Theorem fz1ssnn 13612

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13610	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3938	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7416  1c1 11128  ℕcn 12260  ...cfz 13563

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-er 8699  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564

This theorem is used by:  fzssnn  13625  fzossnn  13769  isercoll  15757  prmreclem2  17013  prmreclem3  17014  vdwnnlem1  17091  prmodvdslcmf  17143  gsumval3  20035  1stcfb  23671  1stckgenlem  23780  ovoliunlem1  25731  ovoliun2  25735  ovolicc2lem4  25749  uniioovol  25808  uniioombllem4  25815  lgamgulm2  27270  lgamcvglem  27274  fsumvma2  27448  dchrmusum2  27728  dchrvmasum2lem  27730  mudivsum  27764  mulogsum  27766  mulog2sumlem2  27769  padct  33176  psgnfzto1stlem  33527  fzto1st1  33529  smatrcl  34293  smatlem  34294  smattr  34296  smatbl  34297  smatbr  34298  1smat1  34301  submateqlem1  34304  submateqlem2  34305  submateq  34306  madjusmdetlem2  34325  madjusmdetlem3  34326  madjusmdetlem4  34327  mdetlap  34329  esumsup  34586  esumgect  34587  carsggect  34816  carsgclctunlem2  34817  ballotlemsup  35003  fsum2dsub  35102  reprgt  35116  reprfi2  35118  reprfz1  35119  hashrepr  35120  breprexplema  35125  breprexplemc  35127  breprexp  35128  breprexpnat  35129  vtscl  35133  circlemeth  35135  hgt750lemd  35143  hgt750lemb  35151  hgt750leme  35153  lcmineqlem4  42885  lcmineqlem6  42887  lcmineqlem15  42896  lcmineqlem16  42897  lcmineqlem19  42900  lcmineqlem20  42901  lcmineqlem21  42902  lcmineqlem22  42903  sticksstones1  42999  fisdomnn  43098  sumcubes  43175  eldioph4b  43639  diophren  43641  caratheodorylem2  47342  hoidmvlelem2  47411