Theorem uzm1 12856

Description: Choices for an element of an upper interval of integers. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Assertion

Ref	Expression
uzm1	⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Proof of Theorem uzm1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eluzel2 12823	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℤ)
2	1	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 ∈ ℤ))
3		eluzelz 12828	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℤ)
4		peano2zm 12601	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
5	3, 4	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 − 1) ∈ ℤ)
6	5	a1d 25	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ ℤ))
7		df-ne 2941	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ≠ 𝑀 ↔ ¬ 𝑁 = 𝑀)
8		eluzle 12831	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ≤ 𝑁)
9	1	zred 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑀 ∈ ℝ)
10		eluzelre 12829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → 𝑁 ∈ ℝ)
11	9, 10	ltlend 11355	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ (𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀)))
12	11	biimprd 247	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → ((𝑀 ≤ 𝑁 ∧ 𝑁 ≠ 𝑀) → 𝑀 < 𝑁))
13	8, 12	mpand 693	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 ≠ 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
14	7, 13	biimtrrid 242	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 < 𝑁))
15		zltlem1 12611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
16	1, 3, 15	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑀 < 𝑁 ↔ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
17	14, 16	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
18	2, 6, 17	3jcad 1129	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1))))
19		eluz2 12824	. . 3 ⊢ ((𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝑁 − 1) ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≤ (𝑁 − 1)))
20	18, 19	syl6ibr 251	. 2 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (¬ 𝑁 = 𝑀 → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))
21	20	orrd 861	1 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘𝑀) → (𝑁 = 𝑀 ∨ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘𝑀)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5147  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  1c1 11107   < clt 11244   ≤ cle 11245   − cmin 11440  ℤcz 12554  ℤ_≥cuz 12818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819

This theorem is referenced by:  uzp1  12859  fzm1  13577  hashfzo  14385  iserex  15599  ntrivcvg  15839  ntrivcvgtail  15842  mulgfval  18946