Theorem rngen1zr 20432

Description: The only ring with one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rng1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rngen1zr	⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem rngen1zr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		en1eqsnbi 9292	. . 3 ⊢ (𝑍 ∈ 𝐵 → (𝐵 ≈ 1o ↔ 𝐵 = {𝑍}))
2	1	adantl 487	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 ≈ 1o ↔ 𝐵 = {𝑍}))
3		rng1zr.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
4		rng1zr.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
5		rng1zr.t	. . 3 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
6	3, 4, 5	rng1zr 20431	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
7	2, 6	bitrd 282	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {csn 4588  ⟨cop 4838   class class class wbr 5106   × cxp 5653   Fn wfn 6550  ‘cfv 6555  1_oc1o 8494   ≈ cen 8995  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454  ._rcmulr 17455  Rngcrng 20401

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-plusf 18841  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-abl 20024  df-mgp 20388  df-rng 20402

This theorem is used by:  rngen1zr0  20433