Theorem fz1ssnn 13485

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13483	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3939	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3903  (class class class)co 7370  1c1 11041  ℕcn 12159  ...cfz 13437

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438

This theorem is referenced by:  fzssnn  13498  fzossnn  13641  isercoll  15605  prmreclem2  16859  prmreclem3  16860  vdwnnlem1  16937  prmodvdslcmf  16989  gsumval3  19853  1stcfb  23406  1stckgenlem  23514  ovoliunlem1  25476  ovoliun2  25480  ovolicc2lem4  25494  uniioovol  25553  uniioombllem4  25560  lgamgulm2  27019  lgamcvglem  27023  fsumvma2  27198  dchrmusum2  27478  dchrvmasum2lem  27480  mudivsum  27514  mulogsum  27516  mulog2sumlem2  27519  padct  32814  psgnfzto1stlem  33200  fzto1st1  33202  smatrcl  33980  smatlem  33981  smattr  33983  smatbl  33984  smatbr  33985  1smat1  33988  submateqlem1  33991  submateqlem2  33992  submateq  33993  madjusmdetlem2  34012  madjusmdetlem3  34013  madjusmdetlem4  34014  mdetlap  34016  esumsup  34273  esumgect  34274  carsggect  34502  carsgclctunlem2  34503  ballotlemsup  34689  fsum2dsub  34791  reprgt  34805  reprfi2  34807  reprfz1  34808  hashrepr  34809  breprexplema  34814  breprexplemc  34816  breprexp  34817  breprexpnat  34818  vtscl  34822  circlemeth  34824  hgt750lemd  34832  hgt750lemb  34840  hgt750leme  34842  lcmineqlem4  42431  lcmineqlem6  42433  lcmineqlem15  42442  lcmineqlem16  42443  lcmineqlem19  42446  lcmineqlem20  42447  lcmineqlem21  42448  lcmineqlem22  42449  sticksstones1  42545  fisdomnn  42643  sumcubes  42712  eldioph4b  43197  diophren  43199  caratheodorylem2  46914  hoidmvlelem2  46983