Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbl 33310
Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbl (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fzossnn 13684 . . 3 (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8 smatbl.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
97, 8sselid 3975 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
10 fz1ssnn 13535 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1110, 5sselid 3975 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
12 fzssnn 13548 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14 smatbl.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1513, 14sseldd 3978 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
16 elfzolt2 13644 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
178, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐾)
1817iftrued 4531 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19 elfzle1 13507 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2014, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2111nnred 12228 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2215nnred 12228 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 11361 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
2420, 23mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
2524iffalsed 4534 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25smatlem 33307 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3943   class class class wbr 5141   × cxp 5667  cfv 6536  (class class class)co 7404  m cmap 8819  1c1 11110   + caddc 11112   < clt 11249  cle 11250  cn 12213  ...cfz 13487  ..^cfzo 13630  subMat1csmat 33303
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-smat 33304
This theorem is referenced by:  submateq  33319
  Copyright terms: Public domain W3C validator