Theorem idlsrgmulrcl 33216

Description: Ideals of a ring 𝑅 are closed under multiplication. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
idlsrgmulrval.1	⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
idlsrgmulrval.2	⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
idlsrgmulrval.3	⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
idlsrgmulrcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
idlsrgmulrcl.2	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
idlsrgmulrcl.3	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
idlsrgmulrcl	⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem idlsrgmulrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		idlsrgmulrval.1	. . 3 ⊢ 𝑆 = (IDLsrg‘𝑅)
2		idlsrgmulrval.2	. . 3 ⊢ 𝐵 = (LIdeal‘𝑅)
3		idlsrgmulrval.3	. . 3 ⊢ ⊗ = (.r‘𝑆)
4		eqid 2728	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
5		eqid 2728	. . 3 ⊢ (LSSum‘(mulGrp‘𝑅)) = (LSSum‘(mulGrp‘𝑅))
6		idlsrgmulrcl.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
7		idlsrgmulrcl.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝐵)
8		idlsrgmulrcl.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ 𝐵)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	idlsrgmulrval 33215	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) = ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)))
10		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	10, 2	lidlss 21102	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ 𝐵 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
12	7, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
13	10, 2	lidlss 21102	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ 𝐵 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
14	8, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ (Base‘𝑅))
15	10, 4, 5, 6, 12, 14	ringlsmss 33099	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ (Base‘𝑅))
16		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (RSpan‘𝑅) = (RSpan‘𝑅)
17	16, 10, 2	rspcl 21125	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽) ⊆ (Base‘𝑅)) → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ∈ 𝐵)
18	6, 15, 17	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((RSpan‘𝑅)‘(𝐼(LSSum‘(mulGrp‘𝑅))𝐽)) ∈ 𝐵)
19	9, 18	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ⊗ 𝐽) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  ._rcmulr 17228  LSSumclsm 19583  mulGrpcmgp 20068  Ringcrg 20167  LIdealclidl 21096  RSpancrsp 21097  IDLsrgcidlsrg 33206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8481  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-fin 8962  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-minusg 18888  df-sbg 18889  df-subg 19072  df-lsm 19585  df-mgp 20069  df-ur 20116  df-ring 20169  df-subrg 20502  df-lmod 20739  df-lss 20810  df-lsp 20850  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098  df-rsp 21099  df-idlsrg 33207

This theorem is referenced by:  zarclsun  33466