Theorem smatbr 34312

Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbr	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fz1ssnn 13611	. . . . 5 ⊢ (1...𝑀) ⊆ ℕ
8	7, 4	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℕ)
9		fzssnn 13624	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
10	8, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11		smatbr.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
12	10, 11	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
13		fz1ssnn 13611	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
14	13, 5	sselid 3929	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
15		fzssnn 13624	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17		smatbr.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
18	16, 17	sseldd 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
19		elfzle1 13582	. . . . 5 ⊢ (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾 ≤ 𝐼)
20	11, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ≤ 𝐼)
21	8	nnred 12273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ ℝ)
22	12	nnred 12273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ≤ 𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
24	20, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
25	24	iffalsed 4493	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26		elfzle1 13582	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
27	17, 26	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
28	14	nnred 12273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
29	18	nnred 12273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
30	28, 29	lenltd 11381	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
31	27, 30	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
32	31	iffalsed 4493	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
33	1, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32	smatlem 34308	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103   × cxp 5653  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ↑_m cmap 8827  1c1 11126   + caddc 11128   < clt 11268   ≤ cle 11269  ℕcn 12258  ...cfz 13562  subMat1csmat 34304

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-z 12617  df-uz 12889  df-fz 13563  df-smat 34305

This theorem is used by:  submateq  34320