Theorem fz1ssnn 13475

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13473	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3938	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3902  (class class class)co 7360  1c1 11031  ℕcn 12149  ...cfz 13427

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428

This theorem is referenced by:  fzssnn  13488  fzossnn  13631  isercoll  15595  prmreclem2  16849  prmreclem3  16850  vdwnnlem1  16927  prmodvdslcmf  16979  gsumval3  19840  1stcfb  23393  1stckgenlem  23501  ovoliunlem1  25463  ovoliun2  25467  ovolicc2lem4  25481  uniioovol  25540  uniioombllem4  25547  lgamgulm2  27006  lgamcvglem  27010  fsumvma2  27185  dchrmusum2  27465  dchrvmasum2lem  27467  mudivsum  27501  mulogsum  27503  mulog2sumlem2  27506  padct  32799  psgnfzto1stlem  33184  fzto1st1  33186  smatrcl  33955  smatlem  33956  smattr  33958  smatbl  33959  smatbr  33960  1smat1  33963  submateqlem1  33966  submateqlem2  33967  submateq  33968  madjusmdetlem2  33987  madjusmdetlem3  33988  madjusmdetlem4  33989  mdetlap  33991  esumsup  34248  esumgect  34249  carsggect  34477  carsgclctunlem2  34478  ballotlemsup  34664  fsum2dsub  34766  reprgt  34780  reprfi2  34782  reprfz1  34783  hashrepr  34784  breprexplema  34789  breprexplemc  34791  breprexp  34792  breprexpnat  34793  vtscl  34797  circlemeth  34799  hgt750lemd  34807  hgt750lemb  34815  hgt750leme  34817  lcmineqlem4  42354  lcmineqlem6  42356  lcmineqlem15  42365  lcmineqlem16  42366  lcmineqlem19  42369  lcmineqlem20  42370  lcmineqlem21  42371  lcmineqlem22  42372  sticksstones1  42468  fisdomnn  42566  sumcubes  42635  eldioph4b  43120  diophren  43122  caratheodorylem2  46838  hoidmvlelem2  46907