Theorem fz1ssnn 13689

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13687	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3912	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420  1c1 11201  ℕcn 12335  ...cfz 13639

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640

This theorem is used by:  fzssnn  13702  fzossnn  13846  isercoll  15835  prmreclem2  17095  prmreclem3  17096  vdwnnlem1  17173  prmodvdslcmf  17225  gsumval3  20121  1stcfb  23763  1stckgenlem  23872  ovoliunlem1  25823  ovoliun2  25827  ovolicc2lem4  25841  uniioovol  25900  uniioombllem4  25907  lgamgulm2  27363  lgamcvglem  27367  fsumvma2  27541  dchrmusum2  27821  dchrvmasum2lem  27823  mudivsum  27857  mulogsum  27859  mulog2sumlem2  27862  padct  33310  psgnfzto1stlem  33661  fzto1st1  33663  smatrcl  34428  smatlem  34429  smattr  34431  smatbl  34432  smatbr  34433  1smat1  34436  submateqlem1  34439  submateqlem2  34440  submateq  34441  madjusmdetlem2  34460  madjusmdetlem3  34461  madjusmdetlem4  34462  mdetlap  34464  esumsup  34721  esumgect  34722  carsggect  34950  carsgclctunlem2  34951  ballotlemsup  35137  fsum2dsub  35236  reprgt  35250  reprfi2  35252  reprfz1  35253  hashrepr  35254  breprexplema  35259  breprexplemc  35261  breprexp  35262  breprexpnat  35263  vtscl  35267  circlemeth  35269  hgt750lemd  35277  hgt750lemb  35285  hgt750leme  35287  lcmineqlem4  43083  lcmineqlem6  43085  lcmineqlem15  43094  lcmineqlem16  43095  lcmineqlem19  43098  lcmineqlem20  43099  lcmineqlem21  43100  lcmineqlem22  43101  sticksstones1  43197  fisdomnn  43296  sumcubes  43371  eldioph4b  43818  diophren  43820  caratheodorylem2  47537  hoidmvlelem2  47606