Theorem ringmgp 18951

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2778	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ringmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2778	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2778	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 18949	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp2bi 1137	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  +_gcplusg 16349  ._rcmulr 16350  Mndcmnd 17691  Grpcgrp 17820  mulGrpcmgp 18887  Ringcrg 18945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-nul 5027

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-br 4889  df-iota 6101  df-fv 6145  df-ov 6927  df-ring 18947

This theorem is referenced by:  mgpf  18957  ringcl  18959  iscrng2  18961  ringass  18962  ringideu  18963  ringidcl  18966  ringidmlem  18968  ringsrg  18987  unitsubm  19068  dfrhm2  19117  isrhm2d  19128  idrhm  19131  pwsco1rhm  19138  pwsco2rhm  19139  subrgcrng  19187  subrgsubm  19196  issubrg3  19211  cntzsubr  19215  pwsdiagrhm  19216  assamulgscmlem2  19757  psrcrng  19821  mplcoe3  19874  mplcoe5lem  19875  mplcoe5  19876  ply1moncl  20048  coe1pwmul  20056  ply1coefsupp  20072  ply1coe  20073  gsummoncoe1  20081  lply1binomsc  20084  evls1gsummul  20097  evl1expd  20116  evl1gsummul  20131  evl1scvarpw  20134  evl1scvarpwval  20135  evl1gsummon  20136  cnfldexp  20186  expmhm  20222  nn0srg  20223  rge0srg  20224  ringvcl  20619  mat1mhm  20706  scmatmhm  20756  m1detdiag  20819  mdetdiaglem  20820  m2detleiblem2  20850  mat2pmatmhm  20956  pmatcollpwscmatlem1  21012  mply1topmatcllem  21026  mply1topmatcl  21028  pm2mpghm  21039  pm2mpmhm  21043  monmat2matmon  21047  pm2mp  21048  chpscmatgsumbin  21067  chpscmatgsummon  21068  chfacfscmulcl  21080  chfacfscmul0  21081  chfacfpmmulcl  21084  chfacfpmmul0  21085  chfacfpmmulgsum2  21088  cayhamlem1  21089  cpmadugsumlemB  21097  cpmadugsumlemC  21098  cpmadugsumlemF  21099  cayhamlem2  21107  cayhamlem4  21111  nrgtrg  22913  deg1pw  24328  plypf1  24416  efsubm  24746  amgm  25180  wilthlem2  25258  wilthlem3  25259  dchrelbas3  25426  lgsqrlem2  25535  lgsqrlem3  25536  lgsqrlem4  25537  psgnid  30453  iistmd  30554  hbtlem4  38669  subrgacs  38743  idomrootle  38746  isdomn3  38755  mon1psubm  38757  amgm2d  39471  amgm3d  39472  amgm4d  39473  c0rhm  42941  c0rnghm  42942  lidlmsgrp  42955  invginvrid  43177  ply1mulgsumlem4  43206  ply1mulgsum  43207  amgmw2d  43670