Theorem fz1ssnn 13504

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13502	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3921	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3885  (class class class)co 7360  1c1 11034  ℕcn 12169  ...cfz 13456

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457

This theorem is referenced by:  fzssnn  13517  fzossnn  13661  isercoll  15625  prmreclem2  16883  prmreclem3  16884  vdwnnlem1  16961  prmodvdslcmf  17013  gsumval3  19877  1stcfb  23432  1stckgenlem  23540  ovoliunlem1  25491  ovoliun2  25495  ovolicc2lem4  25509  uniioovol  25568  uniioombllem4  25575  lgamgulm2  27021  lgamcvglem  27025  fsumvma2  27199  dchrmusum2  27479  dchrvmasum2lem  27481  mudivsum  27515  mulogsum  27517  mulog2sumlem2  27520  padct  32814  psgnfzto1stlem  33185  fzto1st1  33187  smatrcl  33992  smatlem  33993  smattr  33995  smatbl  33996  smatbr  33997  1smat1  34000  submateqlem1  34003  submateqlem2  34004  submateq  34005  madjusmdetlem2  34024  madjusmdetlem3  34025  madjusmdetlem4  34026  mdetlap  34028  esumsup  34285  esumgect  34286  carsggect  34514  carsgclctunlem2  34515  ballotlemsup  34701  fsum2dsub  34803  reprgt  34817  reprfi2  34819  reprfz1  34820  hashrepr  34821  breprexplema  34826  breprexplemc  34828  breprexp  34829  breprexpnat  34830  vtscl  34834  circlemeth  34836  hgt750lemd  34844  hgt750lemb  34852  hgt750leme  34854  lcmineqlem4  42532  lcmineqlem6  42534  lcmineqlem15  42543  lcmineqlem16  42544  lcmineqlem19  42547  lcmineqlem20  42548  lcmineqlem21  42549  lcmineqlem22  42550  sticksstones1  42646  fisdomnn  42743  sumcubes  42805  eldioph4b  43271  diophren  43273  caratheodorylem2  46984  hoidmvlelem2  47053