Theorem fz1ssnn 13577

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13575	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3967	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3931  (class class class)co 7410  1c1 11135  ℕcn 12245  ...cfz 13529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-z 12594  df-uz 12858  df-fz 13530

This theorem is referenced by:  fzssnn  13590  fzossnn  13733  isercoll  15689  prmreclem2  16942  prmreclem3  16943  vdwnnlem1  17020  prmodvdslcmf  17072  gsumval3  19893  1stcfb  23388  1stckgenlem  23496  ovoliunlem1  25460  ovoliun2  25464  ovolicc2lem4  25478  uniioovol  25537  uniioombllem4  25544  lgamgulm2  27003  lgamcvglem  27007  fsumvma2  27182  dchrmusum2  27462  dchrvmasum2lem  27464  mudivsum  27498  mulogsum  27500  mulog2sumlem2  27503  padct  32702  psgnfzto1stlem  33116  fzto1st1  33118  smatrcl  33832  smatlem  33833  smattr  33835  smatbl  33836  smatbr  33837  1smat1  33840  submateqlem1  33843  submateqlem2  33844  submateq  33845  madjusmdetlem2  33864  madjusmdetlem3  33865  madjusmdetlem4  33866  mdetlap  33868  esumsup  34125  esumgect  34126  carsggect  34355  carsgclctunlem2  34356  ballotlemsup  34542  fsum2dsub  34644  reprgt  34658  reprfi2  34660  reprfz1  34661  hashrepr  34662  breprexplema  34667  breprexplemc  34669  breprexp  34670  breprexpnat  34671  vtscl  34675  circlemeth  34677  hgt750lemd  34685  hgt750lemb  34693  hgt750leme  34695  lcmineqlem4  42050  lcmineqlem6  42052  lcmineqlem15  42061  lcmineqlem16  42062  lcmineqlem19  42065  lcmineqlem20  42066  lcmineqlem21  42067  lcmineqlem22  42068  sticksstones1  42164  fisdomnn  42262  sumcubes  42329  eldioph4b  42801  diophren  42803  caratheodorylem2  46523  hoidmvlelem2  46592