Theorem ringmgp 19296

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2798	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ringmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2798	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2798	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 19294	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp2bi 1143	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ._rcmulr 16558  Mndcmnd 17903  Grpcgrp 18095  mulGrpcmgp 19232  Ringcrg 19290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-nul 5174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-iota 6283  df-fv 6332  df-ov 7138  df-ring 19292

This theorem is referenced by:  mgpf  19305  ringcl  19307  iscrng2  19309  ringass  19310  ringideu  19311  ringidcl  19314  ringidmlem  19316  ringsrg  19335  unitsubm  19416  dfrhm2  19465  isrhm2d  19476  idrhm  19479  pwsco1rhm  19486  pwsco2rhm  19487  subrgcrng  19532  subrgsubm  19541  issubrg3  19556  cntzsubr  19561  pwsdiagrhm  19562  subrgacs  19572  cnfldexp  20124  expmhm  20160  nn0srg  20161  rge0srg  20162  assamulgscmlem2  20586  psrcrng  20651  mplcoe3  20706  mplcoe5lem  20707  mplcoe5  20708  evlsgsummul  20764  ply1moncl  20900  coe1pwmul  20908  ply1coefsupp  20924  ply1coe  20925  gsummoncoe1  20933  lply1binomsc  20936  evls1gsummul  20949  evl1expd  20969  evl1gsummul  20984  evl1scvarpw  20987  evl1scvarpwval  20988  evl1gsummon  20989  ringvcl  21005  mat1mhm  21089  scmatmhm  21139  m1detdiag  21202  mdetdiaglem  21203  m2detleiblem2  21233  mat2pmatmhm  21338  pmatcollpwscmatlem1  21394  mply1topmatcllem  21408  mply1topmatcl  21410  pm2mpghm  21421  pm2mpmhm  21425  monmat2matmon  21429  pm2mp  21430  chpscmatgsumbin  21449  chpscmatgsummon  21450  chfacfscmulcl  21462  chfacfscmul0  21463  chfacfpmmulcl  21466  chfacfpmmul0  21467  chfacfpmmulgsum2  21470  cayhamlem1  21471  cpmadugsumlemB  21479  cpmadugsumlemC  21480  cpmadugsumlemF  21481  cayhamlem2  21489  cayhamlem4  21493  nrgtrg  23296  deg1pw  24721  plypf1  24809  efsubm  25143  amgm  25576  wilthlem2  25654  wilthlem3  25655  dchrelbas3  25822  lgsqrlem2  25931  lgsqrlem3  25932  lgsqrlem4  25933  cntrcrng  30747  psgnid  30789  cnmsgn0g  30838  altgnsg  30841  freshmansdream  30909  frobrhm  30910  ringlsmss  31002  iistmd  31255  hbtlem4  40070  idomrootle  40139  isdomn3  40148  mon1psubm  40150  amgm2d  40904  amgm3d  40905  amgm4d  40906  c0rhm  44536  c0rnghm  44537  lidlmsgrp  44550  invginvrid  44769  ply1mulgsumlem4  44797  ply1mulgsum  44798  amgmw2d  45332