Theorem clwwnrepclwwn 28708

Description: If the initial vertex of a closed walk occurs another time in the walk, the walk starts with a closed walk. Notice that 3 ≤ 𝑁 is required, because for 𝑁 = 2, (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑤 prefix 0) = ∅, but ∅ (and anything else) is not a representation of an empty closed walk as word, see clwwlkn0 28392. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnrepclwwn	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnrepclwwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 12631	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2		eluzelz 12592	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		2eluzge1 12634	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		subeluzsub 12615	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
5	2, 3, 4	sylancl 586	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
6	1, 5	jca 512	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
7	6	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
8		clwwlknwwlksn 28402	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
9	8	3ad2ant2 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
10		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
11		clwwlkinwwlk 28404	. 2 ⊢ ((((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  0cc0 10871  1c1 10872   − cmin 11205  ℕcn 11973  2c2 12028  3c3 12029  ℤcz 12319  ℤ_≥cuz 12582   prefix cpfx 14383   WWalksN cwwlksn 28191   ClWWalksN cclwwlkn 28388

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-oadd 8301  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-n0 12234  df-xnn0 12306  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-lsw 14266  df-substr 14354  df-pfx 14384  df-wwlks 28195  df-wwlksn 28196  df-clwwlk 28346  df-clwwlkn 28389

This theorem is referenced by:  clwwnonrepclwwnon  28709  extwwlkfab  28716