Theorem smatcl 33810

Description: Closure of the square submatrix: if 𝑀 is a square matrix of dimension 𝑁 with indices in (1...𝑁), then a submatrix of 𝑀 is of dimension (𝑁 − 1). (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smatcl.a	⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
smatcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
smatcl.c	⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
smatcl.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
smatcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smatcl.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
smatcl.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smatcl.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
smatcl	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem smatcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smatcl.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝑀)𝐿)
2		smatcl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
3		smatcl.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑁))
4		smatcl.l	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
5		smatcl.m	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
6		smatcl.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = ((1...𝑁) Mat 𝑅)
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8		smatcl.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
9	6, 7, 8	matbas2i 22335	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
10	5, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...𝑁) × (1...𝑁))))
11	1, 2, 2, 3, 4, 10	smatrcl 33804	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))))
12		fzfi 13876	. . . . 5 ⊢ (1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin
13	6, 8	matrcl 22325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → ((1...𝑁) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
14	13	simprd 495	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑅 ∈ V)
15	5, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
16		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅) = ((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)
17	16, 7	matbas2 22334	. . . . 5 ⊢ (((1...(𝑁 − 1)) ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V) → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
18	12, 15, 17	sylancr 587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
19	18	eleq2d 2817	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m ((1...(𝑁 − 1)) × (1...(𝑁 − 1)))) ↔ 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))))
20	11, 19	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅)))
21		smatcl.c	. 2 ⊢ 𝐶 = (Base‘((1...(𝑁 − 1)) Mat 𝑅))
22	20, 21	eleqtrrdi 2842	1 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   × cxp 5614  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   ↑_m cmap 8750  Fincfn 8869  1c1 11004   − cmin 11341  ℕcn 12122  ...cfz 13404  Basecbs 17117   Mat cmat 22320  subMat1csmat 33801

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-ot 4585  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-4 12187  df-5 12188  df-6 12189  df-7 12190  df-8 12191  df-9 12192  df-n0 12379  df-z 12466  df-dec 12586  df-uz 12730  df-fz 13405  df-struct 17055  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-sca 17174  df-vsca 17175  df-ip 17176  df-tset 17177  df-ple 17178  df-ds 17180  df-hom 17182  df-cco 17183  df-0g 17342  df-prds 17348  df-pws 17350  df-sra 21105  df-rgmod 21106  df-dsmm 21667  df-frlm 21682  df-mat 22321  df-smat 33802

This theorem is referenced by:  submat1n  33813  submateq  33817  madjusmdetlem3  33837  mdetlap  33840