Theorem fz1ssnn 13657

Description: A finite set of positive integers is a set of positive integers. (Contributed by Stefan O'Rear, 16-Oct-2014.)

Assertion

Ref	Expression
fz1ssnn	⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

Proof of Theorem fz1ssnn

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfznn 13655	. 2 ⊢ (𝑎 ∈ (1...𝐴) → 𝑎 ∈ ℕ)
2	1	ssriv 3934	1 ⊢ (1...𝐴) ⊆ ℕ

This proof depends on syntax axioms:   ⊆ wss 3898  (class class class)co 7408  1c1 11172  ℕcn 12304  ...cfz 13608

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11227  ax-resscn 11228  ax-1cn 11229  ax-icn 11230  ax-addcl 11231  ax-addrcl 11232  ax-mulcl 11233  ax-mulrcl 11234  ax-mulcom 11235  ax-addass 11236  ax-mulass 11237  ax-distr 11238  ax-i2m1 11239  ax-1ne0 11240  ax-1rid 11241  ax-rnegex 11242  ax-rrecex 11243  ax-cnre 11244  ax-pre-lttri 11245  ax-pre-lttrn 11246  ax-pre-ltadd 11247  ax-pre-mulgt0 11248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11316  df-mnf 11317  df-xr 11318  df-ltxr 11319  df-le 11320  df-sub 11514  df-neg 11515  df-nn 12305  df-z 12663  df-uz 12935  df-fz 13609

This theorem is used by:  fzssnn  13670  fzossnn  13814  isercoll  15802  prmreclem2  17056  prmreclem3  17057  vdwnnlem1  17134  prmodvdslcmf  17186  gsumval3  20082  1stcfb  23724  1stckgenlem  23833  ovoliunlem1  25784  ovoliun2  25788  ovolicc2lem4  25802  uniioovol  25861  uniioombllem4  25868  lgamgulm2  27326  lgamcvglem  27330  fsumvma2  27504  dchrmusum2  27784  dchrvmasum2lem  27786  mudivsum  27820  mulogsum  27822  mulog2sumlem2  27825  padct  33243  psgnfzto1stlem  33594  fzto1st1  33596  smatrcl  34361  smatlem  34362  smattr  34364  smatbl  34365  smatbr  34366  1smat1  34369  submateqlem1  34372  submateqlem2  34373  submateq  34374  madjusmdetlem2  34393  madjusmdetlem3  34394  madjusmdetlem4  34395  mdetlap  34397  esumsup  34654  esumgect  34655  carsggect  34884  carsgclctunlem2  34885  ballotlemsup  35071  fsum2dsub  35170  reprgt  35184  reprfi2  35186  reprfz1  35187  hashrepr  35188  breprexplema  35193  breprexplemc  35195  breprexp  35196  breprexpnat  35197  vtscl  35201  circlemeth  35203  hgt750lemd  35211  hgt750lemb  35219  hgt750leme  35221  lcmineqlem4  43002  lcmineqlem6  43004  lcmineqlem15  43013  lcmineqlem16  43014  lcmineqlem19  43017  lcmineqlem20  43018  lcmineqlem21  43019  lcmineqlem22  43020  sticksstones1  43116  fisdomnn  43215  sumcubes  43292  eldioph4b  43756  diophren  43758  caratheodorylem2  47459  hoidmvlelem2  47528