130 eldifsni 4457 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
131130, 1eleq2s 2868 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴𝑠 ≠ 0)
13248, 131, 78syl2anc 573 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
133124, 128, 129, 132mulne0d 10881 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
134133adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
135 0re 10242 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
136 pipos 24433 . . . . . . . . . . 11 0 < π
137135, 136gtneii 10351 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
138137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ≠ 0)
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 11034 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)))
140 2cnd 11295 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
141128adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
142140, 141, 123mulassd 10265 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π) = (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)))
143142oveq2d 6809 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))))
144141, 123mulcomd 10263 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · π) = (π · (sin‘(𝑠 / 2))))
145144oveq2d 6809 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
146140, 123, 141mulassd 10265 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
147145, 146eqtr4d 2808 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
148147oveq2d 6809 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
149139, 143, 1483eqtrd 2809 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
150149oveq2d 6809 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
151115, 120, 134redivcld 11055 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
152151recnd 10270 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
153152, 123, 138divcan2d 11005 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
155154dirkerval2 40828 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
15649, 155sylan2 580 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
157 fourierdlem24 40865 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
158157, 1eleq2s 2868 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
159158neneqd 2948 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
160159adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
161160iffalsed 4236 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
162156, 161eqtr2d 2806 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
163162oveq2d 6809 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
164150, 153, 1633eqtr3d 2813 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
165164oveq2d 6809 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
166165adantll 693 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
167122a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
168154dirkerre 40829 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
16949, 168sylan2 580 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
170169recnd 10270 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
171170adantll 693 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
172104, 167, 171mul12d 10447 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
173108, 166, 1723eqtrd 2809 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
17431, 103, 1733eqtrd 2809 1 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  cdif 3720  wss 3723  ifcif 4225  {csn 4316   class class class wbr 4786  cmpt 4863  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  cc 10136  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141   · cmul 10143   < clt 10276  cmin 10468  -cneg 10469   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  [,]cicc 12383   mod cmo 12876  sincsin 15000  πcpi 15003
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216  ax-addf 10217  ax-mulf 10218
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-iin 4657  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-of 7044  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-supp 7447  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-ixp 8063  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-fsupp 8432  df-fi 8473  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-cda 9192  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-4 11283  df-5 11284  df-6 11285  df-7 11286  df-8 11287  df-9 11288  df-n0 11495  df-z 11580  df-dec 11696  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ioc 12385  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-mod 12877  df-seq 13009  df-exp 13068  df-fac 13265  df-bc 13294  df-hash 13322  df-shft 14015  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-ef 15004  df-sin 15006  df-cos 15007  df-pi 15009  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-starv 16164  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-ip 16167  df-tset 16168  df-ple 16169  df-ds 16172  df-unif 16173  df-hom 16174  df-cco 16175  df-rest 16291  df-topn 16292  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-topgen 16312  df-pt 16313  df-prds 16316  df-xrs 16370  df-qtop 16375  df-imas 16376  df-xps 16378  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-submnd 17544  df-mulg 17749  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20919  df-topon 20936  df-topsp 20958  df-bases 20971  df-cld 21044  df-ntr 21045  df-cls 21046  df-nei 21123  df-lp 21161  df-perf 21162  df-cn 21252  df-cnp 21253  df-haus 21340  df-tx 21586  df-hmeo 21779  df-fil 21870  df-fm 21962  df-flim 21963  df-flf 21964  df-xms 22345  df-ms 22346  df-tms 22347  df-cncf 22901  df-limc 23850  df-dv 23851
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  40935
  Copyright terms: Public domain W3C validator