Theorem fz1ssnn 13713

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13711	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3917	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3900  (class class class)co 7440  1c1 11225  ℕcn 12359  ...cfz 13663

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-z 12718  df-uz 12990  df-fz 13664

This theorem is used by:  fzssnn  13726  fzossnn  13870  isercoll  15861  prmreclem2  17121  prmreclem3  17122  vdwnnlem1  17199  prmodvdslcmf  17251  gsumval3  20148  1stcfb  23790  1stckgenlem  23899  ovoliunlem1  25850  ovoliun2  25854  ovolicc2lem4  25868  uniioovol  25927  uniioombllem4  25934  lgamgulm2  27390  lgamcvglem  27394  fsumvma2  27568  dchrmusum2  27848  dchrvmasum2lem  27850  mudivsum  27884  mulogsum  27886  mulog2sumlem2  27889  padct  33378  psgnfzto1stlem  33728  fzto1st1  33730  smatrcl  34495  smatlem  34496  smattr  34498  smatbl  34499  smatbr  34500  1smat1  34503  submateqlem1  34506  submateqlem2  34507  submateq  34508  madjusmdetlem2  34527  madjusmdetlem3  34528  madjusmdetlem4  34529  mdetlap  34531  esumsup  34788  esumgect  34789  carsggect  35017  carsgclctunlem2  35018  ballotlemsup  35204  fsum2dsub  35303  reprgt  35317  reprfi2  35319  reprfz1  35320  hashrepr  35321  breprexplema  35326  breprexplemc  35328  breprexp  35329  breprexpnat  35330  vtscl  35334  circlemeth  35336  hgt750lemd  35344  hgt750lemb  35352  hgt750leme  35354  lcmineqlem4  43273  lcmineqlem6  43275  lcmineqlem15  43284  lcmineqlem16  43285  lcmineqlem19  43288  lcmineqlem20  43289  lcmineqlem21  43290  lcmineqlem22  43291  sticksstones1  43387  fisdomnn  43486  sumcubes  43561  eldioph4b  44009  diophren  44011  caratheodorylem2  47740  hoidmvlelem2  47809