Theorem smatcl 34223

Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indices in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smatcl.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smatcl	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem smatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smatcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2		smatcl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		smatcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
4		smatcl.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
5		smatcl.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
6		smatcl.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		smatcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9	6, 7, 8	matbas2i 22616	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
10	5, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
11	1, 2, 2, 3, 4, 10	smatrcl 34217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12		fzfi 14028	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
13	6, 8	matrcl 22606	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
14	13	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
15	5, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
17	16, 7	matbas2 22615	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
18	12, 15, 17	sylancr 599	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
19	18	eleq2d 2852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
20	11, 19	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21		smatcl.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
22	20, 21	eleqtrrdi 2877	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3458   × cxp 5664  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423   ↑_m cmap 8833  Fincfn 8952  1c1 11119   − cmin 11459  ℕcn 12251  ...cfz 13553  Basecbs 17294   Mat cmat 22601  subMat1csmat 34214

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-ot 4603  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-ixp 8905  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fsupp 9332  df-sup 9412  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-4 12323  df-5 12324  df-6 12325  df-7 12326  df-8 12327  df-9 12328  df-n0 12523  df-z 12610  df-dec 12730  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17232  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-sca 17351  df-vsca 17352  df-ip 17353  df-tset 17354  df-ple 17355  df-ds 17357  df-hom 17359  df-cco 17360  df-0g 17519  df-prds 17525  df-pws 17527  df-sra 21331  df-rgmod 21332  df-dsmm 21919  df-frlm 21934  df-mat 22602  df-smat 34215

This theorem is used by:  submat1n  34226  submateq  34230  madjusmdetlem3  34250  mdetlap  34253