MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fz1ssnn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fz1ssnn 13473
Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
fz1ssnn (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elfznn 13471 . 2 (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
21ssriv 3949 1 (1...𝐴) ⊆ ℕ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wss 3911  (class class class)co 7358  1c1 11053  cn 12154  ...cfz 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426
This theorem is referenced by:  fzssnn  13486  fzossnn  13622  isercoll  15553  prmreclem2  16790  prmreclem3  16791  vdwnnlem1  16868  prmodvdslcmf  16920  gsumval3  19685  1stcfb  22799  1stckgenlem  22907  ovoliunlem1  24869  ovoliun2  24873  ovolicc2lem4  24887  uniioovol  24946  uniioombllem4  24953  lgamgulm2  26388  lgamcvglem  26392  fsumvma2  26565  dchrmusum2  26845  dchrvmasum2lem  26847  mudivsum  26881  mulogsum  26883  mulog2sumlem2  26886  padct  31639  psgnfzto1stlem  31952  fzto1st1  31954  smatrcl  32380  smatlem  32381  smattr  32383  smatbl  32384  smatbr  32385  1smat1  32388  submateqlem1  32391  submateqlem2  32392  submateq  32393  madjusmdetlem2  32412  madjusmdetlem3  32413  madjusmdetlem4  32414  mdetlap  32416  esumsup  32691  esumgect  32692  carsggect  32921  carsgclctunlem2  32922  ballotlemsup  33107  fsum2dsub  33223  reprgt  33237  reprfi2  33239  reprfz1  33240  hashrepr  33241  breprexplema  33246  breprexplemc  33248  breprexp  33249  breprexpnat  33250  vtscl  33254  circlemeth  33256  hgt750lemd  33264  hgt750lemb  33272  hgt750leme  33274  lcmineqlem4  40492  lcmineqlem6  40494  lcmineqlem15  40503  lcmineqlem16  40504  lcmineqlem19  40507  lcmineqlem20  40508  lcmineqlem21  40509  lcmineqlem22  40510  sticksstones1  40557  eldioph4b  41137  diophren  41139  caratheodorylem2  44775  hoidmvlelem2  44844
  Copyright terms: Public domain W3C validator