Theorem fz1ssnn 13592

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13590	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3999	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3963  (class class class)co 7431  1c1 11154  ℕcn 12264  ...cfz 13544

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545

This theorem is referenced by:  fzssnn  13605  fzossnn  13748  isercoll  15701  prmreclem2  16951  prmreclem3  16952  vdwnnlem1  17029  prmodvdslcmf  17081  gsumval3  19940  1stcfb  23469  1stckgenlem  23577  ovoliunlem1  25551  ovoliun2  25555  ovolicc2lem4  25569  uniioovol  25628  uniioombllem4  25635  lgamgulm2  27094  lgamcvglem  27098  fsumvma2  27273  dchrmusum2  27553  dchrvmasum2lem  27555  mudivsum  27589  mulogsum  27591  mulog2sumlem2  27594  padct  32737  psgnfzto1stlem  33103  fzto1st1  33105  smatrcl  33757  smatlem  33758  smattr  33760  smatbl  33761  smatbr  33762  1smat1  33765  submateqlem1  33768  submateqlem2  33769  submateq  33770  madjusmdetlem2  33789  madjusmdetlem3  33790  madjusmdetlem4  33791  mdetlap  33793  esumsup  34070  esumgect  34071  carsggect  34300  carsgclctunlem2  34301  ballotlemsup  34486  fsum2dsub  34601  reprgt  34615  reprfi2  34617  reprfz1  34618  hashrepr  34619  breprexplema  34624  breprexplemc  34626  breprexp  34627  breprexpnat  34628  vtscl  34632  circlemeth  34634  hgt750lemd  34642  hgt750lemb  34650  hgt750leme  34652  lcmineqlem4  42014  lcmineqlem6  42016  lcmineqlem15  42025  lcmineqlem16  42026  lcmineqlem19  42029  lcmineqlem20  42030  lcmineqlem21  42031  lcmineqlem22  42032  sticksstones1  42128  fisdomnn  42264  sumcubes  42326  eldioph4b  42799  diophren  42801  caratheodorylem2  46483  hoidmvlelem2  46552