Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fourierdlem66 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fourierdlem66 40873
Description: Value of the 𝐺 function when the argument is not zero. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
fourierdlem66.f (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem66.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem66.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem66.w (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem66.d 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
fourierdlem66.h 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem66.k 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem66.u 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
fourierdlem66.s 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
fourierdlem66.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
fourierdlem66.a 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
Assertion
Ref Expression
fourierdlem66 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Distinct variable groups:   𝑛,𝑠   𝜑,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑛)   𝐴(𝑛,𝑠)   𝐷(𝑛,𝑠)   𝑆(𝑛,𝑠)   𝑈(𝑛,𝑠)   𝐹(𝑛,𝑠)   𝐺(𝑛,𝑠)   𝐻(𝑛,𝑠)   𝐾(𝑛,𝑠)   𝑊(𝑛,𝑠)   𝑋(𝑛,𝑠)   𝑌(𝑛,𝑠)

Proof of Theorem fourierdlem66
StepHypRef Expression
1 fourierdlem66.a . . . . . . . 8 𝐴 = ((-π[,]π) ∖ {0})
21eqimssi 3867 . . . . . . 7 𝐴 ⊆ ((-π[,]π) ∖ {0})
3 difss 3947 . . . . . . 7 ((-π[,]π) ∖ {0}) ⊆ (-π[,]π)
42, 3sstri 3818 . . . . . 6 𝐴 ⊆ (-π[,]π)
54a1i 11 . . . . 5 (𝜑𝐴 ⊆ (-π[,]π))
65sselda 3809 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
76adantlr 697 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ (-π[,]π))
8 fourierdlem66.f . . . . . . . 8 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
98adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
10 fourierdlem66.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
1110adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℝ)
12 fourierdlem66.y . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1312adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℝ)
14 fourierdlem66.w . . . . . . . 8 (𝜑𝑊 ∈ ℝ)
1514adantr 468 . . . . . . 7 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑊 ∈ ℝ)
16 fourierdlem66.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
17 fourierdlem66.k . . . . . . 7 𝐾 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
18 fourierdlem66.u . . . . . . 7 𝑈 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
199, 11, 13, 15, 16, 17, 18fourierdlem55 40862 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2019adantr 468 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑈:(-π[,]π)⟶ℝ)
2120, 7ffvelrnd 6589 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) ∈ ℝ)
22 nnre 11319 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ)
23 fourierdlem66.s . . . . . . . 8 𝑆 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
2423fourierdlem5 40813 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℝ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2522, 24syl 17 . . . . . 6 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2625ad2antlr 709 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑆:(-π[,]π)⟶ℝ)
2726, 7ffvelrnd 6589 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) ∈ ℝ)
2821, 27remulcld 10362 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ)
29 fourierdlem66.g . . . 4 𝐺 = (𝑠 ∈ (-π[,]π) ↦ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
3029fvmpt2 6519 . . 3 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
317, 28, 30syl2anc 575 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)))
328, 10, 12, 14, 16fourierdlem9 40817 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3332adantr 468 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐻:(-π[,]π)⟶ℝ)
3433, 6ffvelrnd 6589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) ∈ ℝ)
3517fourierdlem43 40851 . . . . . . . . 9 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ
3635a1i 11 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐾:(-π[,]π)⟶ℝ)
3736, 6ffvelrnd 6589 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) ∈ ℝ)
3834, 37remulcld 10362 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ)
3918fvmpt2 6519 . . . . . 6 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
406, 38, 39syl2anc 575 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)))
41 0red 10335 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 0 ∈ ℝ)
428adantr 468 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4310adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑋 ∈ ℝ)
44 pire 24435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 π ∈ ℝ
4544renegcli 10634 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -π ∈ ℝ
46 iccssre 12480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((-π ∈ ℝ ∧ π ∈ ℝ) → (-π[,]π) ⊆ ℝ)
4745, 44, 46mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (-π[,]π) ⊆ ℝ
484sseli 3805 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠𝐴𝑠 ∈ (-π[,]π))
4947, 48sseldi 3807 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑠𝐴𝑠 ∈ ℝ)
