Theorem ringlidm 20154

Description: The unity element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlidm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringidm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringidm.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringidmlem 20153	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  1_rcur 20066  Ringcrg 20118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mgp 20026  df-ur 20067  df-ring 20120

This theorem is referenced by:  ringlidmd  20157  ringo2times  20160  ringidss  20162  ringcomlem  20164  ring1eq0  20183  ringinvnzdiv  20186  ringnegl  20187  imasring  20215  xpsring1d  20218  opprring  20232  dvdsrid  20252  unitmulcl  20265  unitgrp  20268  1rinv  20280  dvreq1  20296  ringinvdv  20299  subrginv  20473  issubrg2  20477  unitrrg  20588  isdrng2  20628  drngmul0orOLD  20646  isdrngd  20650  isdrngdOLD  20652  abv1z  20709  issrngd  20740  sralmod  21070  rngqiprngfulem5  21201  mulgrhm  21363  dvdschrmulg  21414  freshmansdream  21460  asclmul1  21771  psrlmod  21845  psrlidm  21847  mplmonmul  21919  evlslem1  21965  coe1pwmul  22141  mamulid  22304  madetsumid  22324  1mavmul  22411  m1detdiag  22460  mdetralt  22471  mdetunilem7  22481  mdetuni  22485  mdetmul  22486  m2detleib  22494  chfacfpmmulgsum  22727  cpmadugsumlemB  22737  nrginvrcnlem  24555  cphsubrglem  25053  ply1divex  26018  ress1r  33158  dvrcan5  33160  ornglmullt  33258  orng0le1  33263  isarchiofld  33268  elrspunidl  33372  mxidlprm  33414  madjusmdetlem1  33790  matunitlindflem1  37583  lfl0  39031  lfladd  39032  eqlkr3  39067  lcfrlem1  41509  hdmapinvlem4  41888  hdmapglem5  41889  mon1psubm  43161  lidldomn1  48192  invginvrid  48328  ply1sclrmsm  48345  ldepsprlem  48434