Theorem clwwnrepclwwn 29861

Description: If the initial vertex of a closed walk occurs another time in the walk, the walk starts with a closed walk. Notice that 3 ≤ 𝑁 is required, because for 𝑁 = 2, (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑤 prefix 0) = ∅, but ∅ (and anything else) is not a representation of an empty closed walk as word, see clwwlkn0 29545. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnrepclwwn	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnrepclwwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 12880	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2		eluzelz 12837	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		2eluzge1 12883	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		subeluzsub 12864	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
5	2, 3, 4	sylancl 585	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
6	1, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
7	6	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
8		clwwlknwwlksn 29555	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
9	8	3ad2ant2 1133	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
10		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
11		clwwlkinwwlk 29557	. 2 ⊢ ((((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1370	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  1c1 11114   − cmin 11449  ℕcn 12217  2c2 12272  3c3 12273  ℤcz 12563  ℤ_≥cuz 12827   prefix cpfx 14625   WWalksN cwwlksn 29344   ClWWalksN cclwwlkn 29541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-oadd 8473  df-er 8706  df-map 8825  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-card 9937  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-n0 12478  df-xnn0 12550  df-z 12564  df-uz 12828  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-hash 14296  df-word 14470  df-lsw 14518  df-substr 14596  df-pfx 14626  df-wwlks 29348  df-wwlksn 29349  df-clwwlk 29499  df-clwwlkn 29542

This theorem is referenced by:  clwwnonrepclwwnon  29862  extwwlkfab  29869