Theorem slotsdifplendx 17316

Description: The index of the slot for the distance is not the index of other slots. Formerly part of proof for cnfldfunALT 21313. (Contributed by AV, 11-Nov-2024.)

Assertion

Ref	Expression
slotsdifplendx	⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Proof of Theorem slotsdifplendx

Step	Hyp	Ref	Expression
1		4re 12249	. . . 4 ⊢ 4 ∈ ℝ
2		4lt10 12764	. . . 4 ⊢ 4 < ;10
3	1, 2	ltneii 11266	. . 3 ⊢ 4 ≠ ;10
4		starvndx 17243	. . . 4 ⊢ (*𝑟‘ndx) = 4
5		plendx 17307	. . . 4 ⊢ (le‘ndx) = ;10
6	4, 5	neeq12i 2991	. . 3 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 4 ≠ ;10)
7	3, 6	mpbir 231	. 2 ⊢ (*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx)
8		9re 12264	. . . 4 ⊢ 9 ∈ ℝ
9		9lt10 12759	. . . 4 ⊢ 9 < ;10
10	8, 9	ltneii 11266	. . 3 ⊢ 9 ≠ ;10
11		tsetndx 17293	. . . 4 ⊢ (TopSet‘ndx) = 9
12	11, 5	neeq12i 2991	. . 3 ⊢ ((TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx) ↔ 9 ≠ ;10)
13	10, 12	mpbir 231	. 2 ⊢ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx)
14	7, 13	pm3.2i 470	1 ⊢ ((*𝑟‘ndx) ≠ (le‘ndx) ∧ (TopSet‘ndx) ≠ (le‘ndx))

Syntax hints:   ∧ wa 395   ≠ wne 2925  ‘cfv 6500  0cc0 11047  1c1 11048  4c4 12222  9c9 12227  ;cdc 12628  ndxcnx 17141  *_𝑟cstv 17200  TopSetcts 17204  lecple 17205

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7692  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6263  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6453  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7824  df-2nd 7949  df-frecs 8238  df-wrecs 8269  df-recs 8318  df-rdg 8356  df-er 8649  df-en 8897  df-dom 8898  df-sdom 8899  df-pnf 11189  df-mnf 11190  df-xr 11191  df-ltxr 11192  df-le 11193  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12166  df-2 12228  df-3 12229  df-4 12230  df-5 12231  df-6 12232  df-7 12233  df-8 12234  df-9 12235  df-dec 12629  df-slot 17130  df-ndx 17142  df-starv 17213  df-tset 17217  df-ple 17218

This theorem is referenced by:  cnfldfunALT  21313  cnfldfunALTOLD  21326