Theorem idlsrgmulrcl 33242

Description: Ideals of a ring 𝑅 are closed under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrcl	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem idlsrgmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrval.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2725	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2725	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33241	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10, 2	lidlss 21110	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
12	7, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	10, 2	lidlss 21110	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	10, 4, 5, 6, 12, 14	ringlsmss 33125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
16		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
17	16, 10, 2	rspcl 21133	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ∈ 𝐵)
19	9, 18	eqeltrd 2825	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3939  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  Basecbs 17177  ._rcmulr 17231  LSSumclsm 19591  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  LIdealclidl 21104  RSpancrsp 21105  IDLsrgcidlsrg 33232

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-tp 4627  df-op 4629  df-uni 4902  df-int 4943  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-subg 19080  df-lsm 19593  df-mgp 20077  df-ur 20124  df-ring 20177  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-lsp 20858  df-sra 21060  df-rgmod 21061  df-lidl 21106  df-rsp 21107  df-idlsrg 33233

This theorem is referenced by:  zarclsun  33500