Theorem fz1ssnn 12987

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 12985	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3896	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Syntax hints:   ⊆ wss 3858  (class class class)co 7150  1c1 10576  ℕcn 11674  ...cfz 12939

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-nn 11675  df-z 12021  df-uz 12283  df-fz 12940

This theorem is referenced by:  fzssnn  13000  fzossnn  13135  isercoll  15072  prmreclem2  16308  prmreclem3  16309  vdwnnlem1  16386  prmodvdslcmf  16438  gsumval3  19095  1stcfb  22145  1stckgenlem  22253  ovoliunlem1  24202  ovoliun2  24206  ovolicc2lem4  24220  uniioovol  24279  uniioombllem4  24286  lgamgulm2  25720  lgamcvglem  25724  fsumvma2  25897  dchrmusum2  26177  dchrvmasum2lem  26179  mudivsum  26213  mulogsum  26215  mulog2sumlem2  26218  padct  30578  psgnfzto1stlem  30893  fzto1st1  30895  smatrcl  31267  smatlem  31268  smattr  31270  smatbl  31271  smatbr  31272  1smat1  31275  submateqlem1  31278  submateqlem2  31279  submateq  31280  madjusmdetlem2  31299  madjusmdetlem3  31300  madjusmdetlem4  31301  mdetlap  31303  esumsup  31576  esumgect  31577  carsggect  31804  carsgclctunlem2  31805  ballotlemsup  31990  fsum2dsub  32106  reprgt  32120  reprfi2  32122  reprfz1  32123  hashrepr  32124  breprexplema  32129  breprexplemc  32131  breprexp  32132  breprexpnat  32133  vtscl  32137  circlemeth  32139  hgt750lemd  32147  hgt750lemb  32155  hgt750leme  32157  lcmineqlem4  39599  lcmineqlem6  39601  lcmineqlem15  39610  lcmineqlem16  39611  lcmineqlem19  39614  lcmineqlem20  39615  lcmineqlem21  39616  lcmineqlem22  39617  eldioph4b  40125  diophren  40127  caratheodorylem2  43532  hoidmvlelem2  43601