Theorem rng1zrlem 20305

Description: Lemma for rng1zr 20306 and srg1zr 20343. (Contributed by FL, 13-Feb-2010.) (Revised by AV, 18-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
rng1zr.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rng1zr.p	⊢ + = (+g‘𝑅)
rng1zr.t	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rng1zrlem	⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

Proof of Theorem rng1zrlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pm4.24 574	. 2 ⊢ (𝐵 = {𝑍} ↔ (𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}))
2		simp1l 1216	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Mgm)
3		simp3 1156	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → 𝑍 ∈ 𝐵)
4		simpl 488	. . . . 5 ⊢ (( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
5	4	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → + Fn (𝐵 × 𝐵))
6		rng1zr.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		rng1zr.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑅)
8	6, 7	mgmb1mgm1 18739	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Mgm ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ + Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
9	2, 3, 5, 8	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
10		simp1r 1217	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm)
11		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
12		rng1zr.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
13	11, 12	mgpplusg 20266	. . . . . . . . 9 ⊢ ∗ = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
14	13	fneq1i 6636	. . . . . . . 8 ⊢ ( ∗ Fn (𝐵 × 𝐵) ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
15	14	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ ( ∗ Fn (𝐵 × 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
16	15	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
17	16	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵))
18	11, 6	mgpbas 20267	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
19		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
20	18, 19	mgmb1mgm1 18739	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) Fn (𝐵 × 𝐵)) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
21	10, 3, 17, 20	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
22	13	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = ∗
23	22	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (+g‘(mulGrp‘𝑅)) = ∗ )
24	23	eqeq1d 2767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((+g‘(mulGrp‘𝑅)) = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ↔ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
25	21, 24	bitrd 282	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩}))
26	9, 25	anbi12d 644	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ((𝐵 = {𝑍} ∧ 𝐵 = {𝑍}) ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))
27	1, 26	bitrid 286	1 ⊢ (((𝑅 ∈ Mgm ∧ (mulGrp‘𝑅) ∈ Mgm) ∧ ( + Fn (𝐵 × 𝐵) ∧ ∗ Fn (𝐵 × 𝐵)) ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝐵 = {𝑍} ↔ ( + = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩} ∧ ∗ = {⟨⟨𝑍, 𝑍⟩, 𝑍⟩})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5661   Fn wfn 6535  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  ._rcmulr 17335  Mgmcmgm 18720  mulGrpcmgp 20262

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-plusg 17347  df-plusf 18721  df-mgm 18722  df-mgp 20263

This theorem is used by:  rng1zr  20306  srg1zr  20343