Theorem fz1ssnn 13494

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13492	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3947	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3911  (class class class)co 7369  1c1 11047  ℕcn 12164  ...cfz 13446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11102  ax-resscn 11103  ax-1cn 11104  ax-icn 11105  ax-addcl 11106  ax-addrcl 11107  ax-mulcl 11108  ax-mulrcl 11109  ax-mulcom 11110  ax-addass 11111  ax-mulass 11112  ax-distr 11113  ax-i2m1 11114  ax-1ne0 11115  ax-1rid 11116  ax-rnegex 11117  ax-rrecex 11118  ax-cnre 11119  ax-pre-lttri 11120  ax-pre-lttrn 11121  ax-pre-ltadd 11122  ax-pre-mulgt0 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11385  df-neg 11386  df-nn 12165  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13447

This theorem is referenced by:  fzssnn  13507  fzossnn  13650  isercoll  15611  prmreclem2  16865  prmreclem3  16866  vdwnnlem1  16943  prmodvdslcmf  16995  gsumval3  19822  1stcfb  23366  1stckgenlem  23474  ovoliunlem1  25437  ovoliun2  25441  ovolicc2lem4  25455  uniioovol  25514  uniioombllem4  25521  lgamgulm2  26980  lgamcvglem  26984  fsumvma2  27159  dchrmusum2  27439  dchrvmasum2lem  27441  mudivsum  27475  mulogsum  27477  mulog2sumlem2  27480  padct  32694  psgnfzto1stlem  33073  fzto1st1  33075  smatrcl  33780  smatlem  33781  smattr  33783  smatbl  33784  smatbr  33785  1smat1  33788  submateqlem1  33791  submateqlem2  33792  submateq  33793  madjusmdetlem2  33812  madjusmdetlem3  33813  madjusmdetlem4  33814  mdetlap  33816  esumsup  34073  esumgect  34074  carsggect  34303  carsgclctunlem2  34304  ballotlemsup  34490  fsum2dsub  34592  reprgt  34606  reprfi2  34608  reprfz1  34609  hashrepr  34610  breprexplema  34615  breprexplemc  34617  breprexp  34618  breprexpnat  34619  vtscl  34623  circlemeth  34625  hgt750lemd  34633  hgt750lemb  34641  hgt750leme  34643  lcmineqlem4  42014  lcmineqlem6  42016  lcmineqlem15  42025  lcmineqlem16  42026  lcmineqlem19  42029  lcmineqlem20  42030  lcmineqlem21  42031  lcmineqlem22  42032  sticksstones1  42128  fisdomnn  42226  sumcubes  42295  eldioph4b  42793  diophren  42795  caratheodorylem2  46519  hoidmvlelem2  46588