Theorem clwwnrepclwwn 30423

Description: If the initial vertex of a closed walk occurs another time in the walk, the walk starts with a closed walk. Notice that 3 ≤ 𝑁 is required, because for 𝑁 = 2, (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑤 prefix 0) = ∅, but ∅ (and anything else) is not a representation of an empty closed walk as word, see clwwlkn0 30107. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnrepclwwn	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnrepclwwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 12811	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2		eluzelz 12765	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		2eluzge1 12799	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		subeluzsub 12788	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
5	2, 3, 4	sylancl 587	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
6	1, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
7	6	3ad2ant1 1134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
8		clwwlknwwlksn 30117	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
9	8	3ad2ant2 1135	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
10		simp3 1139	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
11		clwwlkinwwlk 30119	. 2 ⊢ ((((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1374	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  0cc0 11030  1c1 11031   − cmin 11368  ℕcn 12149  2c2 12204  3c3 12205  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755   prefix cpfx 14598   WWalksN cwwlksn 29903   ClWWalksN cclwwlkn 30103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-oadd 8403  df-er 8637  df-map 8769  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-xnn0 12479  df-z 12493  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-hash 14258  df-word 14441  df-lsw 14490  df-substr 14569  df-pfx 14599  df-wwlks 29907  df-wwlksn 29908  df-clwwlk 30061  df-clwwlkn 30104

This theorem is referenced by:  clwwnonrepclwwnon  30424  extwwlkfab  30431