Theorem smatbr 34544

Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13729	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13742	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smatbr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3914	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fz1ssnn 13729	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
14	13, 5	sselid 3911	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
15		fzssnn 13742	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17		smatbr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
18	16, 17	sseldd 3914	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
19		elfzle1 13700	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
20	11, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
21	8	nnred 12390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
22	12	nnred 12390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
24	20, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
25	24	iffalsed 4496	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26		elfzle1 13700	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
27	17, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
28	14	nnred 12390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
29	18	nnred 12390	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
31	27, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
32	31	iffalsed 4496	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32	smatlem 34540	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5108   × cxp 5656  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   ↑_m cmap 8885  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382   ≤ cle 11383  ℕcn 12375  ...cfz 13679  subMat1csmat 34536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-z 12734  df-uz 13006  df-fz 13680  df-smat 34537

This theorem is used by:  submateq  34552