Theorem fz1ssnn 13615

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13613	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 4012	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3976  (class class class)co 7448  1c1 11185  ℕcn 12293  ...cfz 13567

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568

This theorem is referenced by:  fzssnn  13628  fzossnn  13765  isercoll  15716  prmreclem2  16964  prmreclem3  16965  vdwnnlem1  17042  prmodvdslcmf  17094  gsumval3  19949  1stcfb  23474  1stckgenlem  23582  ovoliunlem1  25556  ovoliun2  25560  ovolicc2lem4  25574  uniioovol  25633  uniioombllem4  25640  lgamgulm2  27097  lgamcvglem  27101  fsumvma2  27276  dchrmusum2  27556  dchrvmasum2lem  27558  mudivsum  27592  mulogsum  27594  mulog2sumlem2  27597  padct  32733  psgnfzto1stlem  33093  fzto1st1  33095  smatrcl  33742  smatlem  33743  smattr  33745  smatbl  33746  smatbr  33747  1smat1  33750  submateqlem1  33753  submateqlem2  33754  submateq  33755  madjusmdetlem2  33774  madjusmdetlem3  33775  madjusmdetlem4  33776  mdetlap  33778  esumsup  34053  esumgect  34054  carsggect  34283  carsgclctunlem2  34284  ballotlemsup  34469  fsum2dsub  34584  reprgt  34598  reprfi2  34600  reprfz1  34601  hashrepr  34602  breprexplema  34607  breprexplemc  34609  breprexp  34610  breprexpnat  34611  vtscl  34615  circlemeth  34617  hgt750lemd  34625  hgt750lemb  34633  hgt750leme  34635  lcmineqlem4  41989  lcmineqlem6  41991  lcmineqlem15  42000  lcmineqlem16  42001  lcmineqlem19  42004  lcmineqlem20  42005  lcmineqlem21  42006  lcmineqlem22  42007  sticksstones1  42103  fisdomnn  42239  sumcubes  42301  eldioph4b  42767  diophren  42769  caratheodorylem2  46448  hoidmvlelem2  46517