Theorem smatbl 33790

Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbl	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fzossnn 13672	. . 3 ⊢ (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8		smatbl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
9	7, 8	sselid 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
10		fz1ssnn 13516	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
11	10, 5	sselid 3944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
12		fzssnn 13529	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14		smatbl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
15	13, 14	sseldd 3947	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzolt2 13629	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
17	8, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐾)
18	17	iftrued 4496	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19		elfzle1 13488	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
20	14, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
21	11	nnred 12201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
22	15	nnred 12201	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11320	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
24	20, 23	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
25	24	iffalsed 4499	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25	smatlem 33787	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914   class class class wbr 5107   × cxp 5636  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ↑_m cmap 8799  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208   ≤ cle 11209  ℕcn 12186  ...cfz 13468  ..^cfzo 13615  subMat1csmat 33783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-smat 33784

This theorem is referenced by:  submateq  33799