Theorem fz1ssnn 13216

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13214	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3921	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3883  (class class class)co 7255  1c1 10803  ℕcn 11903  ...cfz 13168

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169

This theorem is referenced by:  fzssnn  13229  fzossnn  13364  isercoll  15307  prmreclem2  16546  prmreclem3  16547  vdwnnlem1  16624  prmodvdslcmf  16676  gsumval3  19423  1stcfb  22504  1stckgenlem  22612  ovoliunlem1  24571  ovoliun2  24575  ovolicc2lem4  24589  uniioovol  24648  uniioombllem4  24655  lgamgulm2  26090  lgamcvglem  26094  fsumvma2  26267  dchrmusum2  26547  dchrvmasum2lem  26549  mudivsum  26583  mulogsum  26585  mulog2sumlem2  26588  padct  30956  psgnfzto1stlem  31269  fzto1st1  31271  smatrcl  31648  smatlem  31649  smattr  31651  smatbl  31652  smatbr  31653  1smat1  31656  submateqlem1  31659  submateqlem2  31660  submateq  31661  madjusmdetlem2  31680  madjusmdetlem3  31681  madjusmdetlem4  31682  mdetlap  31684  esumsup  31957  esumgect  31958  carsggect  32185  carsgclctunlem2  32186  ballotlemsup  32371  fsum2dsub  32487  reprgt  32501  reprfi2  32503  reprfz1  32504  hashrepr  32505  breprexplema  32510  breprexplemc  32512  breprexp  32513  breprexpnat  32514  vtscl  32518  circlemeth  32520  hgt750lemd  32528  hgt750lemb  32536  hgt750leme  32538  lcmineqlem4  39968  lcmineqlem6  39970  lcmineqlem15  39979  lcmineqlem16  39980  lcmineqlem19  39983  lcmineqlem20  39984  lcmineqlem21  39985  lcmineqlem22  39986  sticksstones1  40030  eldioph4b  40549  diophren  40551  caratheodorylem2  43955  hoidmvlelem2  44024