MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzm1 12896
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12863 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
21a1d 25 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 ∈ ℤ))
3 eluzelz 12868 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 peano2zm 12641 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
65a1d 25 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
7 df-ne 2937 . . . . . 6 (𝑁𝑀 ↔ ¬ 𝑁 = 𝑀)
8 eluzle 12871 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
91zred 12702 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelre 12869 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
119, 10ltlend 11395 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1211biimprd 247 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
138, 12mpand 693 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
147, 13biimtrrid 242 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
15 zltlem1 12651 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
161, 3, 15syl2anc 582 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
1714, 16sylibd 238 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
182, 6, 173jcad 1126 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
19 eluz2 12864 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
2018, 19imbitrrdi 251 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2120orrd 861 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2936   class class class wbr 5150  cfv 6551  (class class class)co 7424  1c1 11145   < clt 11284  cle 11285  cmin 11480  cz 12594  cuz 12858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-n0 12509  df-z 12595  df-uz 12859
This theorem is referenced by:  uzp1  12899  fzm1  13619  hashfzo  14426  iserex  15641  ntrivcvg  15881  ntrivcvgtail  15884  mulgfval  19030
  Copyright terms: Public domain W3C validator