Theorem fz1ssnn 13596

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13594	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3986	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3950  (class class class)co 7432  1c1 11157  ℕcn 12267  ...cfz 13548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-er 8746  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549

This theorem is referenced by:  fzssnn  13609  fzossnn  13752  isercoll  15705  prmreclem2  16956  prmreclem3  16957  vdwnnlem1  17034  prmodvdslcmf  17086  gsumval3  19926  1stcfb  23454  1stckgenlem  23562  ovoliunlem1  25538  ovoliun2  25542  ovolicc2lem4  25556  uniioovol  25615  uniioombllem4  25622  lgamgulm2  27080  lgamcvglem  27084  fsumvma2  27259  dchrmusum2  27539  dchrvmasum2lem  27541  mudivsum  27575  mulogsum  27577  mulog2sumlem2  27580  padct  32732  psgnfzto1stlem  33121  fzto1st1  33123  smatrcl  33796  smatlem  33797  smattr  33799  smatbl  33800  smatbr  33801  1smat1  33804  submateqlem1  33807  submateqlem2  33808  submateq  33809  madjusmdetlem2  33828  madjusmdetlem3  33829  madjusmdetlem4  33830  mdetlap  33832  esumsup  34091  esumgect  34092  carsggect  34321  carsgclctunlem2  34322  ballotlemsup  34508  fsum2dsub  34623  reprgt  34637  reprfi2  34639  reprfz1  34640  hashrepr  34641  breprexplema  34646  breprexplemc  34648  breprexp  34649  breprexpnat  34650  vtscl  34654  circlemeth  34656  hgt750lemd  34664  hgt750lemb  34672  hgt750leme  34674  lcmineqlem4  42034  lcmineqlem6  42036  lcmineqlem15  42045  lcmineqlem16  42046  lcmineqlem19  42049  lcmineqlem20  42050  lcmineqlem21  42051  lcmineqlem22  42052  sticksstones1  42148  fisdomnn  42285  sumcubes  42352  eldioph4b  42827  diophren  42829  caratheodorylem2  46547  hoidmvlelem2  46616