MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngen1zr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngen1zr 19977
Description: The only (unital) ring with one element is the zero ring (at least if its operations are internal binary operations). Note: The assumption 𝑅 ∈ Ring could be weakened if a definition of a non-unital ring ("Rng") was available (it would be sufficient that the multiplication is closed). (Contributed by FL, 14-Feb-2010.) (Revised by AV, 25-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
ring1zr.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ring1zr.p + = (+g𝑅)
ring1zr.t = (.r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rngen1zr (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem rngen1zr
StepHypRef Expression
1 en1eqsnbi 8737 . . 3 (𝑍𝐵 → (𝐵 ≈ 1o𝐵 = {𝑍}))
21adantl 482 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 ≈ 1o𝐵 = {𝑍}))
3 ring1zr.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
4 ring1zr.p . . 3 + = (+g𝑅)
5 ring1zr.t . . 3 = (.r𝑅)
63, 4, 5ring1zr 19976 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
72, 6bitrd 280 1 (((𝑅 ∈ Ring ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍𝐵) → (𝐵 ≈ 1o ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  {csn 4557  cop 4563   class class class wbr 5057   × cxp 5546   Fn wfn 6343  cfv 6348  1oc1o 8084  cen 8494  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  .rcmulr 16554  Ringcrg 19226
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-plusf 17839  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-srg 19185  df-ring 19228
This theorem is referenced by:  ringen1zr  19978
  Copyright terms: Public domain W3C validator