Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smatbl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smatbl 31122
Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
smat.s 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
smat.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
smat.k (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
Assertion
Ref Expression
smatbl (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl
StepHypRef Expression
1 smat.s . 2 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2 smat.m . 2 (𝜑𝑀 ∈ ℕ)
3 smat.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
4 smat.k . 2 (𝜑𝐾 ∈ (1...𝑀))
5 smat.l . 2 (𝜑𝐿 ∈ (1...𝑁))
6 smat.a . 2 (𝜑𝐴 ∈ (𝐵m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7 fzossnn 13081 . . 3 (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8 smatbl.i . . 3 (𝜑𝐼 ∈ (1..^𝐾))
97, 8sseldi 3940 . 2 (𝜑𝐼 ∈ ℕ)
10 fz1ssnn 12933 . . . . 5 (1...𝑁) ⊆ ℕ
1110, 5sseldi 3940 . . . 4 (𝜑𝐿 ∈ ℕ)
12 fzssnn 12946 . . . 4 (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
1311, 12syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14 smatbl.j . . 3 (𝜑𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
1513, 14sseldd 3943 . 2 (𝜑𝐽 ∈ ℕ)
16 elfzolt2 13042 . . . 4 (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
178, 16syl 17 . . 3 (𝜑𝐼 < 𝐾)
1817iftrued 4447 . 2 (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19 elfzle1 12905 . . . . 5 (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿𝐽)
2014, 19syl 17 . . . 4 (𝜑𝐿𝐽)
2111nnred 11640 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ ℝ)
2215nnred 11640 . . . . 5 (𝜑𝐽 ∈ ℝ)
2321, 22lenltd 10775 . . . 4 (𝜑 → (𝐿𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
2420, 23mpbid 235 . . 3 (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
2524iffalsed 4450 . 2 (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
261, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25smatlem 31119 1 (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  wss 3908   class class class wbr 5042   × cxp 5530  cfv 6334  (class class class)co 7140  m cmap 8393  1c1 10527   + caddc 10529   < clt 10664  cle 10665  cn 11625  ...cfz 12885  ..^cfzo 13028  subMat1csmat 31115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-fzo 13029  df-smat 31116
This theorem is referenced by:  submateq  31131
  Copyright terms: Public domain W3C validator