Theorem ringmgp 20062

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ringmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2733	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 20060	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +_gcplusg 17197  ._rcmulr 17198  Mndcmnd 18625  Grpcgrp 18819  mulGrpcmgp 19987  Ringcrg 20056

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-ring 20058

This theorem is referenced by:  mgpf  20071  ringcl  20073  iscrng2  20075  ringass  20076  ringideu  20077  ringidcl  20083  ringidmlem  20085  ringsrg  20109  pwspjmhmmgpd  20141  pwsexpg  20142  unitsubm  20200  dfrhm2  20253  isrhm2d  20265  idrhm  20268  pwsco1rhm  20277  pwsco2rhm  20278  subrgcrng  20323  subrgsubm  20332  issubrg3  20347  cntzsubr  20353  pwsdiagrhm  20354  subrgacs  20416  cnfldexp  20978  expmhm  21014  nn0srg  21015  rge0srg  21016  assamulgscmlem2  21454  psrcrng  21533  mplcoe3  21593  mplcoe5lem  21594  mplcoe5  21595  evlsgsummul  21655  mhppwdeg  21693  ply1moncl  21793  coe1pwmul  21801  ply1coefsupp  21819  ply1coe  21820  gsummoncoe1  21828  lply1binomsc  21831  evls1gsummul  21844  evl1expd  21864  evl1gsummul  21879  evl1scvarpw  21882  evl1scvarpwval  21883  evl1gsummon  21884  ringvcl  21900  mat1mhm  21986  scmatmhm  22036  m1detdiag  22099  mdetdiaglem  22100  m2detleiblem2  22130  mat2pmatmhm  22235  pmatcollpwscmatlem1  22291  mply1topmatcllem  22305  mply1topmatcl  22307  pm2mpghm  22318  pm2mpmhm  22322  monmat2matmon  22326  pm2mp  22327  chpscmatgsumbin  22346  chpscmatgsummon  22347  chfacfscmulcl  22359  chfacfscmul0  22360  chfacfpmmulcl  22363  chfacfpmmul0  22364  chfacfpmmulgsum2  22367  cayhamlem1  22368  cpmadugsumlemB  22376  cpmadugsumlemC  22377  cpmadugsumlemF  22378  cayhamlem2  22386  cayhamlem4  22390  nrgtrg  24207  deg1pw  25638  plypf1  25726  efsubm  26060  amgm  26495  wilthlem2  26573  wilthlem3  26574  dchrelbas3  26741  lgsqrlem2  26850  lgsqrlem3  26851  lgsqrlem4  26852  cntrcrng  32245  psgnid  32287  cnmsgn0g  32336  altgnsg  32339  freshmansdream  32412  frobrhm  32413  fermltlchr  32509  znfermltl  32510  ringlsmss  32536  evls1fpws  32677  gsummoncoe1fzo  32699  ply1degltdimlem  32738  ply1degltdim  32739  iistmd  32913  evlsvvvallem  41181  evlsvvval  41183  evlsexpval  41187  selvvvval  41205  evlselv  41207  mhphf  41217  hbtlem4  41916  idomrootle  41985  isdomn3  41994  mon1psubm  41996  amgm2d  42998  amgm3d  42999  amgm4d  43000  c0rhm  46759  c0rnghm  46760  invginvrid  47091  ply1mulgsumlem4  47118  ply1mulgsum  47119  amgmw2d  47899