Theorem rng1zrlem 20254

Description: Lemma for rng1zr 20255 and srg1zr 20292. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rng1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng1zrlem	⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem rng1zrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.24 573	. 2 ⊢ (𝐵 = {𝑍} ↔ (𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}))
2		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mgm)
3		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simpl 487	. . . . 5 ⊢ (( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
5	4	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
6		rng1zr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rng1zr.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8	6, 7	mgmb1mgm1 18708	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
10		simp1r 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
12		rng1zr.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
13	11, 12	mgpplusg 20215	. . . . . . . . 9 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
14	13	fneq1i 6632	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∗ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
15	14	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ ( ∗ Fn (𝐵 × 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
16	15	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
18	11, 6	mgpbas 20216	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
20	18, 19	mgmb1mgm1 18708	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
21	10, 3, 17, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
22	13	eqcomi 2772	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = ∗
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = ∗ )
24	23	eqeq1d 2765	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ↔ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
25	21, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
26	9, 25	anbi12d 643	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}) ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
27	1, 26	bitrid 286	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  {csn 4589  ⟨cop 4595   × cxp 5659   Fn wfn 6531  ‘cfv 6536  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  ._rcmulr 17306  Mgmcmgm 18691  mulGrpcmgp 20211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-plusg 17318  df-plusf 18692  df-mgm 18693  df-mgp 20212

This theorem is referenced by:  rng1zr  20255  srg1zr  20292