5049adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
5143, 50readdcld 10361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑋 + 𝑠) ∈ ℝ)
5242, 51ffvelrnd 6589 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) ∈ ℝ)
5312, 14ifcld 4335 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5453adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊) ∈ ℝ)
5552, 54resubcld 10750 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℝ)
56 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠𝐴)
572, 56sseldi 3807 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}))
5857eldifbd 3793 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 ∈ {0})
59 velsn 4397 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ {0} ↔ 𝑠 = 0)
6058, 59sylnib 319 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → ¬ 𝑠 = 0)
6160neqned 2996 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ≠ 0)
6255, 50, 61redivcld 11145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) ∈ ℝ)
6341, 62ifcld 4335 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ)
6416fvmpt2 6519 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
656, 63, 64syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
6660iffalsed 4301 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
6765, 66eqtrd 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐻𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠))
68 1red 10333 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
69 2re 11381 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
7069a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
7150rehalfcld 11553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
7271resincld 15100 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
7370, 72remulcld 10362 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
74 2cnd 11384 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
7572recnd 10360 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
76 2ne0 11403 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
7776a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → 2 ≠ 0)
78 fourierdlem44 40852 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ 𝑠 ≠ 0) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
796, 61, 78syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
8074, 75, 77, 79mulne0d 10971 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
8150, 73, 80redivcld 11145 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
8268, 81ifcld 4335 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ)
8317fvmpt2 6519 . . . . . . . 8 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) ∈ ℝ) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
846, 82, 83syl2anc 575 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8560iffalsed 4301 . . . . . . 7 ((𝜑𝑠𝐴) → if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8684, 85eqtrd 2851 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝐾𝑠) = (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
8767, 86oveq12d 6899 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐻𝑠) · (𝐾𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
8855recnd 10360 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
8950recnd 10360 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℂ)
9074, 75mulcld 10352 . . . . . 6 ((𝜑𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
9188, 89, 90, 61, 80dmdcan2d 11123 . . . . 5 ((𝜑𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠) · (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9240, 87, 913eqtrd 2855 . . . 4 ((𝜑𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9392adantlr 697 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑈𝑠) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
9422ad2antlr 709 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
95 1red 10333 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 1 ∈ ℝ)
9695rehalfcld 11553 . . . . . . 7 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
9794, 96readdcld 10361 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
9849adantl 469 . . . . . 6 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
9997, 98remulcld 10362 . . . . 5 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
10099resincld 15100 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
10123fvmpt2 6519 . . . 4 ((𝑠 ∈ (-π[,]π) ∧ (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
1027, 100, 101syl2anc 575 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝑆𝑠) = (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)))
10393, 102oveq12d 6899 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑈𝑠) · (𝑆𝑠)) = ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))))
10488adantlr 697 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) ∈ ℂ)
10590adantlr 697 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
106100recnd 10360 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
10780adantlr 697 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
108104, 105, 106, 107div32d 11116 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
10922adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑛 ∈ ℝ)
