Theorem fz1ssnn 13509

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13507	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3925	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3889  (class class class)co 7367  1c1 11039  ℕcn 12174  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-z 12525  df-uz 12789  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  fzssnn  13522  fzossnn  13666  isercoll  15630  prmreclem2  16888  prmreclem3  16889  vdwnnlem1  16966  prmodvdslcmf  17018  gsumval3  19882  1stcfb  23410  1stckgenlem  23518  ovoliunlem1  25469  ovoliun2  25473  ovolicc2lem4  25487  uniioovol  25546  uniioombllem4  25553  lgamgulm2  26999  lgamcvglem  27003  fsumvma2  27177  dchrmusum2  27457  dchrvmasum2lem  27459  mudivsum  27493  mulogsum  27495  mulog2sumlem2  27498  padct  32791  psgnfzto1stlem  33161  fzto1st1  33163  smatrcl  33940  smatlem  33941  smattr  33943  smatbl  33944  smatbr  33945  1smat1  33948  submateqlem1  33951  submateqlem2  33952  submateq  33953  madjusmdetlem2  33972  madjusmdetlem3  33973  madjusmdetlem4  33974  mdetlap  33976  esumsup  34233  esumgect  34234  carsggect  34462  carsgclctunlem2  34463  ballotlemsup  34649  fsum2dsub  34751  reprgt  34765  reprfi2  34767  reprfz1  34768  hashrepr  34769  breprexplema  34774  breprexplemc  34776  breprexp  34777  breprexpnat  34778  vtscl  34782  circlemeth  34784  hgt750lemd  34792  hgt750lemb  34800  hgt750leme  34802  lcmineqlem4  42471  lcmineqlem6  42473  lcmineqlem15  42482  lcmineqlem16  42483  lcmineqlem19  42486  lcmineqlem20  42487  lcmineqlem21  42488  lcmineqlem22  42489  sticksstones1  42585  fisdomnn  42683  sumcubes  42745  eldioph4b  43239  diophren  43241  caratheodorylem2  46955  hoidmvlelem2  47024