Theorem fz1ssnn 13504

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13502	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3926	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3890  (class class class)co 7362  1c1 11034  ℕcn 12169  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-1st 7937  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzssnn  13517  fzossnn  13661  isercoll  15625  prmreclem2  16883  prmreclem3  16884  vdwnnlem1  16961  prmodvdslcmf  17013  gsumval3  19877  1stcfb  23424  1stckgenlem  23532  ovoliunlem1  25483  ovoliun2  25487  ovolicc2lem4  25501  uniioovol  25560  uniioombllem4  25567  lgamgulm2  27017  lgamcvglem  27021  fsumvma2  27195  dchrmusum2  27475  dchrvmasum2lem  27477  mudivsum  27511  mulogsum  27513  mulog2sumlem2  27516  padct  32810  psgnfzto1stlem  33180  fzto1st1  33182  smatrcl  33960  smatlem  33961  smattr  33963  smatbl  33964  smatbr  33965  1smat1  33968  submateqlem1  33971  submateqlem2  33972  submateq  33973  madjusmdetlem2  33992  madjusmdetlem3  33993  madjusmdetlem4  33994  mdetlap  33996  esumsup  34253  esumgect  34254  carsggect  34482  carsgclctunlem2  34483  ballotlemsup  34669  fsum2dsub  34771  reprgt  34785  reprfi2  34787  reprfz1  34788  hashrepr  34789  breprexplema  34794  breprexplemc  34796  breprexp  34797  breprexpnat  34798  vtscl  34802  circlemeth  34804  hgt750lemd  34812  hgt750lemb  34820  hgt750leme  34822  lcmineqlem4  42491  lcmineqlem6  42493  lcmineqlem15  42502  lcmineqlem16  42503  lcmineqlem19  42506  lcmineqlem20  42507  lcmineqlem21  42508  lcmineqlem22  42509  sticksstones1  42605  fisdomnn  42703  sumcubes  42765  eldioph4b  43263  diophren  43265  caratheodorylem2  46979  hoidmvlelem2  47048