Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  idlsrgmulrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem idlsrgmulrcl 33242
Description: Ideals of a ring 𝑅 are closed under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
idlsrgmulrval.1 𝑆 = (IDLsrgβ€˜π‘…)
idlsrgmulrval.2 𝐡 = (LIdealβ€˜π‘…)
idlsrgmulrval.3 βŠ— = (.rβ€˜π‘†)
idlsrgmulrcl.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrcl.2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
idlsrgmulrcl.3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐡)
Assertion
Ref Expression
idlsrgmulrcl (πœ‘ β†’ (𝐼 βŠ— 𝐽) ∈ 𝐡)

Proof of Theorem idlsrgmulrcl
StepHypRef Expression
1 idlsrgmulrval.1 . . 3 𝑆 = (IDLsrgβ€˜π‘…)
2 idlsrgmulrval.2 . . 3 𝐡 = (LIdealβ€˜π‘…)
3 idlsrgmulrval.3 . . 3 βŠ— = (.rβ€˜π‘†)
4 eqid 2725 . . 3 (mulGrpβ€˜π‘…) = (mulGrpβ€˜π‘…)
5 eqid 2725 . . 3 (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…)) = (LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))
6 idlsrgmulrcl.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7 idlsrgmulrcl.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝐡)
8 idlsrgmulrcl.3 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ 𝐡)
91, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8idlsrgmulrval 33241 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐼 βŠ— 𝐽) = ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝐼(LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝐽)))
10 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
1110, 2lidlss 21110 . . . . 5 (𝐼 ∈ 𝐡 β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
127, 11syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐼 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1310, 2lidlss 21110 . . . . 5 (𝐽 ∈ 𝐡 β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
148, 13syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1510, 4, 5, 6, 12, 14ringlsmss 33125 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐼(LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝐽) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
16 eqid 2725 . . . 4 (RSpanβ€˜π‘…) = (RSpanβ€˜π‘…)
1716, 10, 2rspcl 21133 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼(LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝐽) βŠ† (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝐼(LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝐽)) ∈ 𝐡)
186, 15, 17syl2anc 582 . 2 (πœ‘ β†’ ((RSpanβ€˜π‘…)β€˜(𝐼(LSSumβ€˜(mulGrpβ€˜π‘…))𝐽)) ∈ 𝐡)
199, 18eqeltrd 2825 1 (πœ‘ β†’ (𝐼 βŠ— 𝐽) ∈ 𝐡)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  β€˜cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  LSSumclsm 19591  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  LIdealclidl 21104  RSpancrsp 21105  IDLsrgcidlsrg 33232
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-lsm 19593  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-idlsrg 33233
This theorem is referenced by:  zarclsun  33500
  Copyright terms: Public domain W3C validator