Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rngo2times Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rngo2times 19304
 Description: A ring element plus itself is two times the element. "Two" in an arbitrary unital ring is the sum of the unit with itself. (Contributed by AV, 24-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
ringadd2.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringadd2.p + = (+g𝑅)
ringadd2.t · = (.r𝑅)
rngo2times.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
rngo2times ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))

Proof of Theorem rngo2times
StepHypRef Expression
1 ringadd2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ringadd2.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3 rngo2times.u . . . . 5 1 = (1r𝑅)
41, 2, 3ringlidm 19299 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → ( 1 · 𝐴) = 𝐴)
54eqcomd 2827 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴 = ( 1 · 𝐴))
65, 5oveq12d 7148 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
7 simpl 486 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
81, 3ringidcl 19296 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1𝐵)
98adantr 484 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → 1𝐵)
10 simpr 488 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
11 ringadd2.p . . . 4 + = (+g𝑅)
121, 11, 2ringdir 19295 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ( 1𝐵1𝐵𝐴𝐵)) → (( 1 + 1 ) · 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
137, 9, 9, 10, 12syl13anc 1369 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (( 1 + 1 ) · 𝐴) = (( 1 · 𝐴) + ( 1 · 𝐴)))
146, 13eqtr4d 2859 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵) → (𝐴 + 𝐴) = (( 1 + 1 ) · 𝐴))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ‘cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  +gcplusg 16543  .rcmulr 16544  1rcur 19229  Ringcrg 19275 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-plusg 16556  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator