Theorem fz1ssnn 13523

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13521	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3953	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3917  (class class class)co 7390  1c1 11076  ℕcn 12193  ...cfz 13475

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476

This theorem is referenced by:  fzssnn  13536  fzossnn  13679  isercoll  15641  prmreclem2  16895  prmreclem3  16896  vdwnnlem1  16973  prmodvdslcmf  17025  gsumval3  19844  1stcfb  23339  1stckgenlem  23447  ovoliunlem1  25410  ovoliun2  25414  ovolicc2lem4  25428  uniioovol  25487  uniioombllem4  25494  lgamgulm2  26953  lgamcvglem  26957  fsumvma2  27132  dchrmusum2  27412  dchrvmasum2lem  27414  mudivsum  27448  mulogsum  27450  mulog2sumlem2  27453  padct  32650  psgnfzto1stlem  33064  fzto1st1  33066  smatrcl  33793  smatlem  33794  smattr  33796  smatbl  33797  smatbr  33798  1smat1  33801  submateqlem1  33804  submateqlem2  33805  submateq  33806  madjusmdetlem2  33825  madjusmdetlem3  33826  madjusmdetlem4  33827  mdetlap  33829  esumsup  34086  esumgect  34087  carsggect  34316  carsgclctunlem2  34317  ballotlemsup  34503  fsum2dsub  34605  reprgt  34619  reprfi2  34621  reprfz1  34622  hashrepr  34623  breprexplema  34628  breprexplemc  34630  breprexp  34631  breprexpnat  34632  vtscl  34636  circlemeth  34638  hgt750lemd  34646  hgt750lemb  34654  hgt750leme  34656  lcmineqlem4  42027  lcmineqlem6  42029  lcmineqlem15  42038  lcmineqlem16  42039  lcmineqlem19  42042  lcmineqlem20  42043  lcmineqlem21  42044  lcmineqlem22  42045  sticksstones1  42141  fisdomnn  42239  sumcubes  42308  eldioph4b  42806  diophren  42808  caratheodorylem2  46532  hoidmvlelem2  46601