Theorem clwwnrepclwwn 30810

Description: If the initial vertex of a closed walk occurs another time in the walk, the walk starts with a closed walk. Notice that 3 ≤ 𝑁 is required, because for 𝑁 = 2, (𝑤 prefix (𝑁 − 2)) = (𝑤 prefix 0) = ∅, but ∅ (and anything else) is not a representation of an empty closed walk as word, see clwwlkn0 30484. (Contributed by Alexander van der Vekens, 15-Sep-2018.) (Revised by AV, 28-May-2021.) (Revised by AV, 30-Oct-2022.)

Assertion

Ref	Expression
clwwnrepclwwn	⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

Proof of Theorem clwwnrepclwwn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uz3m2nn 12946	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 2) ∈ ℕ)
2		eluzelz 12900	. . . . 5 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → 𝑁 ∈ ℤ)
3		2eluzge1 12934	. . . . 5 ⊢ 2 ∈ (ℤ≥‘1)
4		subeluzsub 12923	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℤ ∧ 2 ∈ (ℤ≥‘1)) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
5	2, 3, 4	sylancl 598	. . . 4 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2)))
6	1, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
7	6	3ad2ant1 1151	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → ((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))))
8		clwwlknwwlksn 30494	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
9	8	3ad2ant2 1152	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺))
10		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0))
11		clwwlkinwwlk 30496	. 2 ⊢ ((((𝑁 − 2) ∈ ℕ ∧ (𝑁 − 1) ∈ (ℤ≥‘(𝑁 − 2))) ∧ 𝑊 ∈ ((𝑁 − 1) WWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))
12	7, 9, 10, 11	syl3anc 1398	1 ⊢ ((𝑁 ∈ (ℤ≥‘3) ∧ 𝑊 ∈ (𝑁 ClWWalksN 𝐺) ∧ (𝑊‘(𝑁 − 2)) = (𝑊‘0)) → (𝑊 prefix (𝑁 − 2)) ∈ ((𝑁 − 2) ClWWalksN 𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416  0cc0 11127  1c1 11128   − cmin 11468  ℕcn 12260  2c2 12322  3c3 12323  ℤcz 12618  ℤ_≥cuz 12890   prefix cpfx 14742   WWalksN cwwlksn 30280   ClWWalksN cclwwlkn 30480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-oadd 8462  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-card 9947  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12532  df-xnn0 12605  df-z 12619  df-uz 12891  df-fz 13564  df-fzo 13712  df-hash 14397  df-word 14581  df-lsw 14630  df-substr 14711  df-pfx 14743  df-wwlks 30284  df-wwlksn 30285  df-clwwlk 30438  df-clwwlkn 30481

This theorem is used by:  clwwnonrepclwwnon  30811  extwwlkfab  30818