Theorem ringlidm 19855

Description: The unit element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngidm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngidm.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
ringlidm	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngidm.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		rngidm.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		rngidm.u	. . 3 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	1, 2, 3	ringidmlem 19854	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
5	4	simpld 496	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  ._rcmulr 17008  1_rcur 19782  Ringcrg 19828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-cnex 10973  ax-resscn 10974  ax-1cn 10975  ax-icn 10976  ax-addcl 10977  ax-addrcl 10978  ax-mulcl 10979  ax-mulrcl 10980  ax-mulcom 10981  ax-addass 10982  ax-mulass 10983  ax-distr 10984  ax-i2m1 10985  ax-1ne0 10986  ax-1rid 10987  ax-rnegex 10988  ax-rrecex 10989  ax-cnre 10990  ax-pre-lttri 10991  ax-pre-lttrn 10992  ax-pre-ltadd 10993  ax-pre-mulgt0 10994

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11057  df-mnf 11058  df-xr 11059  df-ltxr 11060  df-le 11061  df-sub 11253  df-neg 11254  df-nn 12020  df-2 12082  df-sets 16910  df-slot 16928  df-ndx 16940  df-base 16958  df-plusg 17020  df-0g 17197  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-mgp 19766  df-ur 19783  df-ring 19830

This theorem is referenced by:  rngo2times  19860  ringidss  19861  ringcom  19863  ring1eq0  19874  ringinvnzdiv  19877  ringnegl  19878  imasring  19903  opprring  19918  dvdsrid  19938  unitmulcl  19951  unitgrp  19954  1rinv  19966  dvreq1  19980  ringinvdv  19981  isdrng2  20046  drngmul0or  20057  isdrngd  20061  subrginv  20085  issubrg2  20089  abv1z  20137  issrngd  20166  sralmod  20502  unitrrg  20609  mulgrhm  20744  asclmul1  21135  psrlmod  21215  psrlidm  21217  mplmonmul  21282  evlslem1  21337  coe1pwmul  21495  mamulid  21635  madetsumid  21655  1mavmul  21742  m1detdiag  21791  mdetralt  21802  mdetunilem7  21812  mdetuni  21816  mdetmul  21817  m2detleib  21825  chfacfpmmulgsum  22058  cpmadugsumlemB  22068  nrginvrcnlem  23900  cphsubrglem  24386  ply1divex  25346  dvdschrmulg  31528  freshmansdream  31529  ress1r  31531  dvrcan5  31535  ornglmullt  31551  orng0le1  31556  isarchiofld  31561  elrspunidl  31651  mxidlprm  31685  madjusmdetlem1  31822  matunitlindflem1  35817  lfl0  37121  lfladd  37122  eqlkr3  37157  lcfrlem1  39598  hdmapinvlem4  39977  hdmapglem5  39978  ringlidmd  40279  mon1psubm  41069  lidldomn1  45537  invginvrid  45761  ply1sclrmsm  45782  ldepsprlem  45871