Theorem smatcl 34109

Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indices in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smatcl.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smatcl	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem smatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smatcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2		smatcl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		smatcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
4		smatcl.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
5		smatcl.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
6		smatcl.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		smatcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9	6, 7, 8	matbas2i 22540	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
10	5, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
11	1, 2, 2, 3, 4, 10	smatrcl 34103	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12		fzfi 13999	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
13	6, 8	matrcl 22530	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
14	13	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
15	5, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
17	16, 7	matbas2 22539	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
18	12, 15, 17	sylancr 598	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
19	18	eleq2d 2851	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
20	11, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21		smatcl.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
22	20, 21	eleqtrrdi 2876	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   × cxp 5650  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812  Fincfn 8931  1c1 11089   − cmin 11429  ℕcn 12224  ...cfz 13526  Basecbs 17259   Mat cmat 22525  subMat1csmat 34100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-er 8682  df-map 8814  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-9 12301  df-n0 12496  df-z 12583  df-dec 12703  df-uz 12854  df-fz 13527  df-struct 17197  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-tset 17319  df-ple 17320  df-ds 17322  df-hom 17324  df-cco 17325  df-0g 17484  df-prds 17490  df-pws 17492  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-dsmm 21842  df-frlm 21857  df-mat 22526  df-smat 34101

This theorem is referenced by:  submat1n  34112  submateq  34116  madjusmdetlem3  34136  mdetlap  34139