Theorem fz1ssnn 13529

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13527	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3986	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3948  (class class class)co 7406  1c1 11108  ℕcn 12209  ...cfz 13481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482

This theorem is referenced by:  fzssnn  13542  fzossnn  13678  isercoll  15611  prmreclem2  16847  prmreclem3  16848  vdwnnlem1  16925  prmodvdslcmf  16977  gsumval3  19770  1stcfb  22941  1stckgenlem  23049  ovoliunlem1  25011  ovoliun2  25015  ovolicc2lem4  25029  uniioovol  25088  uniioombllem4  25095  lgamgulm2  26530  lgamcvglem  26534  fsumvma2  26707  dchrmusum2  26987  dchrvmasum2lem  26989  mudivsum  27023  mulogsum  27025  mulog2sumlem2  27028  padct  31932  psgnfzto1stlem  32247  fzto1st1  32249  smatrcl  32765  smatlem  32766  smattr  32768  smatbl  32769  smatbr  32770  1smat1  32773  submateqlem1  32776  submateqlem2  32777  submateq  32778  madjusmdetlem2  32797  madjusmdetlem3  32798  madjusmdetlem4  32799  mdetlap  32801  esumsup  33076  esumgect  33077  carsggect  33306  carsgclctunlem2  33307  ballotlemsup  33492  fsum2dsub  33608  reprgt  33622  reprfi2  33624  reprfz1  33625  hashrepr  33626  breprexplema  33631  breprexplemc  33633  breprexp  33634  breprexpnat  33635  vtscl  33639  circlemeth  33641  hgt750lemd  33649  hgt750lemb  33657  hgt750leme  33659  lcmineqlem4  40886  lcmineqlem6  40888  lcmineqlem15  40897  lcmineqlem16  40898  lcmineqlem19  40901  lcmineqlem20  40902  lcmineqlem21  40903  lcmineqlem22  40904  sticksstones1  40951  sumcubes  41207  eldioph4b  41535  diophren  41537  caratheodorylem2  45230  hoidmvlelem2  45299