Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbl 33552
Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbl (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fzossnn 13721 . . 3 (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8 smatbl.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
97, 8sselid 3974 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
10 fz1ssnn 13572 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1110, 5sselid 3974 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
12 fzssnn 13585 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14 smatbl.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1513, 14sseldd 3977 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
16 elfzolt2 13681 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
178, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐾)
1817iftrued 4538 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19 elfzle1 13544 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2014, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2111nnred 12265 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2215nnred 12265 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 11397 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
2420, 23mpbid 231 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
2524iffalsed 4541 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25smatlem 33549 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  wss 3944   class class class wbr 5149   × cxp 5676  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  1c1 11146   + caddc 11148   < clt 11285  cle 11286  cn 12250  ...cfz 13524  ..^cfzo 13667  subMat1csmat 33545
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-smat 33546
This theorem is referenced by:  submateq  33561
  Copyright terms: Public domain W3C validator