Theorem fz1ssnn 13532

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13530	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3987	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3949  (class class class)co 7409  1c1 11111  ℕcn 12212  ...cfz 13484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485

This theorem is referenced by:  fzssnn  13545  fzossnn  13681  isercoll  15614  prmreclem2  16850  prmreclem3  16851  vdwnnlem1  16928  prmodvdslcmf  16980  gsumval3  19775  1stcfb  22949  1stckgenlem  23057  ovoliunlem1  25019  ovoliun2  25023  ovolicc2lem4  25037  uniioovol  25096  uniioombllem4  25103  lgamgulm2  26540  lgamcvglem  26544  fsumvma2  26717  dchrmusum2  26997  dchrvmasum2lem  26999  mudivsum  27033  mulogsum  27035  mulog2sumlem2  27038  padct  31975  psgnfzto1stlem  32290  fzto1st1  32292  smatrcl  32807  smatlem  32808  smattr  32810  smatbl  32811  smatbr  32812  1smat1  32815  submateqlem1  32818  submateqlem2  32819  submateq  32820  madjusmdetlem2  32839  madjusmdetlem3  32840  madjusmdetlem4  32841  mdetlap  32843  esumsup  33118  esumgect  33119  carsggect  33348  carsgclctunlem2  33349  ballotlemsup  33534  fsum2dsub  33650  reprgt  33664  reprfi2  33666  reprfz1  33667  hashrepr  33668  breprexplema  33673  breprexplemc  33675  breprexp  33676  breprexpnat  33677  vtscl  33681  circlemeth  33683  hgt750lemd  33691  hgt750lemb  33699  hgt750leme  33701  lcmineqlem4  40945  lcmineqlem6  40947  lcmineqlem15  40956  lcmineqlem16  40957  lcmineqlem19  40960  lcmineqlem20  40961  lcmineqlem21  40962  lcmineqlem22  40963  sticksstones1  41010  sumcubes  41259  eldioph4b  41597  diophren  41599  caratheodorylem2  45291  hoidmvlelem2  45360