MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ringlidm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ringlidm 18776
Description: The unit element of a ring is a left multiplicative identity. (Contributed by NM, 15-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
rngidm.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngidm.t · = (.r𝑅)
rngidm.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringlidm ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)

Proof of Theorem ringlidm
StepHypRef Expression
1 rngidm.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 rngidm.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 rngidm.u . . 3 1 = (1r𝑅)
41, 2, 3ringidmlem 18775 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → (( 1 · 𝑋) = 𝑋 ∧ (𝑋 · 1 ) = 𝑋))
54simpld 484 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵) → ( 1 · 𝑋) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wcel 2157  cfv 6104  (class class class)co 6877  Basecbs 16071  .rcmulr 16157  1rcur 18706  Ringcrg 18752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-nn 11309  df-2 11367  df-ndx 16074  df-slot 16075  df-base 16077  df-sets 16078  df-plusg 16169  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mgp 18695  df-ur 18707  df-ring 18754
This theorem is referenced by:  rngo2times  18781  ringidss  18782  ringcom  18784  ring1eq0  18795  ringinvnzdiv  18798  ringnegl  18799  imasring  18824  opprring  18836  dvdsrid  18856  unitmulcl  18869  unitgrp  18872  1rinv  18884  dvreq1  18898  ringinvdv  18899  isdrng2  18964  drngmul0or  18975  isdrngd  18979  subrginv  19003  issubrg2  19007  abv1z  19039  issrngd  19068  sralmod  19399  unitrrg  19505  asclmul1  19551  asclrhm  19554  psrlmod  19613  psrlidm  19615  mplmonmul  19676  evlslem1  19726  coe1pwmul  19860  mulgrhm  20057  mamulid  20461  madetsumid  20482  1mavmul  20569  m1detdiag  20618  mdetralt  20629  mdetunilem7  20639  mdetuni  20643  mdetmul  20644  m2detleib  20652  chfacfpmmulgsum  20886  cpmadugsumlemB  20896  nrginvrcnlem  22712  cphsubrglem  23193  ply1divex  24116  ress1r  30120  dvrcan5  30124  ornglmullt  30138  orng0le1  30143  isarchiofld  30148  madjusmdetlem1  30224  matunitlindflem1  33720  lfl0  34847  lfladd  34848  eqlkr3  34883  lcfrlem1  37324  hdmapinvlem4  37703  hdmapglem5  37704  mon1psubm  38286  lidldomn1  42490  invginvrid  42717  ply1sclrmsm  42740  ldepsprlem  42830
  Copyright terms: Public domain W3C validator