Theorem smatcl 33946

Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indices in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smatcl.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smatcl	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem smatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smatcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2		smatcl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		smatcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
4		smatcl.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
5		smatcl.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
6		smatcl.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		smatcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9	6, 7, 8	matbas2i 22387	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
11	1, 2, 2, 3, 4, 10	smatrcl 33940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12		fzfi 13934	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
13	6, 8	matrcl 22377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
14	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
15	5, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
17	16, 7	matbas2 22386	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
18	12, 15, 17	sylancr 588	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
19	18	eleq2d 2822	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
20	11, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21		smatcl.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
22	20, 21	eleqtrrdi 2847	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3429   × cxp 5629  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ↑_m cmap 8773  Fincfn 8893  1c1 11039   − cmin 11377  ℕcn 12174  ...cfz 13461  Basecbs 17179   Mat cmat 22372  subMat1csmat 33937

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-supp 8111  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-ixp 8846  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-fin 8897  df-fsupp 9275  df-sup 9355  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-9 12251  df-n0 12438  df-z 12525  df-dec 12645  df-uz 12789  df-fz 13462  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-dsmm 21712  df-frlm 21727  df-mat 22373  df-smat 33938

This theorem is referenced by:  submat1n  33949  submateq  33953  madjusmdetlem3  33973  mdetlap  33976