Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatcl 31078
Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indices in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smatcl.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
smatcl (𝜑𝑆𝐶)

Proof of Theorem smatcl
StepHypRef Expression
1 smatcl.s . . . 4 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2 smatcl.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 smatcl.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
4 smatcl.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
5 smatcl.m . . . . 5 (𝜑𝑀𝐵)
6 smatcl.a . . . . . 6 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7 eqid 2820 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 smatcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
96, 7, 8matbas2i 21007 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
111, 2, 2, 3, 4, 10smatrcl 31072 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12 fzfi 13324 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
136, 8matrcl 20997 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1413simprd 498 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
155, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
16 eqid 2820 . . . . . 6 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
1716, 7matbas2 21006 . . . . 5 (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
1812, 15, 17sylancr 589 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
1918eleq2d 2896 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
2011, 19mpbid 234 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21 smatcl.c . 2 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
2220, 21eleqtrrdi 2922 1 (𝜑𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  Vcvv 3473   × cxp 5529  cfv 6331  (class class class)co 7133  m cmap 8384  Fincfn 8487  1c1 10516  cmin 10848  cn 11616  ...cfz 12876  Basecbs 16462   Mat cmat 20992  subMat1csmat 31069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-ot 4552  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-oadd 8084  df-er 8267  df-map 8386  df-ixp 8440  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-fz 12877  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-hom 16568  df-cco 16569  df-0g 16694  df-prds 16700  df-pws 16702  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-dsmm 20852  df-frlm 20867  df-mat 20993  df-smat 31070
This theorem is referenced by:  submat1n  31081  submateq  31085  madjusmdetlem3  31105  mdetlap  31108
  Copyright terms: Public domain W3C validator