Theorem smatbl 33552

Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbl	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fzossnn 13721	. . 3 ⊢ (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8		smatbl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
9	7, 8	sselid 3974	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
10		fz1ssnn 13572	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
11	10, 5	sselid 3974	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
12		fzssnn 13585	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
13	11, 12	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14		smatbl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
15	13, 14	sseldd 3977	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzolt2 13681	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
17	8, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐾)
18	17	iftrued 4538	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19		elfzle1 13544	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
20	14, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
21	11	nnred 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
22	15	nnred 12265	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11397	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
24	20, 23	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
25	24	iffalsed 4541	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25	smatlem 33549	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944   class class class wbr 5149   × cxp 5676  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  1c1 11146   + caddc 11148   < clt 11285   ≤ cle 11286  ℕcn 12250  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  subMat1csmat 33545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-smat 33546

This theorem is referenced by:  submateq  33561