Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ringinveu Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringinveu 32826
Description: If a ring unit element 𝑋 admits both a left inverse π‘Œ and a right inverse 𝑍, they are equal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
isdrng4.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
isdrng4.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
isdrng4.1 1 = (1rβ€˜π‘…)
isdrng4.x Β· = (.rβ€˜π‘…)
isdrng4.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
isdrng4.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
ringinveu.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ringinveu.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ringinveu.3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ringinveu.4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑋) = 1 )
ringinveu.5 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = 1 )
Assertion
Ref Expression
ringinveu (πœ‘ β†’ 𝑍 = π‘Œ)

Proof of Theorem ringinveu
StepHypRef Expression
1 ringinveu.5 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = 1 )
21oveq2d 7417 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = (π‘Œ Β· 1 ))
3 ringinveu.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑋) = 1 )
43oveq1d 7416 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Β· 𝑋) Β· 𝑍) = ( 1 Β· 𝑍))
5 isdrng4.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
6 isdrng4.x . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
7 isdrng4.r . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 ringinveu.2 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
9 ringinveu.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
10 ringinveu.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
115, 6, 7, 8, 9, 10ringassd 20150 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Β· 𝑋) Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· (𝑋 Β· 𝑍)))
12 isdrng4.1 . . . 4 1 = (1rβ€˜π‘…)
135, 6, 12, 7, 10ringlidmd 20160 . . 3 (πœ‘ β†’ ( 1 Β· 𝑍) = 𝑍)
144, 11, 133eqtr3d 2772 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· (𝑋 Β· 𝑍)) = 𝑍)
155, 6, 12, 7, 8ringridmd 20161 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 1 ) = π‘Œ)
162, 14, 153eqtr3d 2772 1 (πœ‘ β†’ 𝑍 = π‘Œ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  Basecbs 17142  .rcmulr 17196  0gc0g 17383  1rcur 20075  Ringcrg 20127  Unitcui 20246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17143  df-plusg 17208  df-0g 17385  df-mgm 18562  df-sgrp 18641  df-mnd 18657  df-mgp 20029  df-ur 20076  df-ring 20129
This theorem is referenced by:  isdrng4  32827  drngidl  32986  qsdrngi  33044
  Copyright terms: Public domain W3C validator