Theorem ringmgp 20236

Description: A ring is a monoid under multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
ringmgp.g	⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringmgp	⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Proof of Theorem ringmgp

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		ringmgp.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (mulGrp‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		eqid 2737	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5	1, 2, 3, 4	isring 20234	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring ↔ (𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐺 ∈ Mnd ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑧 ∈ (Base‘𝑅)((𝑥(.r‘𝑅)(𝑦(+g‘𝑅)𝑧)) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)(𝑥(.r‘𝑅)𝑧)) ∧ ((𝑥(+g‘𝑅)𝑦)(.r‘𝑅)𝑧) = ((𝑥(.r‘𝑅)𝑧)(+g‘𝑅)(𝑦(.r‘𝑅)𝑧)))))
6	5	simp2bi 1147	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐺 ∈ Mnd)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Mndcmnd 18747  Grpcgrp 18951  mulGrpcmgp 20137  Ringcrg 20230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2708  ax-nul 5306

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-iota 6514  df-fv 6569  df-ov 7434  df-ring 20232

This theorem is referenced by:  mgpf  20245  ringcl  20247  iscrng2  20249  ringass  20250  ringideu  20251  ringidcl  20262  ringidmlem  20265  ringsrg  20294  pwspjmhmmgpd  20325  pwsexpg  20326  unitsubm  20386  dfrhm2  20474  isrhm2d  20487  idrhm  20490  pwsco1rhm  20502  pwsco2rhm  20503  c0rhm  20534  c0rnghm  20535  subrgcrng  20575  subrgsubm  20585  issubrg3  20600  cntzsubr  20606  pwsdiagrhm  20607  isdomn3  20715  subrgacs  20801  cnfldexp  21417  expmhm  21454  nn0srg  21455  rge0srg  21456  fermltlchr  21544  freshmansdream  21593  frobrhm  21594  assamulgscmlem2  21920  psrcrng  21992  mplcoe3  22056  mplcoe5lem  22057  mplcoe5  22058  evlsgsummul  22116  mhppwdeg  22154  psdpw  22174  ply1moncl  22274  coe1pwmul  22282  ply1coefsupp  22301  ply1coe  22302  gsummoncoe1  22312  lply1binomsc  22315  evls1gsummul  22329  evl1expd  22349  evl1gsummul  22364  evl1scvarpw  22367  evl1scvarpwval  22368  evl1gsummon  22369  evls1fpws  22373  rhmply1mon  22393  ringvcl  22404  mat1mhm  22490  scmatmhm  22540  m1detdiag  22603  mdetdiaglem  22604  m2detleiblem2  22634  mat2pmatmhm  22739  pmatcollpwscmatlem1  22795  mply1topmatcllem  22809  mply1topmatcl  22811  pm2mpghm  22822  pm2mpmhm  22826  monmat2matmon  22830  pm2mp  22831  chpscmatgsumbin  22850  chpscmatgsummon  22851  chfacfscmulcl  22863  chfacfscmul0  22864  chfacfpmmulcl  22867  chfacfpmmul0  22868  chfacfpmmulgsum2  22871  cayhamlem1  22872  cpmadugsumlemB  22880  cpmadugsumlemC  22881  cpmadugsumlemF  22882  cayhamlem2  22890  cayhamlem4  22894  nrgtrg  24711  deg1pw  26160  idomrootle  26212  plypf1  26251  efsubm  26593  amgm  27034  wilthlem2  27112  wilthlem3  27113  dchrelbas3  27282  lgsqrlem2  27391  lgsqrlem3  27392  lgsqrlem4  27393  cntrcrng  33073  psgnid  33117  cnmsgn0g  33166  altgnsg  33169  isunit3  33245  elrgspnlem1  33246  elrgspnlem2  33247  elrgspnlem3  33248  elrgspnlem4  33249  elrgspn  33250  0ringcring  33256  domnprodn0  33279  rrgsubm  33287  znfermltl  33394  unitprodclb  33417  ringlsmss  33423  rprmdvdspow  33561  1arithidomlem1  33563  1arithidom  33565  1arithufdlem2  33573  1arithufdlem3  33574  1arithufdlem4  33575  zringfrac  33582  evl1deg1  33601  evl1deg2  33602  evl1deg3  33603  gsummoncoe1fzo  33618  ply1degltdimlem  33673  ply1degltdim  33674  assarrginv  33687  evls1fldgencl  33720  rtelextdg2lem  33767  2sqr3minply  33791  iistmd  33901  aks6d1c1p2  42110  aks6d1c1p3  42111  aks6d1c1p6  42115  evl1gprodd  42118  aks6d1c2lem3  42127  idomnnzpownz  42133  aks6d1c5lem3  42138  aks6d1c5lem2  42139  deg1pow  42142  aks6d1c6lem1  42171  aks6d1c6lem2  42172  aks5lem2  42188  aks5lem3a  42190  domnexpgn0cl  42533  abvexp  42542  fidomncyc  42545  evlsvvvallem  42571  evlsvvval  42573  evlsexpval  42577  evlselv  42597  mhphf  42607  hbtlem4  43138  mon1psubm  43211  amgm2d  44211  amgm3d  44212  amgm4d  44213  invginvrid  48283  ply1mulgsumlem4  48306  ply1mulgsum  48307  amgmw2d  49323