Theorem uzm1 12999

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12970	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 ∈ ℤ))
3		eluzelz 12975	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12739	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6	5	a1d 26	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
7		df-ne 2956	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑁 = 𝑀)
8		eluzle 12978	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	1	zred 12803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12976	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	ltlend 11455	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
12	11	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
13	8, 12	mpand 708	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
14	7, 13	biimtrrid 246	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
15		zltlem1 12749	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
16	1, 3, 15	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
17	14, 16	sylibd 242	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
18	2, 6, 17	3jcad 1147	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
19		eluz2 12971	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
20	18, 19	imbitrrdi 255	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	orrd 877	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1c1 11201   < clt 11343   ≤ cle 11344   − cmin 11541  ℤcz 12693  ℤ_≥cuz 12965

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966

This theorem is used by:  uzp1  13002  fzm1  13741  hashfzo  14574  iserex  15824  ntrivcvg  16066  ntrivcvgtail  16069  mulgfval  19279