Theorem fz1ssnn 13287

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13285	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3925	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3887  (class class class)co 7275  1c1 10872  ℕcn 11973  ...cfz 13239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240

This theorem is referenced by:  fzssnn  13300  fzossnn  13436  isercoll  15379  prmreclem2  16618  prmreclem3  16619  vdwnnlem1  16696  prmodvdslcmf  16748  gsumval3  19508  1stcfb  22596  1stckgenlem  22704  ovoliunlem1  24666  ovoliun2  24670  ovolicc2lem4  24684  uniioovol  24743  uniioombllem4  24750  lgamgulm2  26185  lgamcvglem  26189  fsumvma2  26362  dchrmusum2  26642  dchrvmasum2lem  26644  mudivsum  26678  mulogsum  26680  mulog2sumlem2  26683  padct  31054  psgnfzto1stlem  31367  fzto1st1  31369  smatrcl  31746  smatlem  31747  smattr  31749  smatbl  31750  smatbr  31751  1smat1  31754  submateqlem1  31757  submateqlem2  31758  submateq  31759  madjusmdetlem2  31778  madjusmdetlem3  31779  madjusmdetlem4  31780  mdetlap  31782  esumsup  32057  esumgect  32058  carsggect  32285  carsgclctunlem2  32286  ballotlemsup  32471  fsum2dsub  32587  reprgt  32601  reprfi2  32603  reprfz1  32604  hashrepr  32605  breprexplema  32610  breprexplemc  32612  breprexp  32613  breprexpnat  32614  vtscl  32618  circlemeth  32620  hgt750lemd  32628  hgt750lemb  32636  hgt750leme  32638  lcmineqlem4  40040  lcmineqlem6  40042  lcmineqlem15  40051  lcmineqlem16  40052  lcmineqlem19  40055  lcmineqlem20  40056  lcmineqlem21  40057  lcmineqlem22  40058  sticksstones1  40102  eldioph4b  40633  diophren  40635  caratheodorylem2  44065  hoidmvlelem2  44134