Theorem fz1ssnn 13590

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13588	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3940	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3904  (class class class)co 7412  1c1 11107  ℕcn 12239  ...cfz 13541

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542

This theorem is used by:  fzssnn  13603  fzossnn  13747  isercoll  15726  prmreclem2  16983  prmreclem3  16984  vdwnnlem1  17061  prmodvdslcmf  17113  gsumval3  19983  1stcfb  23613  1stckgenlem  23721  ovoliunlem1  25672  ovoliun2  25676  ovolicc2lem4  25690  uniioovol  25749  uniioombllem4  25756  lgamgulm2  27211  lgamcvglem  27215  fsumvma2  27389  dchrmusum2  27669  dchrvmasum2lem  27671  mudivsum  27705  mulogsum  27707  mulog2sumlem2  27710  padct  33074  psgnfzto1stlem  33429  fzto1st1  33431  smatrcl  34195  smatlem  34196  smattr  34198  smatbl  34199  smatbr  34200  1smat1  34203  submateqlem1  34206  submateqlem2  34207  submateq  34208  madjusmdetlem2  34227  madjusmdetlem3  34228  madjusmdetlem4  34229  mdetlap  34231  esumsup  34488  esumgect  34489  carsggect  34717  carsgclctunlem2  34718  ballotlemsup  34904  fsum2dsub  35003  reprgt  35017  reprfi2  35019  reprfz1  35020  hashrepr  35021  breprexplema  35026  breprexplemc  35028  breprexp  35029  breprexpnat  35030  vtscl  35034  circlemeth  35036  hgt750lemd  35044  hgt750lemb  35052  hgt750leme  35054  lcmineqlem4  42827  lcmineqlem6  42829  lcmineqlem15  42838  lcmineqlem16  42839  lcmineqlem19  42842  lcmineqlem20  42843  lcmineqlem21  42844  lcmineqlem22  42845  sticksstones1  42941  fisdomnn  43040  sumcubes  43102  eldioph4b  43566  diophren  43568  caratheodorylem2  47269  hoidmvlelem2  47338