Theorem ringlidm 20248

Description: The unity element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
ringidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ringidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlidm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ringidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ringidm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ringidm.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringidmlem 20247	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
5	4	simpld 495	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  ._rcmulr 17219  1_rcur 20160  Ringcrg 20212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-plusg 17231  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-mgp 20120  df-ur 20161  df-ring 20214

This theorem is referenced by:  ringlidmd  20251  ringo2times  20254  ringidss  20256  ringcomlem  20258  ring1eq0  20277  ringinvnzdiv  20280  ringnegl  20281  imasring  20308  xpsring1d  20311  opprring  20325  dvdsrid  20345  unitmulcl  20358  unitgrp  20361  1rinv  20373  dvreq1  20389  ringinvdv  20392  subrginv  20567  issubrg2  20571  unitrrg  20682  isdrng2  20722  drngmul0orOLD  20740  isdrngd  20744  isdrngdOLD  20746  abv1z  20803  issrngd  20834  ornglmullt  20848  orng0le1  20853  sralmod  21184  rngqiprngfulem5  21315  mulgrhm  21459  dvdschrmulg  21510  freshmansdream  21556  asclmul1  21868  psrlmod  21941  psrlidm  21943  mplmonmul  22019  evlslem1  22065  coe1pwmul  22272  mamulid  22431  madetsumid  22451  1mavmul  22538  m1detdiag  22587  mdetralt  22598  mdetunilem7  22608  mdetuni  22612  mdetmul  22613  m2detleib  22621  chfacfpmmulgsum  22854  cpmadugsumlemB  22864  nrginvrcnlem  24681  cphsubrglem  25169  ply1divex  26127  isarchiofld  33287  ress1r  33321  dvrcan5  33324  elrspunidl  33518  mxidlprm  33560  madjusmdetlem1  34018  matunitlindflem1  37990  lfl0  39564  lfladd  39565  eqlkr3  39600  lcfrlem1  42041  hdmapinvlem4  42420  hdmapglem5  42421  mon1psubm  43651  lidldomn1  48729  invginvrid  48865  ply1sclrmsm  48882  ldepsprlem  48970