Theorem fz1ssnn 13455

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13453	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3933	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3897  (class class class)co 7346  1c1 11007  ℕcn 12125  ...cfz 13407

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408

This theorem is referenced by:  fzssnn  13468  fzossnn  13611  isercoll  15575  prmreclem2  16829  prmreclem3  16830  vdwnnlem1  16907  prmodvdslcmf  16959  gsumval3  19819  1stcfb  23360  1stckgenlem  23468  ovoliunlem1  25430  ovoliun2  25434  ovolicc2lem4  25448  uniioovol  25507  uniioombllem4  25514  lgamgulm2  26973  lgamcvglem  26977  fsumvma2  27152  dchrmusum2  27432  dchrvmasum2lem  27434  mudivsum  27468  mulogsum  27470  mulog2sumlem2  27473  padct  32701  psgnfzto1stlem  33069  fzto1st1  33071  smatrcl  33809  smatlem  33810  smattr  33812  smatbl  33813  smatbr  33814  1smat1  33817  submateqlem1  33820  submateqlem2  33821  submateq  33822  madjusmdetlem2  33841  madjusmdetlem3  33842  madjusmdetlem4  33843  mdetlap  33845  esumsup  34102  esumgect  34103  carsggect  34331  carsgclctunlem2  34332  ballotlemsup  34518  fsum2dsub  34620  reprgt  34634  reprfi2  34636  reprfz1  34637  hashrepr  34638  breprexplema  34643  breprexplemc  34645  breprexp  34646  breprexpnat  34647  vtscl  34651  circlemeth  34653  hgt750lemd  34661  hgt750lemb  34669  hgt750leme  34671  lcmineqlem4  42124  lcmineqlem6  42126  lcmineqlem15  42135  lcmineqlem16  42136  lcmineqlem19  42139  lcmineqlem20  42140  lcmineqlem21  42141  lcmineqlem22  42142  sticksstones1  42238  fisdomnn  42336  sumcubes  42405  eldioph4b  42903  diophren  42905  caratheodorylem2  46624  hoidmvlelem2  46693