Theorem smatbl 31067

Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbl	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fzossnn 13089	. . 3 ⊢ (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8		smatbl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
9	7, 8	sseldi 3967	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
10		fz1ssnn 12941	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
11	10, 5	sseldi 3967	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
12		fzssnn 12954	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14		smatbl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
15	13, 14	sseldd 3970	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzolt2 13050	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
17	8, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐾)
18	17	iftrued 4477	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19		elfzle1 12913	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
20	14, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
21	11	nnred 11655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
22	15	nnred 11655	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 10788	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
24	20, 23	mpbid 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
25	24	iffalsed 4480	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25	smatlem 31064	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068   × cxp 5555  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   ↑_m cmap 8408  1c1 10540   + caddc 10542   < clt 10677   ≤ cle 10678  ℕcn 11640  ...cfz 12895  ..^cfzo 13036  subMat1csmat 31060

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-smat 31061

This theorem is referenced by:  submateq  31076