Theorem relexprng 14685

Description: The range of an exponentiation of a relation a subset of the relation's field. (Contributed by RP, 23-May-2020.)

Assertion

Ref	Expression
relexprng	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Proof of Theorem relexprng

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 12165	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 ↔ (𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0))
2		relexpnnrn 14684	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ ran 𝑅)
3		ssun2 4103	. . . . . 6 ⊢ ran 𝑅 ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
4	2, 3	sstrdi 3929	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
5	4	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (𝑅 ∈ 𝑉 → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
6		simpl 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 = 0)
7	6	oveq2d 7271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = (𝑅↑𝑟0))
8		relexp0g 14661	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
9	8	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟0) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
10	7, 9	eqtrd 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑅↑𝑟𝑁) = ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
11	10	rneqd 5836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) = ran ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
12		rnresi 5972	. . . . . . 7 ⊢ ran ( I ↾ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)
13	11, 12	eqtrdi 2795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
14		eqimss 3973	. . . . . 6 ⊢ (ran (𝑅↑𝑟𝑁) = (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
15	13, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = 0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))
16	15	ex 412	. . . 4 ⊢ (𝑁 = 0 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
17	5, 16	jaoi 853	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∨ 𝑁 = 0) → (𝑅 ∈ 𝑉 → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
18	1, 17	sylbi 216	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (𝑅 ∈ 𝑉 → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅)))
19	18	imp 406	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ran (𝑅↑𝑟𝑁) ⊆ (dom 𝑅 ∪ ran 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883   I cid 5479  dom cdm 5580  ran crn 5581   ↾ cres 5582  (class class class)co 7255  0cc0 10802  ℕcn 11903  ℕ₀cn0 12163  ↑_𝑟crelexp 14658

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-relexp 14659

This theorem is referenced by:  relexprn  14686  iunrelexp0  41199