Theorem smatbr 33747

Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13615	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13628	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smatbr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 4009	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fz1ssnn 13615	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
14	13, 5	sselid 4006	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
15		fzssnn 13628	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17		smatbr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
18	16, 17	sseldd 4009	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
19		elfzle1 13587	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
20	11, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
21	8	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
22	12	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
24	20, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
25	24	iffalsed 4559	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26		elfzle1 13587	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
28	14	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
29	18	nnred 12308	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
31	27, 30	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
32	31	iffalsed 4559	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32	smatlem 33743	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884  1c1 11185   + caddc 11187   < clt 11324   ≤ cle 11325  ℕcn 12293  ...cfz 13567  subMat1csmat 33739

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-smat 33740

This theorem is referenced by:  submateq  33755