MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  relexprng Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem relexprng 14170
Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)
Assertion
Ref Expression
relexprng ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Proof of Theorem relexprng
StepHypRef Expression
1 elnn0 11627 . . 3 (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2 relexpnnrn 14169 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ ran 𝑅)
3 ssun2 4006 . . . . . 6 ran 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
42, 3syl6ss 3839 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
54ex 403 . . . 4 (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅𝑉 → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
6 simpl 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 = 0)
76oveq2d 6926 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = (𝑅𝑟0))
8 relexp0g 14146 . . . . . . . . . 10 (𝑅𝑉 → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
98adantl 475 . . . . . . . . 9 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
107, 9eqtrd 2861 . . . . . . . 8 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → (𝑅𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1110rneqd 5589 . . . . . . 7 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) = ran ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
12 rnresi 5724 . . . . . . 7 ran ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
1311, 12syl6eq 2877 . . . . . 6 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
14 eqimss 3882 . . . . . 6 (ran (𝑅𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
1513, 14syl 17 . . . . 5 ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
1615ex 403 . . . 4 (𝑁 = 0 → (𝑅𝑉 → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
175, 16jaoi 888 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑅𝑉 → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
181, 17sylbi 209 . 2 (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅𝑉 → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
1918imp 397 1 ((𝑁 ∈ ℕ0𝑅𝑉) → ran (𝑅𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386  wo 878   = wceq 1656  wcel 2164  cun 3796  wss 3798   I cid 5251  dom cdm 5346  ran crn 5347  cres 5348  (class class class)co 6910  0cc0 10259  cn 11357  0cn0 11625  𝑟crelexp 14144
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-cnex 10315  ax-resscn 10316  ax-1cn 10317  ax-icn 10318  ax-addcl 10319  ax-addrcl 10320  ax-mulcl 10321  ax-mulrcl 10322  ax-mulcom 10323  ax-addass 10324  ax-mulass 10325  ax-distr 10326  ax-i2m1 10327  ax-1ne0 10328  ax-1rid 10329  ax-rnegex 10330  ax-rrecex 10331  ax-cnre 10332  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334  ax-pre-ltadd 10335  ax-pre-mulgt0 10336
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-tp 4404  df-op 4406  df-uni 4661  df-iun 4744  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-tr 4978  df-id 5252  df-eprel 5257  df-po 5265  df-so 5266  df-fr 5305  df-we 5307  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-pred 5924  df-ord 5970  df-on 5971  df-lim 5972  df-suc 5973  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-riota 6871  df-ov 6913  df-oprab 6914  df-mpt2 6915  df-om 7332  df-2nd 7434  df-wrecs 7677  df-recs 7739  df-rdg 7777  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-xr 10402  df-ltxr 10403  df-le 10404  df-sub 10594  df-neg 10595  df-nn 11358  df-n0 11626  df-z 11712  df-uz 11976  df-seq 13103  df-relexp 14145
This theorem is referenced by:  relexprn  14171  iunrelexp0  38834
  Copyright terms: Public domain W3C validator