Theorem smatbr 33402

Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13565	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13578	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smatbr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fz1ssnn 13565	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
14	13, 5	sselid 3978	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
15		fzssnn 13578	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17		smatbr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
18	16, 17	sseldd 3981	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
19		elfzle1 13537	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
20	11, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
21	8	nnred 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
22	12	nnred 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
24	20, 23	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
25	24	iffalsed 4540	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26		elfzle1 13537	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
27	17, 26	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
28	14	nnred 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
29	18	nnred 12258	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11391	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
31	27, 30	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
32	31	iffalsed 4540	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32	smatlem 33398	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5148   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ↑_m cmap 8845  1c1 11140   + caddc 11142   < clt 11279   ≤ cle 11280  ℕcn 12243  ...cfz 13517  subMat1csmat 33394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-z 12590  df-uz 12854  df-fz 13518  df-smat 33395

This theorem is referenced by:  submateq  33410