Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlsrgmulrcl 31188
 Description: Ideals of a ring 𝑅 are closed under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlsrgmulrval.1 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3 = (.r𝑆)
idlsrgmulrcl.1 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrcl.2 (𝜑𝐼𝐵)
idlsrgmulrcl.3 (𝜑𝐽𝐵)
Assertion
Ref Expression
idlsrgmulrcl (𝜑 → (𝐼 𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem idlsrgmulrcl
StepHypRef Expression
1 idlsrgmulrval.1 . . 3 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2 idlsrgmulrval.2 . . 3 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3 idlsrgmulrval.3 . . 3 = (.r𝑆)
4 eqid 2758 . . 3 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5 eqid 2758 . . 3 (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6 idlsrgmulrcl.1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
7 idlsrgmulrcl.2 . . 3 (𝜑𝐼𝐵)
8 idlsrgmulrcl.3 . . 3 (𝜑𝐽𝐵)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8idlsrgmulrval 31187 . 2 (𝜑 → (𝐼 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10 eqid 2758 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
1110, 2lidlss 20064 . . . . 5 (𝐼𝐵𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
127, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
1310, 2lidlss 20064 . . . . 5 (𝐽𝐵𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
148, 13syl 17 . . . 4 (𝜑𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
1510, 4, 5, 6, 12, 14ringlsmss 31116 . . 3 (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
16 eqid 2758 . . . 4 (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
1716, 10, 2rspcl 20076 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ∈ 𝐵)
186, 15, 17syl2anc 587 . 2 (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ∈ 𝐵)
199, 18eqeltrd 2852 1 (𝜑 → (𝐼 𝐽) ∈ 𝐵)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3860  ‘cfv 6340  (class class class)co 7156  Basecbs 16554  .rcmulr 16637  LSSumclsm 18839  mulGrpcmgp 19320  Ringcrg 19378  LIdealclidl 20023  RSpancrsp 20024  IDLsrgcidlsrg 31178 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-cnex 10644  ax-resscn 10645  ax-1cn 10646  ax-icn 10647  ax-addcl 10648  ax-addrcl 10649  ax-mulcl 10650  ax-mulrcl 10651  ax-mulcom 10652  ax-addass 10653  ax-mulass 10654  ax-distr 10655  ax-i2m1 10656  ax-1ne0 10657  ax-1rid 10658  ax-rnegex 10659  ax-rrecex 10660  ax-cnre 10661  ax-pre-lttri 10662  ax-pre-lttrn 10663  ax-pre-ltadd 10664  ax-pre-mulgt0 10665 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-pnf 10728  df-mnf 10729  df-xr 10730  df-ltxr 10731  df-le 10732  df-sub 10923  df-neg 10924  df-nn 11688  df-2 11750  df-3 11751  df-4 11752  df-5 11753  df-6 11754  df-7 11755  df-8 11756  df-9 11757  df-n0 11948  df-z 12034  df-dec 12151  df-uz 12296  df-fz 12953  df-struct 16556  df-ndx 16557  df-slot 16558  df-base 16560  df-sets 16561  df-ress 16562  df-plusg 16649  df-mulr 16650  df-sca 16652  df-vsca 16653  df-ip 16654  df-tset 16655  df-ple 16656  df-0g 16786  df-mgm 17931  df-sgrp 17980  df-mnd 17991  df-grp 18185  df-minusg 18186  df-sbg 18187  df-subg 18356  df-lsm 18841  df-mgp 19321  df-ur 19333  df-ring 19380  df-subrg 19614  df-lmod 19717  df-lss 19785  df-lsp 19825  df-sra 20025  df-rgmod 20026  df-lidl 20027  df-rsp 20028  df-idlsrg 31179 This theorem is referenced by:  zarclsun  31353
 Copyright terms: Public domain W3C validator