110 halfre 11520 . . . . . . . . . . . . . 14 (1 / 2) ∈ ℝ
111110a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (1 / 2) ∈ ℝ)
112109, 111readdcld 10361 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑛 + (1 / 2)) ∈ ℝ)
11349adantl 469 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 𝑠 ∈ ℝ)
114112, 113remulcld 10362 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠) ∈ ℝ)
115114resincld 15100 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℝ)
116115recnd 10360 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) ∈ ℂ)
11769a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℝ)
118113rehalfcld 11553 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
119118resincld 15100 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
120117, 119remulcld 10362 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℝ)
121120recnd 10360 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ∈ ℂ)
122 picn 24436 . . . . . . . . . 10 π ∈ ℂ
123122a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
124 2cnd 11384 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ∈ ℂ)
125 rehalfcl 11532 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ℝ → (𝑠 / 2) ∈ ℝ)
126 resincl 15097 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑠 / 2) ∈ ℝ → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
12749, 125, 1263syl 18 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℝ)
128127recnd 10360 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
12976a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → 2 ≠ 0)
130 eldifsni 4523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → 𝑠 ≠ 0)
131130, 1eleq2s 2914 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠𝐴𝑠 ≠ 0)
13248, 131, 78syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (sin‘(𝑠 / 2)) ≠ 0)
133124, 128, 129, 132mulne0d 10971 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
134133adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · (sin‘(𝑠 / 2))) ≠ 0)
135 0re 10334 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℝ
136 pipos 24437 . . . . . . . . . . 11 0 < π
137135, 136gtneii 10441 . . . . . . . . . 10 π ≠ 0
138137a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → π ≠ 0)
139116, 121, 123, 134, 138divdiv1d 11124 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)))
140 2cnd 11384 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → 2 ∈ ℂ)
141128adantl 469 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (sin‘(𝑠 / 2)) ∈ ℂ)
142140, 141, 123mulassd 10355 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π) = (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)))
143142oveq2d 6897 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · (sin‘(𝑠 / 2))) · π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))))
144141, 123mulcomd 10353 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘(𝑠 / 2)) · π) = (π · (sin‘(𝑠 / 2))))
145144oveq2d 6897 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
146140, 123, 141mulassd 10355 . . . . . . . . . 10 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))) = (2 · (π · (sin‘(𝑠 / 2)))))
147145, 146eqtr4d 2854 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π)) = ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))
148147oveq2d 6897 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · ((sin‘(𝑠 / 2)) · π))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
149139, 143, 1483eqtrd 2855 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
150149oveq2d 6897 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
151115, 120, 134redivcld 11145 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℝ)
152151recnd 10360 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) ∈ ℂ)
153152, 123, 138divcan2d 11095 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · (((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) / π)) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))))
154 fourierdlem66.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (𝑛 ∈ ℕ ↦ (𝑠 ∈ ℝ ↦ if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))))
155154dirkerval2 40795 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
15649, 155sylan2 582 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) = if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))))
157 fourierdlem24 40832 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 ∈ ((-π[,]π) ∖ {0}) → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
158157, 1eleq2s 2914 . . . . . . . . . . 11 (𝑠𝐴 → (𝑠 mod (2 · π)) ≠ 0)
159158neneqd 2994 . . . . . . . . . 10 (𝑠𝐴 → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
160159adantl 469 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ¬ (𝑠 mod (2 · π)) = 0)
161160iffalsed 4301 . . . . . . . 8 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → if((𝑠 mod (2 · π)) = 0, (((2 · 𝑛) + 1) / (2 · π)), ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))))
162156, 161eqtr2d 2852 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2)))) = ((𝐷𝑛)‘𝑠))
