Theorem rng1zr 20263

Description: The only ring with a base set consisting of one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rng1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng1zr	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem rng1zr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnggrp 20239	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
2	1	grpmgmd 19031	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Mgm)
3		eqid 2770	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
4	3	rngmgp 20237	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
5		sgrpmgm 18785	. . . . . 6 ⊢ ((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
6	4, 5	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
7	2, 6	jca 520	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm))
8	7	3ad2ant1 1149	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm))
9	8	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm))
10		3simpc 1166	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)))
11	10	adantr 485	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)))
12		simpr 489	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
13		rng1zr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
14		rng1zr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
15		rng1zr.t	. . 3 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
16	13, 14, 15	rng1zrlem 20262	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
17	9, 11, 12, 16	syl3anc 1396	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2150  {csn 4594  ⟨cop 4600   × cxp 5663   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  Basecbs 17272  +_gcplusg 17313  ._rcmulr 17314  Mgmcmgm 18699  Smgrpcsgrp 18779  mulGrpcmgp 20219  Rngcrng 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2152  ax-9 2160  ax-10 2183  ax-11 2199  ax-12 2220  ax-ext 2742  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5340  ax-pr 5408  ax-un 7736  ax-cnex 11159  ax-resscn 11160  ax-1cn 11161  ax-icn 11162  ax-addcl 11163  ax-addrcl 11164  ax-mulcl 11165  ax-mulrcl 11166  ax-mulcom 11167  ax-addass 11168  ax-mulass 11169  ax-distr 11170  ax-i2m1 11171  ax-1ne0 11172  ax-1rid 11173  ax-rnegex 11174  ax-rrecex 11175  ax-cnre 11176  ax-pre-lttri 11177  ax-pre-lttrn 11178  ax-pre-ltadd 11179  ax-pre-mulgt0 11180

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2099  df-mo 2574  df-eu 2604  df-clab 2749  df-cleq 2762  df-clel 2845  df-nfc 2919  df-ne 2966  df-nel 3072  df-ral 3087  df-rex 3097  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3464  df-sbc 3753  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5560  df-eprel 5565  df-po 5573  df-so 5574  df-fr 5618  df-we 5620  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8947  df-dom 8948  df-sdom 8949  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12237  df-2 12306  df-sets 17227  df-slot 17245  df-ndx 17257  df-base 17273  df-plusg 17326  df-plusf 18700  df-mgm 18701  df-sgrp 18780  df-mnd 18796  df-grp 19006  df-abl 19856  df-mgp 20220  df-rng 20234

This theorem is referenced by:  rngen1zr  20264