Theorem ringlidm 20267

Description: The unity element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlidm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringidm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringidm.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringidmlem 20266	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
5	4	simpld 494	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  ._rcmulr 17299  1_rcur 20179  Ringcrg 20231

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-plusg 17311  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mgp 20139  df-ur 20180  df-ring 20233

This theorem is referenced by:  ringlidmd  20270  ringo2times  20273  ringidss  20275  ringcomlem  20277  ring1eq0  20296  ringinvnzdiv  20299  ringnegl  20300  imasring  20328  xpsring1d  20331  opprring  20348  dvdsrid  20368  unitmulcl  20381  unitgrp  20384  1rinv  20396  dvreq1  20412  ringinvdv  20415  subrginv  20589  issubrg2  20593  unitrrg  20704  isdrng2  20744  drngmul0orOLD  20762  isdrngd  20766  isdrngdOLD  20768  abv1z  20826  issrngd  20857  sralmod  21195  rngqiprngfulem5  21326  mulgrhm  21489  dvdschrmulg  21544  freshmansdream  21594  asclmul1  21907  psrlmod  21981  psrlidm  21983  mplmonmul  22055  evlslem1  22107  coe1pwmul  22283  mamulid  22448  madetsumid  22468  1mavmul  22555  m1detdiag  22604  mdetralt  22615  mdetunilem7  22625  mdetuni  22629  mdetmul  22630  m2detleib  22638  chfacfpmmulgsum  22871  cpmadugsumlemB  22881  nrginvrcnlem  24713  cphsubrglem  25212  ply1divex  26177  ress1r  33239  dvrcan5  33241  ornglmullt  33338  orng0le1  33343  isarchiofld  33348  elrspunidl  33457  mxidlprm  33499  madjusmdetlem1  33827  matunitlindflem1  37624  lfl0  39067  lfladd  39068  eqlkr3  39103  lcfrlem1  41545  hdmapinvlem4  41924  hdmapglem5  41925  mon1psubm  43216  lidldomn1  48152  invginvrid  48288  ply1sclrmsm  48305  ldepsprlem  48394