163162oveq2d 6897 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (π · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / ((2 · π) · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
164150, 153, 1633eqtr3d 2859 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) = (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠)))
165164oveq2d 6897 . . . 4 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
166165adantll 696 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))) = (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
167122a1i 11 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → π ∈ ℂ)
168154dirkerre 40796 . . . . . . 7 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠 ∈ ℝ) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
16949, 168sylan2 582 . . . . . 6 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℝ)
170169recnd 10360 . . . . 5 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
171170adantll 696 . . . 4 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((𝐷𝑛)‘𝑠) ∈ ℂ)
172104, 167, 171mul12d 10537 . . 3 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · (π · ((𝐷𝑛)‘𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
173108, 166, 1723eqtrd 2855 . 2 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → ((((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / (2 · (sin‘(𝑠 / 2)))) · (sin‘((𝑛 + (1 / 2)) · 𝑠))) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
17431, 103, 1733eqtrd 2855 1 (((𝜑𝑛 ∈ ℕ) ∧ 𝑠𝐴) → (𝐺𝑠) = (π · (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) · ((𝐷𝑛)‘𝑠))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  cdif 3777  wss 3780  ifcif 4290  {csn 4381   class class class wbr 4855  cmpt 4934  wf 6104  cfv 6108  (class class class)co 6881  cc 10226  cr 10227  0cc0 10228  1c1 10229   + caddc 10231   · cmul 10233   < clt 10366  cmin 10558  -cneg 10559   / cdiv 10976  cn 11312  2c2 11363  [,]cicc 12403   mod cmo 12899  sincsin 15021  πcpi 15024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4975  ax-sep 4986  ax-nul 4994  ax-pow 5046  ax-pr 5107  ax-un 7186  ax-inf2 8792  ax-cnex 10284  ax-resscn 10285  ax-1cn 10286  ax-icn 10287  ax-addcl 10288  ax-addrcl 10289  ax-mulcl 10290  ax-mulrcl 10291  ax-mulcom 10292  ax-addass 10293  ax-mulass 10294  ax-distr 10295  ax-i2m1 10296  ax-1ne0 10297  ax-1rid 10298  ax-rnegex 10299  ax-rrecex 10300  ax-cnre 10301  ax-pre-lttri 10302  ax-pre-lttrn 10303  ax-pre-ltadd 10304  ax-pre-mulgt0 10305  ax-pre-sup 10306  ax-addf 10307  ax-mulf 10308
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5230  df-eprel 5235  df-po 5243  df-so 5244  df-fr 5281  df-se 5282  df-we 5283  df-xp 5328  df-rel 5329  df-cnv 5330  df-co 5331  df-dm 5332  df-rn 5333  df-res 5334  df-ima 5335  df-pred 5904  df-ord 5950  df-on 5951  df-lim 5952  df-suc 5953  df-iota 6071  df-fun 6110  df-fn 6111  df-f 6112  df-f1 6113  df-fo 6114  df-f1o 6115  df-fv 6116  df-isom 6117  df-riota 6842  df-ov 6884  df-oprab 6885  df-mpt2 6886  df-of 7134  df-om 7303  df-1st 7405  df-2nd 7406  df-supp 7537  df-wrecs 7649  df-recs 7711  df-rdg 7749  df-1o 7803  df-2o 7804  df-oadd 7807  df-er 7986  df-map 8101  df-pm 8102  df-ixp 8153  df-en 8200  df-dom 8201  df-sdom 8202  df-fin 8203  df-fsupp 8522  df-fi 8563  df-sup 8594  df-inf 8595  df-oi 8661  df-card 9055  df-cda 9282  df-pnf 10368  df-mnf 10369  df-xr 10370  df-ltxr 10371  df-le 10372  df-sub 10560  df-neg 10561  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11371  df-3 11372  df-4 11373  df-5 11374  df-6 11375  df-7 11376  df-8 11377  df-9 11378  df-n0 11567  df-z 11651  df-dec 11767  df-uz 11912  df-q 12015  df-rp 12054  df-xneg 12169  df-xadd 12170  df-xmul 12171  df-ioo 12404  df-ioc 12405  df-ico 12406  df-icc 12407  df-fz 12557  df-fzo 12697  df-fl 12824  df-mod 12900  df-seq 13032  df-exp 13091  df-fac 13288  df-bc 13317  df-hash 13345  df-shft 14037  df-cj 14069  df-re 14070  df-im 14071  df-sqrt 14205  df-abs 14206  df-limsup 14432  df-clim 14449  df-rlim 14450  df-sum 14647  df-ef 15025  df-sin 15027  df-cos 15028  df-pi 15030  df-struct 16077  df-ndx 16078  df-slot 16079  df-base 16081  df-sets 16082  df-ress 16083  df-plusg 16173  df-mulr 16174  df-starv 16175  df-sca 16176  df-vsca 16177  df-ip 16178  df-tset 16179  df-ple 16180  df-ds 16182  df-unif 16183  df-hom 16184  df-cco 16185  df-rest 16295  df-topn 16296  df-0g 16314  df-gsum 16315  df-topgen 16316  df-pt 16317  df-prds 16320  df-xrs 16374  df-qtop 16379  df-imas 16380  df-xps 16382  df-mre 16458  df-mrc 16459  df-acs 16461  df-mgm 17454  df-sgrp 17496  df-mnd 17507  df-submnd 17548  df-mulg 17753  df-cntz 17958  df-cmn 18403  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-fbas 19958  df-fg 19959  df-cnfld 19962  df-top 20920  df-topon 20937  df-topsp 20959  df-bases 20972  df-cld 21045  df-ntr 21046  df-cls 21047  df-nei 21124  df-lp 21162  df-perf 21163  df-cn 21253  df-cnp 21254  df-haus 21341  df-tx 21587  df-hmeo 21780  df-fil 21871  df-fm 21963  df-flim 21964  df-flf 21965  df-xms 22346  df-ms 22347  df-tms 22348  df-cncf 22902  df-limc 23854  df-dv 23855
This theorem is referenced by:  fourierdlem95  40902
  Copyright terms: Public domain W3C validator