Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbr 31326
Description: Entries of a submatrix, bottom right. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbr.i (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
smatbr.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbr (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbr
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fz1ssnn 13032 . . . . 5 (1...𝑀) ⊆ ℕ
87, 4sseldi 3876 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ ℕ)
9 fzssnn 13045 . . . 4 (𝐾 ∈ ℕ → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐾...𝑀) ⊆ ℕ)
11 smatbr.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (𝐾...𝑀))
1210, 11sseldd 3879 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
13 fz1ssnn 13032 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1413, 5sseldi 3876 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
15 fzssnn 13045 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1614, 15syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
17 smatbr.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1816, 17sseldd 3879 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
19 elfzle1 13004 . . . . 5 (𝐼 ∈ (𝐾...𝑀) → 𝐾𝐼)
2011, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐾𝐼)
218nnred 11734 . . . . 5 (𝜑𝐾 ∈ ℝ)
2212nnred 11734 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10867 . . . 4 (𝜑 → (𝐾𝐼 ↔ ¬ 𝐼 < 𝐾))
2420, 23mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐼 < 𝐾)
2524iffalsed 4426 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = (𝐼 + 1))
26 elfzle1 13004 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2717, 26syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2814nnred 11734 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2918nnred 11734 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
3028, 29lenltd 10867 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
3127, 30mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
3231iffalsed 4426 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
331, 2, 3, 4, 5, 6, 12, 18, 25, 32smatlem 31322 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = ((𝐼 + 1)𝐴(𝐽 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  wss 3844   class class class wbr 5031   × cxp 5524  cfv 6340  (class class class)co 7173  m cmap 8440  1c1 10619   + caddc 10621   < clt 10756  cle 10757  cn 11719  ...cfz 12984  subMat1csmat 31318
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-er 8323  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-smat 31319
This theorem is referenced by:  submateq  31334
  Copyright terms: Public domain W3C validator