Theorem 5oalem7 31718

Description: Lemma for orthoarguesian law 5OA. (Contributed by NM, 4-May-2000.) TODO: replace uses of ee4anv 2356 with 4exdistrv 1958 as in 3oalem3 31722. (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
5oalem5.1	⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
5oalem5.2	⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
5oalem5.3	⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
5oalem5.4	⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
5oalem5.5	⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
5oalem5.6	⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
5oalem5.7	⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
5oalem5.8	⊢ 𝑆 ∈ Sℋ

Assertion

Ref	Expression
5oalem7	⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∩ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))))

Proof of Theorem 5oalem7

Dummy variables ℎ 𝑓 𝑔 𝑢 𝑣 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ee4anv 2356	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑓∃𝑔(∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
2		exrot4 2172	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ ∃𝑓∃𝑔∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
3		ee4anv 2356	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ (∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
4	3	2exbii 1851	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑔∃𝑧∃𝑤∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ ∃𝑓∃𝑔(∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
5	2, 4	bitri 275	. . . . 5 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ ∃𝑓∃𝑔(∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
6	5	2exbii 1851	. . . 4 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑓∃𝑔(∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
7		elin 3918	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∩ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ↔ (ℎ ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∧ ℎ ∈ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
8		5oalem5.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ Sℋ
9		5oalem5.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ Sℋ
10	8, 9	shseli 31374	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦))
11		r2ex 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 ∃𝑦 ∈ 𝐵 ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
12	10, 11	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ↔ ∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)))
13		5oalem5.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ Sℋ
14		5oalem5.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ Sℋ
15	13, 14	shseli 31374	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝐶 +ℋ 𝐷) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝐷 ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))
16		r2ex 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐶 ∃𝑤 ∈ 𝐷 ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
17	15, 16	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ (𝐶 +ℋ 𝐷) ↔ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤)))
18	12, 17	anbi12i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ℎ ∈ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
19		elin 3918	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ↔ (ℎ ∈ (𝐴 +ℋ 𝐵) ∧ ℎ ∈ (𝐶 +ℋ 𝐷)))
20		ee4anv 2356	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ (∃𝑥∃𝑦((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ∃𝑧∃𝑤((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))))
21	18, 19, 20	3bitr4ri 304	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ↔ ℎ ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)))
22		5oalem5.5	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 ∈ Sℋ
23		5oalem5.6	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐺 ∈ Sℋ
24	22, 23	shseli 31374	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺) ↔ ∃𝑓 ∈ 𝐹 ∃𝑔 ∈ 𝐺 ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔))
25		r2ex 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑓 ∈ 𝐹 ∃𝑔 ∈ 𝐺 ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔) ↔ ∃𝑓∃𝑔((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
26	24, 25	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺) ↔ ∃𝑓∃𝑔((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)))
27		5oalem5.7	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑅 ∈ Sℋ
28		5oalem5.8	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑆 ∈ Sℋ
29	27, 28	shseli 31374	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑣 ∈ 𝑅 ∃𝑢 ∈ 𝑆 ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))
30		r2ex 3174	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑣 ∈ 𝑅 ∃𝑢 ∈ 𝑆 ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢) ↔ ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
31	29, 30	bitri 275	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆) ↔ ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))
32	26, 31	anbi12i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((ℎ ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆)) ↔ (∃𝑓∃𝑔((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
33		elin 3918	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)) ↔ (ℎ ∈ (𝐹 +ℋ 𝐺) ∧ ℎ ∈ (𝑅 +ℋ 𝑆)))
34		ee4anv 2356	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ↔ (∃𝑓∃𝑔((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ∃𝑣∃𝑢((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))))
35	32, 33, 34	3bitr4ri 304	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢))) ↔ ℎ ∈ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆)))
36	21, 35	anbi12i 629	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) ↔ (ℎ ∈ ((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∧ ℎ ∈ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))))
37	7, 36	bitr4i 278	. . . 4 ⊢ (ℎ ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∩ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ↔ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤(((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ ∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢(((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
38	1, 6, 37	3bitr4ri 304	. . 3 ⊢ (ℎ ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∩ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ↔ ∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))))
39	8, 9, 13, 14, 22, 23, 27, 28	5oalem6 31717	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
40	39	exlimivv 1934	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
41	40	exlimivv 1934	. . . . 5 ⊢ (∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
42	41	exlimivv 1934	. . . 4 ⊢ (∃𝑧∃𝑤∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
43	42	exlimivv 1934	. . 3 ⊢ (∃𝑥∃𝑦∃𝑧∃𝑤∃𝑓∃𝑔∃𝑣∃𝑢((((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ ℎ = (𝑥 +ℎ 𝑦)) ∧ ((𝑧 ∈ 𝐶 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ ℎ = (𝑧 +ℎ 𝑤))) ∧ (((𝑓 ∈ 𝐹 ∧ 𝑔 ∈ 𝐺) ∧ ℎ = (𝑓 +ℎ 𝑔)) ∧ ((𝑣 ∈ 𝑅 ∧ 𝑢 ∈ 𝑆) ∧ ℎ = (𝑣 +ℎ 𝑢)))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
44	38, 43	sylbi 217	. 2 ⊢ (ℎ ∈ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∩ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) → ℎ ∈ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆))))))))))
45	44	ssriv 3938	1 ⊢ (((𝐴 +ℋ 𝐵) ∩ (𝐶 +ℋ 𝐷)) ∩ ((𝐹 +ℋ 𝐺) ∩ (𝑅 +ℋ 𝑆))) ⊆ (𝐵 +ℋ (𝐴 ∩ (𝐶 +ℋ ((((𝐴 +ℋ 𝐶) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐷)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)))) ∩ ((((𝐴 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐵 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐴 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐵 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))) +ℋ (((𝐶 +ℋ 𝐹) ∩ (𝐷 +ℋ 𝐺)) ∩ (((𝐶 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐷 +ℋ 𝑆)) +ℋ ((𝐹 +ℋ 𝑅) ∩ (𝐺 +ℋ 𝑆)))))))))

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360   +_ℎ cva 30978   S_ℋ csh 30986   +_ℋ cph 30989

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-hilex 31057  ax-hfvadd 31058  ax-hvcom 31059  ax-hvass 31060  ax-hv0cl 31061  ax-hvaddid 31062  ax-hfvmul 31063  ax-hvmulid 31064  ax-hvmulass 31065  ax-hvdistr1 31066  ax-hvdistr2 31067  ax-hvmul0 31068

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-grpo 30551  df-ablo 30603  df-hvsub 31029  df-hlim 31030  df-sh 31265  df-ch 31279  df-shs 31366

This theorem is referenced by:  5oai  31719