Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatcl 33801
Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indices in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smatcl.a 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m (𝜑𝑀𝐵)
Assertion
Ref Expression
smatcl (𝜑𝑆𝐶)

Proof of Theorem smatcl
StepHypRef Expression
1 smatcl.s . . . 4 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2 smatcl.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
3 smatcl.k . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑁))
4 smatcl.l . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
5 smatcl.m . . . . 5 (𝜑𝑀𝐵)
6 smatcl.a . . . . . 6 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8 smatcl.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐴)
96, 7, 8matbas2i 22428 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
105, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
111, 2, 2, 3, 4, 10smatrcl 33795 . . 3 (𝜑𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12 fzfi 14013 . . . . 5 (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
136, 8matrcl 22416 . . . . . . 7 (𝑀𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
1413simprd 495 . . . . . 6 (𝑀𝐵𝑅 ∈ V)
155, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
16 eqid 2737 . . . . . 6 ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
1716, 7matbas2 22427 . . . . 5 (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
1812, 15, 17sylancr 587 . . . 4 (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
1918eleq2d 2827 . . 3 (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
2011, 19mpbid 232 . 2 (𝜑𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21 smatcl.c . 2 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
2220, 21eleqtrrdi 2852 1 (𝜑𝑆𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  m cmap 8866  Fincfn 8985  1c1 11156  cmin 11492  cn 12266  ...cfz 13547  Basecbs 17247   Mat cmat 22411  subMat1csmat 33792
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-ot 4635  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-dsmm 21752  df-frlm 21767  df-mat 22412  df-smat 33793
This theorem is referenced by:  submat1n  33804  submateq  33808  madjusmdetlem3  33828  mdetlap  33831
  Copyright terms: Public domain W3C validator