MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  uzm1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem uzm1 12859
Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Assertion
Ref Expression
uzm1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))

Proof of Theorem uzm1
StepHypRef Expression
1 eluzel2 12826 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
21a1d 25 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 ∈ ℤ))
3 eluzelz 12831 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4 peano2zm 12604 . . . . . 6 (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
53, 4syl 17 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
65a1d 25 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
7 df-ne 2933 . . . . . 6 (𝑁𝑀 ↔ ¬ 𝑁 = 𝑀)
8 eluzle 12834 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀𝑁)
91zred 12665 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10 eluzelre 12832 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
119, 10ltlend 11358 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀𝑁𝑁𝑀)))
1211biimprd 247 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → ((𝑀𝑁𝑁𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
138, 12mpand 692 . . . . . 6 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁𝑀𝑀 < 𝑁))
147, 13biimtrrid 242 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 < 𝑁))
15 zltlem1 12614 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
161, 3, 15syl2anc 583 . . . . 5 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑀 < 𝑁𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
1714, 16sylibd 238 . . . 4 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
182, 6, 173jcad 1126 . . 3 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
19 eluz2 12827 . . 3 ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
2018, 19imbitrrdi 251 . 2 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
2120orrd 860 1 (𝑁 ∈ (ℤ𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ𝑀)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  wo 844  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2932   class class class wbr 5139  cfv 6534  (class class class)co 7402  1c1 11108   < clt 11247  cle 11248  cmin 11443  cz 12557  cuz 12821
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822
This theorem is referenced by:  uzp1  12862  fzm1  13582  hashfzo  14390  iserex  15605  ntrivcvg  15845  ntrivcvgtail  15848  mulgfval  18993
  Copyright terms: Public domain W3C validator