Theorem smatbl 34318

Description: Entries of a submatrix, bottom left. (Contributed by Thierry Arnoux, 19-Aug-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
smat.s	⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
smat.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
smat.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
smat.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
smat.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
smat.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
smatbl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
smatbl.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))

Assertion

Ref	Expression
smatbl	⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

Proof of Theorem smatbl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smat.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (𝐾(subMat1‘𝐴)𝐿)
2		smat.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℕ)
3		smat.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
4		smat.k	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (1...𝑀))
5		smat.l	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (1...𝑁))
6		smat.a	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐵 ↑m ((1...𝑀) × (1...𝑁))))
7		fzossnn 13771	. . 3 ⊢ (1..^𝐾) ⊆ ℕ
8		smatbl.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (1..^𝐾))
9	7, 8	sselid 3932	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ℕ)
10		fz1ssnn 13614	. . . . 5 ⊢ (1...𝑁) ⊆ ℕ
11	10, 5	sselid 3932	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℕ)
12		fzssnn 13627	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ ℕ → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
13	11, 12	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿...𝑁) ⊆ ℕ)
14		smatbl.j	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (𝐿...𝑁))
15	13, 14	sseldd 3935	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℕ)
16		elfzolt2 13728	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (1..^𝐾) → 𝐼 < 𝐾)
17	8, 16	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 < 𝐾)
18	17	iftrued 4493	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐼 < 𝐾, 𝐼, (𝐼 + 1)) = 𝐼)
19		elfzle1 13585	. . . . 5 ⊢ (𝐽 ∈ (𝐿...𝑁) → 𝐿 ≤ 𝐽)
20	14, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ≤ 𝐽)
21	11	nnred 12276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ)
22	15	nnred 12276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ ℝ)
23	21, 22	lenltd 11384	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ≤ 𝐽 ↔ ¬ 𝐽 < 𝐿))
24	20, 23	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐽 < 𝐿)
25	24	iffalsed 4496	. 2 ⊢ (𝜑 → if(𝐽 < 𝐿, 𝐽, (𝐽 + 1)) = (𝐽 + 1))
26	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9, 15, 18, 25	smatlem 34315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐼𝑆𝐽) = (𝐼𝐴(𝐽 + 1)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3902   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ↑_m cmap 8830  1c1 11129   + caddc 11131   < clt 11271   ≤ cle 11272  ℕcn 12261  ...cfz 13565  ..^cfzo 13713  subMat1csmat 34311

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-smat 34312

This theorem is used by:  submateq  34327