MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlidm 19296
Description: The unit element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t · = (.r𝑅)
rngidm.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlidm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm
StepHypRef Expression
1 rngidm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 rngidm.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 rngidm.u . . 3 1 = (1r𝑅)
41, 2, 3ringidmlem 19295 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
54simpld 497 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1537  wcel 2114  cfv 6327  (class class class)co 7129  Basecbs 16458  .rcmulr 16541  1rcur 19226  Ringcrg 19272
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435  ax-cnex 10567  ax-resscn 10568  ax-1cn 10569  ax-icn 10570  ax-addcl 10571  ax-addrcl 10572  ax-mulcl 10573  ax-mulrcl 10574  ax-mulcom 10575  ax-addass 10576  ax-mulass 10577  ax-distr 10578  ax-i2m1 10579  ax-1ne0 10580  ax-1rid 10581  ax-rnegex 10582  ax-rrecex 10583  ax-cnre 10584  ax-pre-lttri 10585  ax-pre-lttrn 10586  ax-pre-ltadd 10587  ax-pre-mulgt0 10588
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-tr 5145  df-id 5432  df-eprel 5437  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-riota 7087  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-om 7555  df-wrecs 7921  df-recs 7982  df-rdg 8020  df-er 8263  df-en 8484  df-dom 8485  df-sdom 8486  df-pnf 10651  df-mnf 10652  df-xr 10653  df-ltxr 10654  df-le 10655  df-sub 10846  df-neg 10847  df-nn 11613  df-2 11675  df-ndx 16461  df-slot 16462  df-base 16464  df-sets 16465  df-plusg 16553  df-0g 16690  df-mgm 17827  df-sgrp 17876  df-mnd 17887  df-mgp 19215  df-ur 19227  df-ring 19274
This theorem is referenced by:  rngo2times  19301  ringidss  19302  ringcom  19304  ring1eq0  19315  ringinvnzdiv  19318  ringnegl  19319  imasring  19344  opprring  19356  dvdsrid  19376  unitmulcl  19389  unitgrp  19392  1rinv  19404  dvreq1  19418  ringinvdv  19419  isdrng2  19484  drngmul0or  19495  isdrngd  19499  subrginv  19523  issubrg2  19527  abv1z  19575  issrngd  19604  sralmod  19931  unitrrg  20038  asclmul1  20086  ascldimulOLD  20089  psrlmod  20153  psrlidm  20155  mplmonmul  20217  evlslem1  20267  coe1pwmul  20419  mulgrhm  20617  mamulid  21022  madetsumid  21042  1mavmul  21129  m1detdiag  21178  mdetralt  21189  mdetunilem7  21199  mdetuni  21203  mdetmul  21204  m2detleib  21212  chfacfpmmulgsum  21444  cpmadugsumlemB  21454  nrginvrcnlem  23272  cphsubrglem  23757  ply1divex  24712  dvdschrmulg  30862  freshmansdream  30863  ress1r  30864  dvrcan5  30868  ornglmullt  30884  orng0le1  30889  isarchiofld  30894  mxidlprm  30984  madjusmdetlem1  31099  matunitlindflem1  34925  lfl0  36233  lfladd  36234  eqlkr3  36269  lcfrlem1  38710  hdmapinvlem4  39089  hdmapglem5  39090  mon1psubm  39939  lidldomn1  44333  invginvrid  44556  ply1sclrmsm  44578  ldepsprlem  44668
  Copyright terms: Public domain W3C validator