Theorem fz1ssnn 12941

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12939	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3973	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3938  (class class class)co 7158  1c1 10540  ℕcn 11640  ...cfz 12895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896

This theorem is referenced by:  fzssnn  12954  fzossnn  13089  isercoll  15026  prmreclem2  16255  prmreclem3  16256  vdwnnlem1  16333  prmodvdslcmf  16385  gsumval3  19029  1stcfb  22055  1stckgenlem  22163  ovoliunlem1  24105  ovoliun2  24109  ovolicc2lem4  24123  uniioovol  24182  uniioombllem4  24189  lgamgulm2  25615  lgamcvglem  25619  fsumvma2  25792  dchrmusum2  26072  dchrvmasum2lem  26074  mudivsum  26108  mulogsum  26110  mulog2sumlem2  26113  padct  30457  psgnfzto1stlem  30744  fzto1st1  30746  smatrcl  31063  smatlem  31064  smattr  31066  smatbl  31067  smatbr  31068  1smat1  31071  submateqlem1  31074  submateqlem2  31075  submateq  31076  madjusmdetlem2  31095  madjusmdetlem3  31096  madjusmdetlem4  31097  mdetlap  31099  esumsup  31350  esumgect  31351  carsggect  31578  carsgclctunlem2  31579  ballotlemsup  31764  fsum2dsub  31880  reprgt  31894  reprfi2  31896  reprfz1  31897  hashrepr  31898  breprexplema  31903  breprexplemc  31905  breprexp  31906  breprexpnat  31907  vtscl  31911  circlemeth  31913  hgt750lemd  31921  hgt750lemb  31929  hgt750leme  31931  eldioph4b  39415  diophren  39417  caratheodorylem2  42816  hoidmvlelem2  42885