Theorem smatbr 34257

Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13602	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13615	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smatbr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fz1ssnn 13602	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
14	13, 5	sselid 3936	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
15		fzssnn 13615	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17		smatbr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
18	16, 17	sseldd 3939	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
19		elfzle1 13573	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
20	11, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
21	8	nnred 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
22	12	nnred 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
24	20, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
25	24	iffalsed 4500	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26		elfzle1 13573	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
27	17, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
28	14	nnred 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
29	18	nnred 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
31	27, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
32	31	iffalsed 4500	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32	smatlem 34253	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906   class class class wbr 5111   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  1c1 11118   + caddc 11120   < clt 11260   ≤ cle 11261  ℕcn 12250  ...cfz 13553  subMat1csmat 34249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-smat 34250

This theorem is used by:  submateq  34265