HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  5oalem7 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 5oalem7 31679
Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) TODO: replace uses of ee4anv 2353 with 4exdistrv 1956 as in 3oalem3 31683. (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
5oalem5.1 𝐴S
5oalem5.2 𝐵S
5oalem5.3 𝐶S
5oalem5.4 𝐷S
5oalem5.5 𝐹S
5oalem5.6 𝐺S
5oalem5.7 𝑅S
5oalem5.8 𝑆S
Assertion
Ref Expression
5oalem7 (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))

Proof of Theorem 5oalem7
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ee4anv 2353 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
2 exrot4 2166 . . . . . 6 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
3 ee4anv 2353 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ (∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
432exbii 1849 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔𝑧𝑤𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
52, 4bitri 275 . . . . 5 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
652exbii 1849 . . . 4 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑓𝑔(∃𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
7 elin 3967 . . . . 5 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∧ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
8 5oalem5.1 . . . . . . . . . 10 𝐴S
9 5oalem5.2 . . . . . . . . . 10 𝐵S
108, 9shseli 31335 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝐴𝑦𝐵 = (𝑥 + 𝑦))
11 r2ex 3196 . . . . . . . . 9 (∃𝑥𝐴𝑦𝐵 = (𝑥 + 𝑦) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)))
1210, 11bitri 275 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ↔ ∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)))
13 5oalem5.3 . . . . . . . . . 10 𝐶S
14 5oalem5.4 . . . . . . . . . 10 𝐷S
1513, 14shseli 31335 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐶 + 𝐷) ↔ ∃𝑧𝐶𝑤𝐷 = (𝑧 + 𝑤))
16 r2ex 3196 . . . . . . . . 9 (∃𝑧𝐶𝑤𝐷 = (𝑧 + 𝑤) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤)))
1715, 16bitri 275 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐶 + 𝐷) ↔ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤)))
1812, 17anbi12i 628 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∈ (𝐶 + 𝐷)) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
19 elin 3967 . . . . . . 7 ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ↔ ( ∈ (𝐴 + 𝐵) ∧ ∈ (𝐶 + 𝐷)))
20 ee4anv 2353 . . . . . . 7 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ (∃𝑥𝑦((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ∃𝑧𝑤((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))))
2118, 19, 203bitr4ri 304 . . . . . 6 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ↔ ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)))
22 5oalem5.5 . . . . . . . . . 10 𝐹S
23 5oalem5.6 . . . . . . . . . 10 𝐺S
2422, 23shseli 31335 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ↔ ∃𝑓𝐹𝑔𝐺 = (𝑓 + 𝑔))
25 r2ex 3196 . . . . . . . . 9 (∃𝑓𝐹𝑔𝐺 = (𝑓 + 𝑔) ↔ ∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)))
2624, 25bitri 275 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ↔ ∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)))
27 5oalem5.7 . . . . . . . . . 10 𝑅S
28 5oalem5.8 . . . . . . . . . 10 𝑆S
2927, 28shseli 31335 . . . . . . . . 9 ( ∈ (𝑅 + 𝑆) ↔ ∃𝑣𝑅𝑢𝑆 = (𝑣 + 𝑢))
30 r2ex 3196 . . . . . . . . 9 (∃𝑣𝑅𝑢𝑆 = (𝑣 + 𝑢) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))
3129, 30bitri 275 . . . . . . . 8 ( ∈ (𝑅 + 𝑆) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))
3226, 31anbi12i 628 . . . . . . 7 (( ∈ (𝐹 + 𝐺) ∧ ∈ (𝑅 + 𝑆)) ↔ (∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
33 elin 3967 . . . . . . 7 ( ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆)) ↔ ( ∈ (𝐹 + 𝐺) ∧ ∈ (𝑅 + 𝑆)))
34 ee4anv 2353 . . . . . . 7 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ (∃𝑓𝑔((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ∃𝑣𝑢((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))))
3532, 33, 343bitr4ri 304 . . . . . 6 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢))) ↔ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆)))
3621, 35anbi12i 628 . . . . 5 ((∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) ↔ ( ∈ ((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∧ ∈ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))))
377, 36bitr4i 278 . . . 4 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ (∃𝑥𝑦𝑧𝑤(((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ ∃𝑓𝑔𝑣𝑢(((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
381, 6, 373bitr4ri 304 . . 3 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ↔ ∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))))
398, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 285oalem6 31678 . . . . . . 7 (((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4039exlimivv 1932 . . . . . 6 (∃𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4140exlimivv 1932 . . . . 5 (∃𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4241exlimivv 1932 . . . 4 (∃𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4342exlimivv 1932 . . 3 (∃𝑥𝑦𝑧𝑤𝑓𝑔𝑣𝑢((((𝑥𝐴𝑦𝐵) ∧ = (𝑥 + 𝑦)) ∧ ((𝑧𝐶𝑤𝐷) ∧ = (𝑧 + 𝑤))) ∧ (((𝑓𝐹𝑔𝐺) ∧ = (𝑓 + 𝑔)) ∧ ((𝑣𝑅𝑢𝑆) ∧ = (𝑣 + 𝑢)))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4438, 43sylbi 217 . 2 ( ∈ (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) → ∈ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆))))))))))
4544ssriv 3987 1 (((𝐴 + 𝐵) ∩ (𝐶 + 𝐷)) ∩ ((𝐹 + 𝐺) ∩ (𝑅 + 𝑆))) ⊆ (𝐵 + (𝐴 ∩ (𝐶 + ((((𝐴 + 𝐶) ∩ (𝐵 + 𝐷)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 + 𝐹) ∩ (𝐵 + 𝐺)) ∩ (((𝐴 + 𝑅) ∩ (𝐵 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))) + (((𝐶 + 𝐹) ∩ (𝐷 + 𝐺)) ∩ (((𝐶 + 𝑅) ∩ (𝐷 + 𝑆)) + ((𝐹 + 𝑅) ∩ (𝐺 + 𝑆)))))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wa 395   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wrex 3070  cin 3950  wss 3951  (class class class)co 7431   + cva 30939   S csh 30947   + cph 30950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-hilex 31018  ax-hfvadd 31019  ax-hvcom 31020  ax-hvass 31021  ax-hv0cl 31022  ax-hvaddid 31023  ax-hfvmul 31024  ax-hvmulid 31025  ax-hvmulass 31026  ax-hvdistr1 31027  ax-hvdistr2 31028  ax-hvmul0 31029
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-grpo 30512  df-ablo 30564  df-hvsub 30990  df-hlim 30991  df-sh 31226  df-ch 31240  df-shs 31327
This theorem is referenced by:  5oai  31680
  Copyright terms: Public domain W3C validator